Burulma - kocaelimakine.com
Transkript
Burulma - kocaelimakine.com
Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Burulma (Torsion): Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Dairesel Kesitli Millerde Gerilme ve Şekil Değiştirmeler © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 1 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek T = ∫ ρ dF = ∫ ρ (τ dA) Uygulanan bir tork şaft eksenine dik yüzeylerde kayma gerilmeleri meydana getirir. Dairesel bir milin üzerine eksene paralel çıtalar yerleştirilip burulma momentine maruz bırakılırsa; çıtaların birbirlerine göre yaptığı kayma görülebilir. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 2 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek • Gözlemler dairesel kesitli bir mildeki dönme açısının uygulanan tork değeri ve uzunlukla doğru orantılı olarak φ ∝T değiştiğini göstermiştir. φ∝L • Burulmaya maruz dairesel kesitli bir milde (dolu ve içi boş); tüm kesitler düzlem kalır ve şekli değişmez. Çünkü dairesel kesitli miller aksi-simetriktir ve deformasyon sonrası kesit görünümleri değişmez. • Kesit üzerine çizilen (markalanan) bir çap çizgisi burulma sonrası yine düz kalır. Dairesel olmayan kesitler : © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 3 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Kayma şekil değiştirmesi ve kayma gerilmesi (Elastik bölgede) Kayma şekil değiştirmesi dönme açısı ve radyüsle orantılıdır γ max Lγ = ρφ γ max = veya γ= ρφ (Şekil c) L cφ ρ ve γ = γ max L c Gγ = τ = Gγ (Hooke Bağıntısı) ρ c (Şekil a) τ= G γ max T = ∫ ρτ dA = τ max c ρ c τ max 2 ρ ∫ dA = τ max J c Böylece dairesel millerin elastik burulmasında gerilme formülü: τ max = Tc Tρ ve τ = J J T : burulma momenti (tork) (N.mm) τ : kayma gerilmesi (N/mm2) Φ: dönme açısı (radyan) γ : birim şekil değiştirme J : polar atalet momenti (mm4) © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. J = 12 π c 4 ( J = 12 π c24 − c14 3- 4 ) Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Burulmada hasar şekilleri Sünek malzemelerin hasarında kayma gerilmeleri, gevrek malzemelerin hasarında ise çekideki normal gerilmeler daha etkilidir. Sünek malzeme Gevrek malzeme Örnek: Şekildeki şaft için emniyetli kayma gerilmesi değeri 120 MPa olduğuna göre uygulanabilecek burulma momentini ve bu momente karşılık gelen minimum kayma gerilmesini bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 5 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Şekildeki şaftın BC kısmının içi boştur ve iç çapı 90 mm, dış çapı 120 mm’dir. Diğer kısımların içi Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: dolu ve çapları “d ” dir. Buna göre; a) AB ve CD kısımları için izin verilebilir kayma gerilmesi değeri 65 MPa ise d ne olmalıdır? b) BC kısmındaki maksimum ve minimum kayma gerilmelerini bulunuz. Statik dengeden: ∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) − TAB TAB = 6 kN ⋅ m = TCD © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) + (14 kN ⋅ m ) − TBC TBC = 20 kN ⋅ m 3- 6 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Elastik Bölgede Dönme Açısı γ max = cφ L Dönme açısı: Örnek: γ max = φ= TL JG τ max G = Tc JG Kademeli bir mil için Dönme açısı: (Hooke Bağıntısı) Ti Li i J i Gi φ =∑ Şekildeki çelik kademeli milin kayma modülü G=77 GPa olduğuna göre A noktasının toplam dönme açısını bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 7 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek: T Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Şekildeki AB mili ile CD tüpü C noktasında rijit bir plaka ile (kaynaklı olarak) birleştirilmişlerdir. Çelik milin emniyetli kayma mukavemeti 84 MPa, pirinç tüpün emniyetli kayma mukavemeti ise 50 MPa’dır. Mil çapı ds=38 mm olduğuna göre; A noktasında uygulanabilecek emniyetli tork (T) değerini bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 8 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek y Örnek: Şekildeki içi boş çelik ABC kademeli milinin emniyetli kayma mukavemeti 90 MPa, serbest ucun (C noktası) izin verilebilir dönme miktarı ise 2° ’dir. AB ve BC kısımlarının dış çapları sırasıyla 30 mm ve 15 mm’dir. Mile boydan boya açılmış bulunan deliğin çapı ise 10 mm dir. Buna göre; B noktasında uygulanabilecek maksimum burulma momenti (T) değerini bulunuz. G=80 GPa Örnek: T B z C x y Şekildeki çelik ABC kademeli milinin emniyetli kayma mukavemeti 90 MPa’dır. AB ve BC kısımlarının dış çapları sırasıyla 30 mm ve 20 mm’dir. BC kısmının içi boş ve iç çapı 5 mm dir. Buna göre; T z A 0.1 kN .m A B C x a) B noktasında uygulanabilecek maksimum burulma momenti (T) değerini bulunuz. b) C’nin B’ye göre dönme miktarını bulunuz. (G=80 GPa, LAB=50 mm, LBC=25 mm ) © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 9 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek: Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek T=3 kN.m ‘lik torka maruz şekildeki bronz silindirde; a) Maksimum kayma gerilmesini b) D noktasındaki kayma gerilmesini c) 30 mm çapındaki çekirdek kısım tarafından taşınan tork miktarı bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 10 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Hiperstatik şaftlar (miller) Örnek: Şekildeki milin (yarısının içi boş) dış çapı 22 mm ve içi boş kısmın iç çapı ise 16 mm dir. Mil A ve B noktalarından sabitlenmiştir. Milin tam ortasına 120 N.m lik bir tork uygulandığında A ve B noktalarında meydana gelen reaksiyon momentlerini bulunuz? TA + TB = 120 N ⋅ m φ = φ1 + φ 2 = 0 veya φ1 = φ 2 TA L1 TB L 2 = J1G J 2G TA + TB = olmalı L1J 2 TA L 2 J1 L1J 2 TA = 120 N ⋅ m L 2 J1 TA = 69.8 N ⋅ m © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. TB = 50.2 N ⋅ m 3- 11 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek: Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Sağ taraftan sabitlenmiş çelik bir mil ile alüminyum bir tüp, şekildeki gibi rijit bir diske bağlanmıştır. Çelik mil ve alüminyum tüp için emniyetli kayma gerilmeleri sırasıyla 120 MPa ve 70 MPa olduğuna göre; disk vasıtasıyla sisteme uygulanabilecek maksimum tork değerini bulunuz. (Ga=27 GPa, Gç=77 GPa) © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 12 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek: Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek İçi boş iki şaft şekilde dişliler ile bağlanmıştır. Miller için izin verilebilir kayma gerilmesi 55 MPa olduğuna göre, uygulanabilecek To torkunu ve bu torka karşılık gelen A noktasının toplam dönmesini bulunuz . © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 13 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Transmisyon millerinin dizaynı Güç ve hızı belli olan bir mile etki eden tork değeri: P = T ω = 2 πf T P P T= = ω 2πf Örnek: P: güç (N.m/s), w=watt T: tork (N.m) ω: açısal hız (rad/s) f :frekans (1/s), hertz 3600 devir/dk hızla dönen ve 3.7 kW gücündeki bir motora bağlı bir mildeki kayma gerilmesinin (güç aktarımı esnasında) 60 MPa değerini geçmemesi için mil çapı ne olmalıdır? Örnek: İçi boş bir şaft (mil ) 100 kW lık bir gücü 20 Hz lik bir frekansla aktarmaktadır. Mildeki kayma mukavemetinin 60 MPa değerini geçmemesi istendiğine göre, milin et kalınlığını bulunuz. Mil için dış çap=50 mm. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 14 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Dairesel kesitli millerde Plastik Deformasyonlar Malzemenin lineer elastik davrandığı kabul edildiğinde (bu durumda τ ile γ arasında lineer bir değişim vardır ve elastik bölgede Hooke bağıntısı geçerlidir), Tρ τ = Gγ = J Akma mukavemeti aşıldığında veya malzeme nonlineer bir gerilme-şekil değiştirme karakteristiğine sahipse bu bağıntılar geçerli olmaz. Bir kesitteki kayma gerilmelerine karşılık gelen iç kuvvetlerin toplamı/integrali, kesite uygulanan tork değerine eşittir. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. τ max = Tc J ρ dρ c c 0 0 T = ∫ ρτ (2πρ dρ ) = 2π ∫ ρ 2τ dρ 3- 15 Fifth Edition MECHANICS• OF MATERIALS Maksimum elastik tork (veya akmayı Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek başlatan tork) ve dönme açısı : TY = J τ Y = 21 πc 3τ Y c φY c = Lγ Y γY τ= ρ τY ρY φY = Lγ Y / c Akmadan sonra tork arttıkça, plastik bölge daha fazla yayılır. Herhangi bir ρ değeri için toplam tork: ρY c ⎞ ⎛ ρ T = 2π ∫ ρ ⎜⎜ τ Y ⎟⎟dρ + 2π ∫ ρ 2τ Y dρ ⎝ ρY 3 ⎠ 0 ρY 3 2 ⎛ 1 ρY ⎞ 4 ⎛ 1 ρY ⎞ T = πc τ Y ⎜⎜ 1 − 4 3 ⎟⎟ = 3 TY ⎜⎜ 1 − 4 3 ⎟⎟ c ⎠ c ⎠ ⎝ ⎝ 2 3 3 ρY → 0 için T (tork) limit bir değere yaklaşır: TP = 43 TY Herhangi bir Φ değeri için toplam tork: Lγ Y = φρY = φY c ρY c = φY φ 3⎞ ⎛ φ T = 43 TY ⎜1 − 14 Y3 ⎟ ⎜ φ ⎟⎠ ⎝ © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 16 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Artık Gerilmeler Örnek: Artık gerilmeler süperpozisyon prensibi ile bulunabilir: Şekildeki milin kayma akma mukavemeti 150 MPa, kayma modülü 77 GPa olduğuna göre; verilen tork değeri için, a) elastik çekirdeğin yarıçapını, b) dönme açısını yük kaldırıldığında c) kalıcı dönme açısını ′ τ max Tc = J ∫ ρ (τ dA ) = 0 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. d) artık gerilmeleri bulunuz. 3- 17 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Çözüm: Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek • Dönme açısı için: φ c = φY ρY ⇒ φ= ( ( φY ρY c ) TY L 3.68 × 10 6 N ⋅ mm (1200 mm ) φY = = JG 614 × 10 3 mm 4 77 × 10 3 MPa J = 21 πc = 21 π 25 = 614 × 10 mm 4 3 τ J TY c ⇒ TY = Y J c ( 150 MPa ) 614 × 10 3 mm 4 TY = 25 mm 93.4 × 10 −3 rad φ= = 148.3 × 10 −3 rad = 8.50 o 0.630 4 τY = ( Tork kaldırıldığında, Dönme açısı: ) TL 4.6 × 10 6 ⋅ 1200 = φ′ = JG 614 × 10 3 ⋅ 77 × 10 3 = 116.8 × 10 −3 rad = 6.69° = 3.68 × 10 6 N ⋅ mm = 3.68 kN ⋅ m T= ρY ⎛ 4 T ⎜1 − 1 3 Y⎜ 4 ⎝ ρY3 ⎞⎟ c ⎟⎠ 3 4.6 ⎞ ⎛ = ⎜4 −3 ⎟ c 3 . 68 ⎝ ⎠ 1 3 ⇒ ρY ⎛ T = ⎜⎜ 4 − 3 c TY ⎝ = 0.630 ) φY = 93.4 × 10 −3 rad • Elastik çekirdeğin radyüsü (yarıçapı) için: 4 )( Kalıcı Dönme açısı: ⎞ ⎟⎟ ⎠ 1 3 φ p = φ − φ ′ = 8.50° − 6.69° = 1.81o φ p = 1.81o ρY = 15.8 mm © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 18 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek • Süperpozisyon prensibi ile artık gerilmeler: ′ τ max ( ) Tc 4.6 × 10 6 N ⋅ mm (25 mm ) = = = 187.3 MPa J 614 × 10 3 mm 4 Yüklemedeki gerilmeler Yük kaldırıldığında oluşan gerilmeler © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Artık gerilmeler 3- 19 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek: Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Kayma akma mukavemeti 145 MPa, kayma modülü 77 GPa olan şekildeki çelik mil yavaş yavaş arttırılan T momentine maruzdur. Buna göre; a) Akma başlangıcı için tork değerini (Ty) ve ona karşılık gelen dönme açısını (Φy), b) Kesitin tamamını plastik deformasyona uğratan tork değerini (Tp) ve ona karşılık gelen dönme açısını (Φf) bulunuz. yük kaldırıldığında c) kalıcı dönme açısını d) artık gerilmeleri bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 20 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Burulma (Torsion): Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Dairesel Olmayan Kesitler Dairesel olmayan parçalarda; düzlem olan kesitler burulmadan sonra düzlem kalmazlar. Gerilme-şekil değiştirme dağılımı lineer değildir. Üniform dikdörtgen kesitler için, τ max = T c1ab 2 φ= TL c2 ab3G Açık dikdörtgen kesitlerde a/b nin çok büyük değerleri için, en büyük kayma gerilmesi ve dönme açısı değerleri aynıdır, değişmez (aynı T ve L değerleri için). © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 21 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek İçi boş ince cidarlı kesitler • Bir AB parçası üzerinde x-doğrultusundaki kuvvetlerin toplamından (statik denge), ∑ Fx = 0 = τ A (t A∆x ) − τ B (t B ∆x ) τ At A= τ Bt B = τ t = q = shear flow • Kesit üzerindeki kayma gerilmelerine karşılık gelen momentleri integrali uygulanan T’yi verir. dM 0 = p dF = pτ (t ds ) = q( pds ) = 2 q dA T = ∫ dM 0 = ∫ 2 q dA = 2 qA ; τ = • Dönme açısı : © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. φ= T 2tA ds ∫ 4 A 2G t TL 3- 22 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek: Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Şekildeki dikdörtgen kesitli alüminyum tüpler ekstrüzyonla üretilmiştir. Not: (b) deki parça imalat hatasından dolayı uniform kesitte üretilememiştir. T=2.7 kN.m için her iki kesitin cidarlarındaki kayma gerilmelerini bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 23 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek: Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Şekildeki parçaların emniyetli mukavemet değeri τem=40 MPa’dır. Uygulanabilecek emniyetli tork (T) değerlerini ve bulunan T değerleri için dönme açılarını bulunuz. Çubuklar için L= 1 m, G=70 GPa alınacaktır. Note: 1 ve 2 nolu parçaların kesit alanları, 1 ve 3 ün ise dış boyutları eşittir. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 24 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek: Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Şekildeki içi boş, 50 mm dış çapa ve 40 mm iç çapa sahip tüplerden bir tanesi (b) eksene paralel olarak kesilmiştir. T=0.1 kN.m için; a) tüplerde meydana gelen kayma gerilmelerini ve dönme açılarını bulunuz. b) Kapalı tüp için bulunan sonuçları, daha önce dairesel kesitli millerin burulması için çıkarılan bağıntılarda bulduğunuz sonuçlarla karşılaştırınız. (L=1 m, G= 77 GPa) © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 25