2013-14_Yaz_Analiz1_Final (Matematik)_CA
Transkript
2013-14_Yaz_Analiz1_Final (Matematik)_CA
FEN-EDEBI·YAT FAKÜLTESI· Matematik Bölümü Analiz-I Dersi Final S¬nav¬ Dersin Kodu : MAT101 Dönemi : 2013-2014 Yaz Tarihi : 27.08.2014 Saat : 09.00 Yer : 137 No’lu Salon Süre : 70 Dakika Dersin Sorumlusu : Dr. Hüseyin ALBAYRAK Not: Çözümlere www.huseyinalbayrak.wordpress.com adresinden ulaşabilirsiniz. 1 (1 0 p ) 2 (1 0 p ) 3 (1 0 p ) 4 (1 0 p ) 5 (2 0 p ) 6 (1 0 p ) 7 (3 0 p ) (1 0 0 p ) X Ö¼ grencinin Ad¬Soyad¬ : Numaras¬ : I·mzas¬ : n+4 olan (xn ) dizisi için aşa¼ g¬daki ifadelerin de¼ gerlerini bulunuz. 2n 1 lim inf xn = lim xn =Mevcut de¼ gil 2 1 lim sup xn = 2 2n+3 1 ve lim x2n 1 = lim 4n 2 = 2 Soru 1. Genel terimi xn = ( 1)n : inf xn = sup xn = lim x2n 5 2 3 2 = lim 2n+4 4n = 1 2 x1 -5/2 x3 -7/6 -1/2 0 1/2 x4 1 x2 3/2 p x2 + 5 e¼ grisinin x0 = 2 noktas¬ndaki te¼ getinin denklemini bulunuz. 2x x 2 2 Çözüm. y 0 = p =p olup, x0 = 2 noktas¬ndaki te¼ getin e¼ gimi; m = y 0 (2) = p = : 2 2 2 3 2 px + 5 x +5 2 +5 2 getin denklemi; y0 = y (2) = 2 + 5 = 3 olmak üzere, te¼ Soru 2. y = y Soru 3. f (x) = p y0 = m (x x0 ) =) y 3= 2 (x 3 2 5 2) =) y = x + : 3 3 2x 1 fonksiyonunun x0p= 5 noktas¬ndaki türevini, türev tan¬ p m¬n¬kullanarak bulunuz. p 2x 1 3 2x 1 + 3 f (x) f (5) 2x 1 3 p = lim = lim Çözüm. f 0 (5) = lim x!5 x!5 x!5 x 5 x 5 (x 5) 2x 1 + 3 2x 1 9 2 (x 5) 2 2 1 p p = lim = lim = lim p = = : x!5 (x x!5 x!5 (x 6 3 5) 2x 1 + 3 5) 2x 1 + 3 2x 1 + 3 Soru 4. Farklar¬100 olan iki say¬n¬n çarp¬mlar¬n¬n minimum de¼ geri nedir? Çözüm. x y = 100 olsun. x:y ifadesinin minimum olmas¬n¬istiyoruz. f (x) = x:y = x: (x 100) = x2 100x fonksiyonunun minimum de¼ geri x:y ifadesinin minimum de¼ geridir. f 0 (x) = 2x 100 = 0 =) x = 50 noktas¬bir kritik noktad¬r. x = 50 noktas¬nda fonksiyon minimum de¼ gerini al¬r. x 50 f 0 (x) j j f (x) & M in im u m N o k ta s¬ f (50) = 502 + % 100:50 = 2500 5000 = 2500: Soru 5. Aşa¼ g¬daki limitleri hesaplay¬n¬z. 9 a) lim x! 2 x2 z }| { 5x 14 x 7 (x + 2) (x 7) = lim = lim = +1: 2 2 x! 2 x! 2 x + 2 (x + 2) (x + 2) | {z } 0 sin x 6x sin x sin x 6 lim 6 6x sin x 6 1 x!0 x x x = b) lim = lim = lim = = 1: sin x sin x x!0 2x + 3 sin x x!0 2x + 3 sin x x!0 2+3 2+3 2 + 3 lim x!0 x x x 8 > > > sin x + 2 ; x 0 > > < 1 gu noktalar¬bulup, bu noktalarda sürekSoru 6. f (x) = ; 0 < x 1 fonksiyonunun süreksiz oldu¼ > x > > > > : ex ;x > 1 sizlik çeşitlerini yaz¬n¬z. Çözüm. 0 ve 1 noktalar¬kritik noktalard¬r. Di¼ ger noktalarda fonksiyon süreklidir. 1 lim f (x) = lim = 1 oldu¼ gundan x = 0 noktas¬nda sonsuz süreksizli¼ gi vard¬r. x!0+ x!0+ x 1 lim f (x) = lim = 1 ve lim f (x) = lim ex = e olup, lim f (x) 6= lim f (x) oldu¼ gundan x = 1 x!1 x!1 x x!1+ x!1+ x!1 x!1+ noktas¬nda s¬çrama süreksizli¼ gi vard¬r. Soru 7. Aşa¼ g¬daki fonksiyonlar¬n türevlerini bulunuz. a) y = arctan x 1 x+3 1 =) y 0 = 2: 1: (x + 3) (x (x + 3)2 1) :1 x 1 x+3 (x + 3)2 4 = 2 : x + 6x + 9 + x2 2x + 1 (x + 3)2 4 2 = 2 = 2 2x + 4x + 10 x + 2x + 5 1+ b) y = (cos x)ln x ln y = ln (cos x)ln x = ln x: ln (cos x) y0 1 sin x = ln (cos x) + ln x: y x cos x ln (cos x) sin x: ln x ln x y 0 = (cos x) x cos x c) 8 > < y = t cos t sin t > : x = t sin t + cos t =) y 0 = y_ cos t t sin t = x_ sin t + t cos t cos t = tan t sin t