mononomial
Transkript
mononomial
MONOMIAL IDEALLER Tanım: (Standart Graded k cebir) Bir k cismi üzerinde bir A vektör uzayı aşağıdaki aksiyomlar ile bir değişmeli k cebir oluşturur, Her x, y , z A ve , k için, (i) xy yx, (ii) x( yz ) ( xy ) z , (iii) x( y z ) xy xz , (iv) ( xy ) ( x) y x( y ) , (v) ( x) ( ) x . Burada k cismi A nın bir althalkasıdır. A , k cebiri ( k üzerinde bir vektör uzayı gibi), A A0 A1 ... An ... ayrışımına sahip ve A0 k ve her i, j 0 için Ai A j Ai j sağlıyor ise bu k cebiri A ya graded k cebir veya graded k cebir denir. n r A An şeklinde gösterilir. n0 Örnek: k[ X ] halkası k cismi üzerinde X değişkenleri ile bir polinomlar halkası olsun. Buna göre herhangi bir f k[ X ] polinomu n 0 için a0 , a1 ,..., an k olmak üzere f a0 a1 x a2 x 2 ... an x n şeklinde 2 yazılabilir. R0 {a0 : a0 k } , R1 {a1 x : a1 k } , R2 {a2 x : a2 k } ve Rn {a n x n : a n k} olarak alırsak k[ X ] R0 R1 ... Rn biçiminde i j yazabiliriz. Şimdi i j için Ri {ai x : ai k} ve R j {a j x : a j k} i j alalım. Açıkca i j için ai x a j x eşitliği bize ai a j 0 olmasını gerektirdiğinden, Ri R j 0 elde ederiz. Böylece, k [ X ] R0 R1 ... Rn i j ve R0 k dır. ai x Ri ve a j x R j alalım. ai x ai j k için ai xi a x a a x x a x a x R i i j j i j j j i i j j i a x R R j j i j ve ai j xi j eşitliğinden olduğunu söyleyebiliriz. O halde Ri R j Ri j dır. Böylece, k[ X ] polinomlar halkası bir graded k cebirdir. Monomial İdealler k bir cisim olmak üzere, R k[ X ] k cismi üzerinde n değişkenli bir polinomlar halkası olup X x1 ,..., xn dir. Tanım: (Monomial Ideal) k[ X ] de bir monomial , bir a a1 ,..., an a a a a pozitif tamsayılarının bir vektörü için X x1 1 x2 2 ...xn n çarpımıdır. Bir I k[ X ] ideali bu şekildeki monomiallar tarafından üretiliyorsa bu ideale monomial ideal denir. X a nın toplam derecesi (total degree) a1 a2 ... an dır. Bir katsayıları bir k cisminden ve değişkenleri de x1 ,..., xn olan bir f polinomu, monomiallerin bir sonlu k lineer kombinasyonudur. f polinomunun toplam derecesi onu oluşturan monomiallerden derecesi en yüksek olandır. Eğer f polinomunu oluşturan tüm monomiallerin derecesi aynı ise homojen polinom adını alır. Örnek: x, y , z halkasında x y z X 2 5 3 (2,5,3) bir monomialdir. Derecesi ise 2 5 3 10 dur. 2 5 Örnek: R k [ x1 , x2 , x3 , x4 ] halkasında I x1 x2 , x2 x3 , x4 2 bir monomial 5 idealdir. Bu ideal x1 x2 , x2 x3 ve x4 monomialleri tarafından üretilir. Örnek: Bir R polinomların halkasının Mon( R) monomiallerinin kümesi bu R halkasının bir k bazı dır. Yani, herhangi bir f R polinomu bazı monomiallerin bir tek k lineer birleşimidir. Buna göre, f au u , au k uMon ( R ) dır ve supp( f ) u Mon R : au 0 kümesine de f nin support kümesi denir. Teorem: I idealine ait N monomiallerinin kümesi I nın bir k bazıdır. İspat: N kümesi Mon R nin altkümesi olup, N nin elemanları lineer bağımsızdır. Herhangi bir f I yı alalım. supp( f ) N olduğunu gösterelim. Bu da bize N nin I k vektör uzayının üreteç sistemi m olduğunu verir. f I olduğundan, f fu i i i 1 olacak şekilde u1 ,.., um I monomialleri ve f1 ,..., f m R polinomları vardır. Buradan, m supp( f ) supp fi ui olur. Her i için supp fi ui N dir. i 1