indir - kocaelimakine.com
Transkript
indir - kocaelimakine.com
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. 3. ISI İLETİMİ ANALİZİ 3.1 Bir boyutlu ve kararlı ısı iletimine giriş 3.1.1 Düzlem Duvar T(x) qx T1 T∞ ,1 ,h1 T∞ , 2 , h2 T2 L x Şekil 3.1. Düzlem duvar Varsayımlar: i) Malzeme homojen ve izotropik (kx = ky = kz = k = sabit) ii) Malzeme içinde ısı iletimi yok (qv =0) iii) Sürekli rejim mevcut ( ∂ / ∂t = 0 ) iv) Sadece bir boyutta (x) ısı akışı mevcut ( ∂ / ∂y = ∂ / ∂z = 0 ) Isı iletimi genel denkleminden; d ⎛ dT ⎞ d (q x ) =⇒ q x = sbt ⎜− k ⎟=0⇒ dx ⎝ dx ⎠ dx dT = c1 dx T ( x ) = c1 x + c 2 Sınır Şartları (Şekil 3.1): T ( x = 0 ) = T1 T ( x = L ) = T2 x = 0 ⇒ T1 = c 2 x = L ⇒ T2 = c1 L + c 2 = c1 L + T1 ⇒ c1 = (T2 − T1 ) L Bulunan c1 değeri denkleme yerleştirildiğinde, sıcaklık dağılımı için T (x ) = (T2 − T1 ) L x + T1 , III/1 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. ve ısı enerjisi için (T − T2 ) dT = kA 1 dx L denklemlerine ulaşılır. q x = − kA Isıl Direnç: R + I - I= ΔV ΔV ΔT ⇒q= R R Şekil 3.2. Elektriksel-ısıl analoji İletim ısıl direnci q = kA L ΔT ΔT ⇒ Ri = = L kA L kA Taşınım ısıl direnci q = hAΔT = 1 ΔT ⇒ Rt = 1 hA hA Işınım ısıl direnci q = hr AΔT = ΔT 1 ⇒ Rı = 1 hr A hr A Eşdeğer (toplam) Isıl Direnç: 1 qx T1 2 T2 T∞ ,1 T∞ , 2 R1 R3 R2 Şekil 3.3 Çoklu ısıl direnç devresi III/2 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Isı akısı ‘x’ ekseni boyunca sabit olup, qx = (T∞1 − T1 ) = (T1 − T2 ) = (T2 − T∞ 2 ) R1 R2 R3 q x R1 = T∞1 − T1 q x R2 = T1 − T2 q x R3 = T2 − T∞ 2 denklemleri yazılabilir. Elde edilen denklemler taraf tarafa toplanınca; q x (R1 + R2 + R3 ) = T∞1 − T∞ 2 elde edilir. Buradan; qx = ΔT ∑ Rt sonucuna ulaşılabilir. 3.1.2 Komplex Düzlem Duvar ve Toplam Isı Transfer Katsayısı Seri bağlı katmanlar T1 T2 T3 T∞1 kA R1 kB T∞ 2 kC LA LB LC A B C R4 R2 R3 T4 Reş = ∑ R =R1 + R2 + R3 + R4 + R5 Şekil 3.4. Seri-bağlı dirençlerden oluşmuş kompleks düzlem duvar qx = ΔT 1 1 = UAΔT ⇒ UA = = ∑R ∑ R RTop U : Toplam ısı transfer katsayısı (W/m2K) qx = T∞1 − T∞ 2 = UA(T∞1 − T∞ 2 ) (R1 + R2 + R3 + R4 + R5 ) III/3 R5 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Seri-paralel bağlı katmanlar R2a 1 1 1 = + R2 R2 a R2 b R3 R1 R2 R1 R2b R3 Reş = ∑ R =R1 + R2 + R3 Şekil 3.5. Seri-paralel bağlı dirençlerden oluşmuş kompleks düzlem duvar 3.2 Bir boyutlu, kararlı ve ısı üretimi olmayan sistemlerde ısı iletimi 3.2.1 Isı iletimi denklemi genel formu 1 d ⎛ n dT ⎞ ⎜ kr ⎟=0 dr ⎠ r n dr ⎝ n = 0⎫ ⎬⇒ r = x⎭ Kartezyen koordinat n = 1⎫ ⎬⇒ r = r⎭ Silindirik koordinat. n = 2⎫ ⎬⇒ r = r⎭ Küresel koordinat. 3.2.2 Farklı koordinatlarda ısıl direnç T1 (kA) (kB) L1 L2 L r2 r2 r1 r1 A L R= 1 kAA T2 R= ln(r2 / r1 ) 2π .k A AL kA Şekil 3.6. Farklı koordinatlar için iletim ısıl direnci III/4 R= (1 / r1 − 1 / r2 ) 4π .k © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. 3.2.3 Temas direnci veya birikinti direnci qx Rc = ΔT (A) ΔT qx (B) Şekil 3.7. Temas direnci dolayısıyla arayüzeyde sıcaklık düşüşü 3.2.4. Radyal Sistemlerde Kritik Yarıçap: Ts r Ti h, T∞ Ti Ts RTop = ln (r / r1 ) 1 + 21 π2 .3 kL 21 π2 .rhL 3 r1 R il T∞ Rtaş Şekil 3.8. Radyal sistemlerde kritik yarıçap hesabı Toplam direncin ‘r’ değerine göre türevi ‘0’ değerine eşitlendiğinde k rkr = ⇒ silindirik eleman dRTop h =0⇒ 2k dr rkr = ⇒ küresel eleman h bağıntıları elde edilir. RTop q RTop,min qmax rkr rkr r Şekil 3.8. Kritik yarıçap değerinde toplam ısıl direnç ve ısı enerjisi değerleri III/5 r © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Kritik yarıçap değeri ikinci türevde yerine konulduğunda ‘0’ dan büyük değere ulaşıldığından bu noktada direnç minimum (dolayısıyla ısı transferi maksimum) değere ulaşır. 3.2.5. Değişken Kesitli Geometrilerde Isı İletimi Analizi qx+dx z y qx x dx x1 x x0 Şekil 3.9. Yanal yüzeyleri yalıtılmış değişken kesitli geometri için diferansiyel analiz prensibi Diferansiyel hacme giren-çıkan ısı enerjilerinin eşitliğinden hareketle, q x = q x + dx q x = −k (T )Ax x qx ∫ x0 dT dx T dx = − ∫ k (T )dT A( x ) T0 denklemi elde edilir. D (x) Ax = π x2 D2 π 2 2 = a x , k (T ) = cT 2 4 4 ( ) T2 dx = − ∫ cT 2 dT x1 ⎛⎜ π ⎞⎟a 2 x 2 T1 ⎝4⎠ qx ∫ x1 x2 Şekil 3.10. Bir-boyutlu değişken kesite ait örnek III/6 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. 3.3 Bir boyutlu, kararlı ve ısı üretimi içeren sistemlerin analizi qV ≠ 0 olma durumudur. Bu durumda ısı iletimi denklemi aşağıdaki gibi olur. 1 d ⎛ n dT ⎞ ⎜ kr ⎟ + qV = 0 dr ⎠ r n dr ⎝ Düzlem Duvar Aşağıda (Şekil 3.11) belirtilen üç farklı yüzey ısıl şartı söz konusudur. Silindirik ve küresel yüzeylerde aynı durum söz konusu olup, sadece radyal ısı iletim denklemi kullanılmalıdır. Yüzeydeki Ts sıcaklığının bulunması için, −k dT dx = h(TS − T∞ ) x=L sınır koşulu uygulanmalıdır. -L x +L -L x +L x TS1 T0 TS TS2 T∞1 , h1 T∞ 2 , h2 TS T∞ , h TS T∞ 2 , h2 T∞ , h farklı yüzey sıcaklıkları eşit yüzey sıcaklıkları bir yüzeyi yalıtımlı T(-L)=TS1 T (+ L ) = TS T (+ L ) = TS T(+L)=TS2 dT dx dT dx =0 x=0 Şekil 3.11. İçerisinde ısı üretimi bulunan düzlem duvara ait ısıl koşullar III/7 =0 x=0 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. 3.4 Kanatçıklı yüzeyler Genişletilmiş (kanatçıklı) yüzeyler tanımı; genellikle sınırları içinde iletimle, sınırları ile çevresi arasında ise taşınımla ve/veya ışınımla ısı geçişi olan bir katı için kullanılır. Taşınım ve iletimin birlikte gerçekleştiği birçok farklı durum olmakla birlikte en çok karşılaşılan uygulamalardan biri katı ve çevresindeki akışkan arasında ısı geçişini artırmak için kullanılan genişletilmiş yüzeylerdir. Bu tür yüzeylere kanat denir. Sıcak bir akışkandan soğuk bir akışkana ısı geçişi en basit olarak metal bir duvar vasıtasıyla gerçekleşir. Birim zamanda transfer edilen ısı miktarı aşağıdaki denklemle ifade edilir. Q = hA(Ts − T∞ ) Denklemde görüldüğü gibi birim zamanda transfer edilen ısı miktarını artırmak için ; ısı transfer yüzeyini, sıcaklık farkını veya ısı taşınım katsayısını artırmak gereklidir. Eğer yüzey sıcaklığı Ts sabitse ısı geçişini artırmanın iki yolu vardır. Akışkan hızı yükseltilerek ısı taşınım katsayısı artırılabilir veya akışkan sıcaklığı T∞ azaltılabilir. Isı taşınım katsayısının en yüksek değere artırılması bile, istenen ısı geçişini elde etmeye yeterli olmayabilir ve yüksek maliyetlerle karşılaşılabilir. Bu maliyetler akışkan hareketinin artırılması için gerek duyulan fan veya pompa gücü ile ilgilidir. Ayrıca T∞ sıcaklığının azaltılması da pek mümkün değildir. Genellikle sıcaklık farkı sınırlıdır, pratikte verilmiş belirli sıcaklıklarda çalışılır. Diğer bir seçenek ise transfer yüzey alanının artırılmasıdır. Şekil 3.12’de görüldüğü gibi ısı geçişi, taşınımın gerçekleştiği yüzeylerin artırılması ile artırılabilir. A Şekil 3.12 Isı geçiş yüzeyinin kanatçık kullanımıyla arttırılması III/8 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. 3.5 Kanatçıklı yüzeylerde genel ısı iletimi analizi Şekil 3.13’ de görülen değişken kesitli kanatçık sisteminde bazı varsayımlar yapılarak kanatçıklar için genel ısı iletim denklemi türetilebilir. Bu varsayımlar; sistemin sürekli rejimde olması, bir boyutlu ısı iletiminin geçerli olması ve ısı üretiminin olmaması şeklindedir. dqta dAs Ac(x) qx qx+dx dx z h, T∞ y x Şekil 3.13 Değişken kesitli kanatçık için ısı iletimi analizi Sistemin enerji denklemi yazılırsa; . . E g − Eç = 0 q x − (q x + dx + dqt ) = 0 q Χ = − kAi dT dx q x + dx = q x + dq x dx dx dqt = hdAt (T − T∞ ) (q x − q x + dx ) − dqt = 0 , q x − q x + dx = − ∂q x dx ∂x d dT (− k Ai ( x)) dx - hdAt (T ( x) − T∞ ) =0 dx dx k=sbt şartı uygulandığında, III/9 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. d dT h dAt (T ( x) − T∞ ) = 0 ( Ai ( x) ) dx dx k dx 1 dAi dT 1 h dAt d 2T +( ) −( )(T − T∞ ) = 0 2 Ai dx dx Ai k dx dx denklemi elde edilir. Bu sonuç, genişletilmiş bir yüzeyde, bir boyutlu enerji denkleminin genel gösterimidir. 3.6 Sabit kesitli kanatçıklar için sıcaklık dağılım denklemi Sabit kesit alanlı kanatçıklarda, Şekil 3.14’de görüldüğü üzere, dAi dx sıfırdır. Buna göre genel enerji denkleminin ikinci terimi sıfır olur. qtaş T∞ , h qtaş t P Tb qx q qx+dx W L dx x Şekil 3.14 Sabit kesitli kanatçık için ısı iletimi analizi q x − q x + dx − qtaş = 0 dq − x − hAt (T − T∞ ) = 0 dx d ⎛ dT ⎞ ⎜ kAi ⎟dx − hPdx(T − T∞ ) = 0 dx ⎝ dx ⎠ Sabit ‘k’ ve A şartları uygulandığında; d 2T dx 2 − hP (T − T∞ ) = 0 kAi denklemine ulaşılır. Bu denklemin daha basit bir formuna ulaşabilmek için; III/10 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. hp kAi θ = T ( x ) − T∞ ve m = tanımlamaları uygulanırsa, d 2θ dx 2 − m 2θ = 0 veya θ ıı − m 2θ = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem, 2. dereceden lineer ve homojen bir diferansiyel denklem olup, genel çözümü aşağıdaki gibidir: θ ( x ) = c1e mx + c 2 e − mx Bu denklemdeki sabitlerin özelleştirilmesi için, kanatçık türüne göre farklı sınır şartlarının uygulanması gereklidir. Sınır Şarları I. Sınır Şartı (Tüm Kanatçık İçin Aynı): x = 0 ⇒ T ( x = 0) = Tb ⇒ θ = Tb − T∞ = θ b II. Sınır Şartı (Kanatçık Tipine Göre Değişir) i) Sonsuz uzunluktaki (çok uzun) kanat x = L → ∞ ⇒ T ( x = L ) = T∞ ⇒ θ (L ) = T∞ − T∞ = 0 ii) Uç kısmı yalıtılmış (adyabatik) kanat x = L ⇒ qx = 0 ⇒ dT ( x ) dθ ( x ) = =0 dx L dx L iii) Uç kısmında taşınım ile ısı transferi olan (gerçek) kanat x = L ⇒ q il L = qtas L ⇒ −k dθ dx = hθ ( L ) L Örnek: Sonsuz uzunluktaki (çok uzun) kanat için sıcaklık dağılımı Genel denklem: θ ( x ) = c1e mx + c 2 e − mx Sınır şartları: x = 0 ⇒ θ (0) = c1e 0 + c 2 e −0 = θ b ⇒ c1 + c 2 = θ b x = L = ∞ ⇒ θ (∞ ) = c1e m∞ + c 2 e − m∞ III/11 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Katsayılara ait değerler (sınır şartlarına uygun olarak): c1 = 0 → c 2 = θ b Katsayılar denkleme yerleştirildiğinde, sıcaklık dağılım denkleminin özel formu olan θ ( x ) = θ b e − mx veya − θ ( x ) T ( x ) − T∞ = =e θb Tb − T∞ Ph *x kA denklemi elde edilir. 3.7 Kanatçıklara ait diğer parametrelerin hesabı i) Kanatçıktan transfer edilen ısı enerjisi miktarı Sabit kesitli kanatçık için Şekil 3.15’de gösterilen ısı dendesinden hareket edilirse, kanatçık tabanından iletim ile transfer edilen ısı enerjisi değeri ile kanatçıktan taşınım ile çevreye transfer edilen ısı enerjisine eşit olacaktır. Bu nedenle; kanatçıktan transfer edilen ısı enerjisi aşağıdaki denklemlerden herhangi biri kullanılarak bulunur: q( x = 0 ) = − kAi dθ dx x = 0 L qtas = ∫ hPdxθ ( x ) 0 qtaş qx dx Şekil 3.15 Sabit kesitli kanatçık için ısı dengesi Örnek: Sonsuz uzunluktaki (çok uzun) kanattan transfer edilen ısı enerjisi Fourier ısı iletimi kanunu kullanılarak; q x = kAi dθ dx q x = PhkAi θ b tanh(mL) III/12 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. ii) Kanatçık Etkenliği (tek kanatçık) Kanat kullanımı bir yüzeyden ısı geçişini artırmak için etkin yüzey alanını artırmayı amaçlar. Bununla birlikte, kanatın kendisi orjinal yüzeyden ısı geçişine bir iletim direnci gösterir. Bu nedenle kanat kullanımının ısı geçişini mutlaka artıracağı önceden söylenemez. Bu husus kanat etkenliği tanımlanarak değerlendirilebilir. Kanat etkenliği ( ε k ); kanatlı halde geçen ısının, kanatsız halde geçebilecek ısıya oranı olarak tanımlanır, εk = q x kanatcikli hAiθ b ve denklemi ile ifade edilir. Örnek: Çok uzun kanatçık için kanat etkenliği εk = kAi Phθ b hAt θ b = kP hAi iii) Kanatçık verimi Kanat ısıl performansının bir diğer ölçüsü kanat verimidir. Taşınım için en yüksek sıcaklık farkı taban ve akışkan arasındaki sıcaklık farkıdır. θ b = Tb − T∞ Bu nedenle kanadın yayabileceği enerjinin en yüksek değeri bütün kanat yüzeyinin taban sıcaklığında olduğu zaman gerçekleşecektir. Ancak bu ideal bir durumdur ve kanat içinde sıcaklık değişimi mutlaka vardır. Bu düşünceden yola çıkılarak kanat verimi şu şekilde ifade edilir. ηk = q x kanatcik q max = q x kanatcik hAk θ b Örnek: Çok uzun kanatçık için kanat verimi ηk = kAi Phθ b hPLθ b = kAi hPL Kanatcıklı yüzeyin toplam verimi η0 = qt qt = qmax hAtθ b At = A f + Ab III/13 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. qt = hAbθ b + hA f θ b .η ⇒ h(At − A f )θ b + hA f θ b .η ⎡ Af ⎤ (1 − η )⎥ qt = hAtθ b ⎢1 − ⎣ At ⎦ η0 = 1 − Af At (1 − η ) 3.8. Farklı Kanatçıklar için yüzey sıcaklık dağılımı ve yüzeyden transfer edilen ısı miktarını veren eşitlikler Yukarıda çok uzun kanatçık için türetilen denklemlerde izlenen yol diğer kanatçık tiplerine uygulanırsa, aşağıdaki tabloda özetlenen eşitlikler elde edilir: Kanatçık Tipi sonsuz uzunluktaki kanatçık θ (L ) = 0 adyabatik uçlu kanatçık dθ =0 dx X =L ucunda taşınım İle ısı transferi olan kanatçık θ /θ b q f / qk Sıcaklık Dağılımı Kanatçık Isı Transfer Miktarı e − mx M = hPkAi .θ b cosh m(L − x ) cosh mL M . tanh mL cosh m(L − x ) + (h / mk )sinh m(L − x ) cosh mL + (h / mk )sinh mL qf = M sinh mL + (h / mk ) cosh mL cosh mL + (h / mk )sinh mL ( ) sinh x = (e x − e − x )/ 2 cosh x = e x + e − x / 2 θ = T − T∞ θ b = θ (0) = Tb − T∞ M = hPkAi .θ b cosh (x m y ) = cosh x. cosh y m sinh x. sinh y sinh ( x m y ) = sinh x. cosh y m sinh y. cosh x cosh 2 x − sinh 2 x = 1 3.9. Değişken kesitli kanatçık sistemleri Kanatçık kesit alanını değiştirmek suretiyle malzemeden ve dolayısıyla ağırlıktan tasarruf sağlanabilir. d 2T 1 dAi dT 1 h dAt +( ) −( )(T − T∞ ) = 0 2 Ai dx dx Ai k dx dx Değişken kesitli kanatçık sisteminde genel enerji denkleminin ikinci terimi korunmak zorunda olup, d 2T Ai d dT h dAt + −( )(T − T∞ ) = 0 2 Ai dx dx kAi dx dx III/14 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. denkleminde gerekli düzenlemeler yapılırsa, d 2T 1 dT h dAt + −( )(T − T∞ ) = 0 2 x dx kAi dx dx d 2θ 1 dθ h dAt + −( )θ = 0 2 x dx kAi dx dx değişken kesitler için genel kanatçık denklemine ulaşılır. 3.10 Üçgen kanatçık sistemi için çözüm Şekil 3.16 Üçgen kanatçık geometrisi Eğer ‘x’ kanatçık ucundan tabanına doğru ölçülürse; iletim alanı ‘x’ e bağlı olarak aşağıdaki şekilde ifade edilir: Ai ( x) = b wx L Perimetrik çevre ( P ) hava ile temastaki yüzeylerin ‘ dx ’ diferensiyel elemanı için toplamı olup, dAt = Pdx Kanatçığın kalınlığının, genişliğine oranının çok küçük olduğu varsayımıyla, P = 2 w olur. Buna göre taşınım alanı; dAt = 2 wdx şeklindedir. Bu değerleri genel enerji iletim denkleminde yerlerine koyarsak; d 2θ 1 dθ h 2wdx + −( )θ = 0 2 b x dx dx dx k wx L 2hL d 2θ 1 dθ + −( )θ = 0 2 x dx kb dx β= 2hL olarak tanımlarsak ; kb III/15 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. d 2θ 1 dθ β + − θ =0 dx 2 x dx x denklemi elde edilir. Değişken kesitli denklemlerin çözümünde Bessel fonksiyonları kullanılır. x2 d2y dy + x − (x 2 + m2 ) y = 0 2 dx dx Burada ‘m’ bir sabittir. Yukarıdaki denklem mertebesi m olan bir Bessel denklemidir. Bu denklemin genel çözümü şu şekildedir. y ( x) = C1Ι m ( x) + C 2 K m ( x) Ι m = mertebesi m olan birinci çeşit Bessel fonksiyonu K m = mertebesi m olan ikinci çeşit Bessel fonksiyonu d 2θ 1 dθ β + − θ =0 dx 2 x dx x Bu denklem modifiye edilmiş Bessel denklemidir. Denklemi x 2 ile çarparsak; x2 d 2θ dθ +x − βxθ = 0 2 dx dx θ = y tanımlaması yaparak denklemleri karşılaştırırsak; β xθ = ( x 2 + m 2 ) y m = 0 alınırsa; β x = x 2 x2 → β x = (x 2 + m2 ) → x = 2 βx olur. d 2θ dθ +x − βxθ = 0 2 dx dx i) Sıcaklık dağılımı Yukarıdaki bilgiler doğrultusunda, denklemin genel çözümü şu şekilde olur. θ ( x) = C1Ι 0 (2 βx ) + C 2 K 0 (2 βx ) Denklemde; C1 ve C 2 sabitleri, Ι 0 mertebesi sıfır olan birinci çeşit Bessel fonksiyonunu ve K 0 mertebesi sıfır olan ikinci çeşit Bessel fonksiyonunu temsil etmektedir. Sınır şartlarını uygularsak; x = 0 da; K 0 ( x) = π Ι − x ( x) − Ι x ( x) 2 sin( xπ ) değeri sonsuzdur. Fiziki olarak, sıcaklık bu noktada sonsuz olamayacağından C 2 =0 olmalıdır. Bu durumda, III/16 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. θ ( x) = C1Ι 0 (2 β x ) elde edilir. C1 sabiti, x = L de; θ = θ b = Tb − T∞ şartı kullanılarak, C1 = θb Ι 0 ( 2 βL ) bulunur.Sıcaklık dağılım denkleminin çözümü ise θ ( x ) Ι 0 ( 2 βx ) = θb Ι 0 ( 2 βL ) şeklinde elde edilir. ii) Kanatçıktan transfer edilen ısı miktarı q x = kAi Ai = w dθ dx b x L Ai = w x = L de ; q x = kAi b L L → Ai = wb Ι (2 βx ) d θb 0 dx Ι 0 (2 βL ) x = L de türev alınarak ve d Ι 0 (ax) = aΙ 1 (ax) dx bağıntısı kullanılarak aşağıdaki denklem elde edilir. qx = Ι (2 βL ) 2hkb θ b 1 Ι 0 (2 βL ) iii) Kanatçık verimi ηk = qx hAt θ b 2hkb wθ b ηk = Ι 1 (2 βL ) Ι 0 (2 βL ) h2wLθ b Yukarıdaki denklemde gerekli sadeleştirmeler yapılırsa; III/17 © Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. ηk = 1 Ι 1 (2 βL ) βL Ι 0 (2 βL ) denklemi elde edilir. iv) Kanatçık etkenliği εk = εk = qx hAiθ b 2hkb wθ b Ι 1 (2 βL ) hwbθ b Ι 0 (2 βL ) Yukarıdaki denklemde gerekli sadeleştirmeler yapılırsa; εk = 2 L Ι 1 (2 βL ) βL Ι 0 (2 βL denklemi elde edilir. III/18