Matematiksel İktisat II Ders Notları
Transkript
Matematiksel İktisat II Ders Notları
ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 2 Şekil 5.1a Üstel Fonksiyonlar y 10 y = f ( t ) = bt , b > 1 8 6 4 2 -3 -2 -1 • 1 2 3 t 3 Şekil 5.1b Üstel Fonksiyonlar y y = f ( t ) = 22 t 50 40 30 y = f ( t ) = 2t 20 10 -2 -1 1 2 3 4 t 4 Şekil 5.1c Üstel Fonksiyonlar y 8 y = f ( t ) = 2 ( 2t ) 6 4 y = f ( t ) = 2t 2 -2 -1 1 2 t 5 y = f (t) = b t , b>1 y = f (t) = b > 0 t ln y = ( ln b ) t ( dy y ) dt → , −∞< t < ∞ d ( ln y ) = ln b dt = ln b dy t ′ = f ( t ) = ( ln b ) b > 0 , − ∞ < t < ∞ dt 6 d2 y 2 t = f ′′ ( t ) = ( ln b ) b > 0 2 dt lim ( b t →∞ t )=∞ , lim ( b t →−∞ t , )=0 −∞< t < ∞ y = f ( t ) = ab 7 ct , b>1 ct ′ f ( t ) = ac ( ln b ) b a>0,c>0 → f ′(t) > 0 a>0,c<0 → f ′(t) < 0 a<0,c>0 → f ′(t) < 0 a<0,c<0 → f ′(t) > 0 8 ct ′′ f ( t ) = ac ( ln b ) b 2 2 a>0 → f ′′ ( t ) > 0 a<0 → f ′′ ( t ) < 0 9 Şekil 5.2a Üstel Fonksiyonlar y y t 0 y = f ( t ) = ab a>0, c>0 ct t 0 y = f ( t ) = ab a>0, c<0 ct 10 Şekil 5.2b Üstel Fonksiyonlar y 0 y = f ( t ) = ab a<0, c<0 t ct y 0 y = f ( t ) = ab a<0, c>0 t ct e Tabanı ya da Doğal Üstel Fonksiyonlar y=e f (t) y = f (t) = e t y = f ( t ) = Ae rt y = f ( t ) = 2te t2 → dy f (t) ′ = f (t)e dt → dy = et dt → dy = Are rt dt → dy t2 t2 t2 = 2e + 2t 2te = 2e ( 1 + 2t 2 ) dt ( ) 11 12 Şekil 5.3. Üstel Fonksiyonlar 30 y = et 25 20 15 10 5 -3 -2 -1 1 2 3 13 Doğal Üstel Fonksiyonlar ve Büyüme 1⎞ ⎛ f (m) = ⎜1+ ⎟ m⎠ ⎝ f ( 1) = ( 1 + 1 1 1 ) f ( 3) = (1 + 1 3 ) f ( 100 ) = ( 1 + 3 m = 2 , f ( 2) = (1 + ) 1 2 2 = 2.25 = 2.37037 , f ( 4 ) = ( 1 + 1 100 ) 100 = 2.70481 ..... m 1⎞ ⎛ e = lim f ( m ) = lim ⎜ 1 + ⎟ 2.71828 m →∞ m →∞ m⎠ ⎝ ) 1 4 4 = 2.44141 ..... y=e x 14 fonksiyonunun Maclaurin serisini bulalım. Bu açılım, e sayısının asimptotik değerini verecektir. y = f ( x) = e x x ′ f ( x) = e → f ′ ( 0) = 1 x ′′ f ( x) = e → f ′′ ( 0 ) = 1 f ′′′ ( x ) = e → f ′′′ ( 0 ) = 1 x ............. f ( n) ( x) = e ........... x → f ( n) ( 0) = 1 15 f ( x) = f ( 0) 0! + f ′ ( 0) 1! x+ f ′′ ( 0 ) 2! x + 2 f ′′′ ( 0 ) 3! 1 2 1 2 1 2 1 2 e = 1+ x + x + x + x + x + ..... 2 6 24 120 x x = 1 için; 1 1 1 1 e = 1+1+ + + + + ..... 2 6 24 120 e 2.7182819 x + ..... + 3 f ( n) ( 0) n! xn 16 Kesikli Büyümeden Sürekli Büyümeye Geçiş Süreksiz bir büyüme süreci şöyledir: 1. Yıl: A1 = A0 + rA0 = A0 ( 1 + r ) 2. Yıl: A2 = A1 + rA1 = A0 ( 1 + r ) + rA0 ( 1 + r ) = A0 ( 1 + r ) 3. Yıl: A3 = A2 + rA2 = A0 ( 1 + r ) 3 .................................................... t. Yıl: At = At − 1 + rAt −1 = A0 ( 1 + r ) t 2 17 Yıldan yıla gelişen bu kesikli faiz sürecini, bir yılın altındaki zaman dilimlerini de (günlük, aylık, üç aylık gibi) kapsayacak şekilde genelleştirelim. Bir yılda tekrarlanan vade sayısına m diyelim. 1. Dönem: A1 = A0 + r m A0 = A0 ( 1 + r m ) 2. Dönem: A2 = A1 + r m A1 = A0 ( 1 + r m ) + rA ( 1 + ) = A ( 1 + ) 3. Dönem: A3 = A2 + r m A2 = A0 ( 1 + r 3 m 0 ) .................................................... m. Dönem: Am = Am −1 + r m Am − 1 = A0 ( 1 + ) r m m r m 0 r 2 m 18 Bir yılda tekrarlanan vade ve yıllık birikimi birlikte yazalım: A = A0 ( 1 + ) r mt m Bu ifade, bir yıl içerisinde m kadar tekrarlanan ve t yıl süren bir bileşik faiz sürecinin sonunda birikecek olan toplam geliri göstermektedir. Süreç zaman dilimleri arasında sıçramalarla ilerlediğinden, kesiklidir. Ancak iktisat biliminde bu kesikli süreçlerin yanında, birikimin (büyümenin) sürekli biçimde gerçekleştiği durumlar da vardır. Bu nedenle, yukarıdaki kesikli bileşik birikim sürecini, sürekli biçime dönüştürelim. 19 r ⎞ ⎛ V ( m) = A⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ m w= r mt ⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ = A ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎥ m r⎠ ⎥ ⎢⎝ ⎣ ⎦ m r rt ⎡⎛ 1⎞ ⎤ V ( m ) = A ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎥ w ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ w → rt ⎡⎛ 1⎞ ⎤ lim V ( m ) = lim A ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎥ = Ae rt w →∞ w →∞ w ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ w V ( m ) = Ae rt rt 20 Kesikli ve Sürekli Büyümede Bugünkü Değer V ( t ) = A0 ( 1 + r ) t r ⎞ ⎛ V ( m ) = A0 ⎜ 1 + ⎟ m⎠ ⎝ V ( m ) = A0 e rt → mt A0 = V ( t )( 1 + r ) −t → r ⎞ ⎛ A0 = V ( t ) ⎜ 1 + ⎟ m⎠ ⎝ → A0 = V ( t ) e − rt − mt 21 e sayısı ve Anlık Büyüme Hızı Vt = A0 e rt dVt rt = rA0 e = rVt dt d ln Vt dVt Vt dVt 1 Vt = = = =r dt dt dt Vt Vt 22 Logaritma Üstel ve logaritmik fonksiyonlar monotonik olduklarından tersi alınabilir ve birbirlerinin tersi olan fonksiyonlardır. y=b t ⇔ t = log b y y=e t ⇔ t = log e y = ln y 23 Şekil 5.4. Doğal Üstel ve Doğal Logaritmik Fonksiyonlar y = et y t = ln y 1• 0 •1 t 24 Temel Logaritma Kuralları 1. Bir Çarpımın Logaritması: ln ( uv ) = ln u + ln v , u, v > 0 İspat: uv = e u =e * ln ( uv ) ln u uv =e * * , ln u ln v e v =e * =e ln v ln u + ln v → ln ( u v * * ) = ln u + ln v 25 2. Bir Bölümün Logaritması: ⎛ u⎞ ln ⎜ ⎟ = ln u − ln v , ⎝v⎠ u, v > 0 İspat: u =e v ⎛ u⎞ ln ⎜ ⎟ ⎝v⎠ , u =e * u* e ln u ln u − ln v = ln v = e * v e ln u → , v =e * ln v ⎛ u* ⎞ ln ⎜ * ⎟ = ln u − ln v ⎝v ⎠ 26 3. Bir Kuvvetin Logaritması: ln ua = a ln u , u>0 İspat: u = (e a ln u ) a =e a ln u → ln u = a ln u a 4. Logaritma Tabanının Değiştirilmesi log b u = ( log b e )( log e u ) İspat: u = ep → p = log e u log b u = log b e p = p log b e = log e u log b e 27 28 5. Logaritma Tabanının Tersi 1 log b e = log e b İspat: u=b → log b b = ( log b e )( log e b ) N 1 1 = ( log b e )( log e b ) 1 → 1 log b e = log e b 1. Logaritmik Fonksiyon Türev Kuralı y = ln t → y = ln f ( t ) y = ln u dy d 1 = ( ln t ) = dt dt t → dy f ′ ( t ) = dt f (t) , u = f (t) → du = f ′(t) dt d ( ln u ) du 1 du f ′ ( t ) dy d = ( ln f ( t ) ) = = = dt dt du dt u dt f (t) 29 2. Doğal Üstel Fonksiyon Türev Kuralı y=e t y=e f (t) y=e u → → , 30 dy d t t = (e ) = e dt dt u = f (t) ( → dy d f ( t ) = e dt dt dy f (t) ′ = f (t)e dt ) du = f ′(t) dt d ( e u ) du f (t) u ′ ′ = = e f (t) = f (t)e du dt 31 Örnek 1: y=e rt → dy rt = re dt → dy = −e − t dt Örnek 2: y=e −t Örnek 3: y = ln ( at ) → dy a 1 = = dt at t 32 Örnek 4: y = a ln t → dy 1 =a dt t → dy 2 2 3 1 = 3t ln t + 2t = t 2 3 ln t 2 + 2 dt t Örnek 5: y = t ln t 3 2 ( Örnek 6: y = log b t → ln t y= ln b → dy 1 1 = dt ln b t ) 33 Örnek 7: y=b f (t) → ln y = f ( t ) ln b dy y = f ′ ( t ) ln b dt → → d ln y = f ′ ( t ) ln b dt dy f (t) ′ = yf ( t ) ln b = b f ′ ( t ) ln b dt Örnek 8: y = log b f ( t ) → y= ln f ( t ) ln b → dy 1 f ′(t) = dt ln b f ( t ) 34 Örnek 9: y = 12 t −1 → dy y = ln12 dt ln y = ( t − 1) ln12 → dy = 12t − 1 ln12 dt → d ln y = ln12 dt 35 Örnek 10: ⎛ t2 ⎞ y = t log b ⎜ ⎟ ⎝ 1+ t ⎠ → 1 y=t ln t 2 − ln ( 1 + t ) ln b ( ⎛ t2 ⎞ ln ⎜ ⎟ 1+ t ⎠ ⎝ y=t ln b ) dy 1 1 ⎛ 2t 1 ⎞ 2 = − ln t − ln ( 1 + t ) + t ⎜ 2 dt ln b ln b ⎝ t 1 + t ⎠⎟ ( ) 2 ⎡ ⎤ ⎛ dy t ⎞ t 1 = + 2⎥ ⎢ ln ⎜ ⎟− dt ln b ⎣ ⎝ 1 + t ⎠ 1 + t ⎦ Örnek 11: x2 y= ( x + 3 )( 2 x + 1) ln y = ln x 2 − ln ( x + 3 ) − ln ( 2 x + 1) 1 2 d ln y 2 x = 2 − − dt x ( x + 3 ) ( 2 x + 1) ⎛ 2x ⎞ 1 2 dy x2 = − ⎜⎜ 2 − ⎟⎟ dt ( x + 3 )( 2 x + 1) ⎝ x ( x + 3 ) ( 2 x + 1) ⎠ 36 37 Optimal Zamanlama: Şarap Depolama Problemi Şarabın değeri verilmiş olsun: Vt = Ke t Şarap üreticisi t=0 anında şarabı satarsa (yani depolama yapmadan doğruca üretimden satışa giderse), şarabın değeri: t=0 → V0 = Ke 0 → V0 = K Yani K, şarabın üretildiği andaki değeridir. Üretici, kârını maksimize edebilmek için şarabı ne kadar süre depolamalıdır? Bir başka ifadeyle, optimal şarap depolama süresi nedir (depolamanın maliyetsiz olduğunu varsayıyoruz)? Şarabın, mahzende depolandıktan sonra 38 satılması halinde kazanılacak gelirin bugünkü değerini, piyasada geçerli olan faiz oranından indirgeme yaparak belirleriz: At = Vt e − rt Buna göre, V ’nin bugünkü değeri: At = Vt e At = Ke − rt = Ke e t − rt t − rt 39 Amaç, V ’nin bugünkü değerini (At) maksimize etmektir. Bunun için optimizasyonda gerekli ve yeterli olan birinci ve ikinci sıra koşullardan yararlanırız. Birinci Sıra Koşul: dA =0 dt 2 İkinci Sıra Koşul: d A <0 2 dt 40 At = Ke t − rt 1 2 ln A = ln K + t − rt dA A 1 = 1 −r dt 2t 2 1 2t 1 2 −r =0 → → → d ln A 1 = 1 −r dt 2t 2 ( dA = Ke dt 1 * t = 2 4r t − rt ) ⎛ 1 ⎞ ⎜ 12 − r ⎟ = 0 ⎝ 2t ⎠ Optimal Depolama Süresi 41 Görüldüğü gibi, bekleme (depolama) süresi (t) ile piyasa faiz oranı (r) arasında ters yönlü bir ilişki vardır. Piyasa faiz oranı artarsa, şarabın değerlenme süresi de giderek kısalır: 1 t = 2 4r * → dt 1 =− 3 <0 dr 2r 42 Şimdi ikinci sıra koşulu inceleyelim: 2 ( d A d ⎡ Ke = 2 dt dt ⎣ ⎡ 2 d d A ⎣ =A 2 dt ( 1 2 t − rt )( 1 2 t − 12 ) d ⎡ ⎤ A −r = ⎦ dt ⎣ ) − r ⎤ dA ⎦+ dt dt N t − 12 ( 1 2 t − 12 −r ( 1 2 t − 12 ) −r ⎤ ⎦ ) 0 ⎡ 2 d d A ⎣ =A 2 dt ( 1 2 ) −r ⎤ ⎦ = A − 1 t − 32 = − A < 0 4 3 dt 4 t t − 12 ( ) GSMH ’de Büyümenin Belirlenmesi 43 Türkiye GSMH ’si belirli bir dönem için yıllık ve üçer aylık olarak aşağıda verilmiştir. Her iki zaman dilimindeki ardışık ve ortalama büyüme oranlarını bulalım. Yıllar GSMH (1987=100) (Milyar TL) 1950 10827 1951 12205 1952 13667 1953 15214 Genel olarak (yıllık) büyüme oranının belirlenmesi: ∆Yt Yt − Yt −1 gt = = Yt −1 Yt −1 Örneğin 1951 yılındaki büyüme oranını bulalım: g1951 ∆Y1951 Y1951 − Y1950 12205 − 10827 = = = Y1950 Y1950 10827 g1951 = 0.1129 = %11.29 44 Belirli bir dönemdeki ortalama büyüme hızının belirlenmesi: Yt = Y0 e gt → ln Yt = ln Y0 + gt ln Yt − ln Y0 g= t Y0 ’dan Yt ’ye geçen süre 1 yıl ise (∆t=1) büyüme oranı: g = ln Yt − ln Yt −1 45 46 Diğer yıllara ilişkin büyüme oranları da aşağıdaki tabloda hesaplanmıştır: Yıllar GSMH (1987=100) (Milyar TL) Büyüme Oranları (%) Ortalama Büyüme Oranları (%) 1950 10827 1951 12205 11.29 11.98 1952 13667 10.70 11.31 1953 15214 10.17 10.72 47 Şekil 5.5. Türkiye’nin GSMH Gelişimi 1400.0 1200.0 0.0434x y = 41.013e 2 R = 0.9856 1000.0 800.0 600.0 400.0 200.0 2001 1998 1995 1992 1989 1986 1983 1980 1977 1974 1971 1968 1965 1962 1959 1956 1953 1950 1947 1944 1941 1938 1935 1932 1929 1926 1923 0.0 48 Tablo 5.2. Türkiye’nin Üçer Aylık GSMH Gelişimi Üçer Aylık Dönemler GSMH (1987=100) (Milyar TL) 1980.1 9060548 1980.2 10804801 1980.3 17808035 1980.4 12622606 1981.1 9687466 1981.2 11563892 1981.3 18249736 1981.4 13227577 Genel olarak (üçer aylık) büyüme oranının belirlenmesi: 49 ∆Yt . i Yt . i − Yt −1. i , i = 1, 2, 3, 4 gt . i = = Yt −1. i Yt −1. i Örneğin 1981 yılının ikinci üç aylık dönemindeki büyüme oranını bulalım: g1981.2 ∆Y1981.2 Y1981.2 − Y1980.2 11563892 − 10804801 = = = Y1980.2 Y1980.2 10804801 g1981.2 = 0.0703 = %7.03 50 Diğer dönemlere ilişkin büyüme oranları da aşağıdaki tabloda hesaplanmıştır: Üçer Aylık Dönemler GSMH (1987=100) (Milyar TL) Büyüme Oranları (%) 1980.1 9060548 1980.2 10804801 1980.3 17808035 1980.4 12622606 1981.1 9687466 6.69 1981.2 11563892 7.03 1981.3 18249736 2.48 1981.4 13227577 4.79 51 Şekil 5.5. Türkiye’nin GSMH Gelişimi (1987.1-2002.4) 40000 35000 Mevsimsellik içeren GSYİH serisi 30000 25000 20000 X-12 yöntemiyle mevsimsellikten arındırılmış GSYİH serisi 15000 2002Q4 2002Q1 2001Q2 2000Q3 1999Q4 1999Q1 1998Q2 1997Q3 1996Q4 1996Q1 1995Q2 1994Q3 1993Q4 1993Q1 1992Q2 1991Q3 1990Q4 1990Q1 1989Q2 1988Q3 1987Q4 1987Q1 10000 Fonksiyonların Bileşimlerinin Büyüme Hızı 1.Çarpım Biçimindeki Fonksiyonlarda y = uv , u = f (t) ln y = ln ( uv ) → → v = g(t) ln y = ln u + ln v d ln y d ln u d ln v = + dt dt dt y u v = + y u v , → ry = ru + rv dy y du u dv v = + dt dt dt 52 53 2.Bölüm Biçimindeki Fonksiyonlarda u y= v , u = f (t) ⎛ u⎞ ln y = ln ⎜ ⎟ ⎝v⎠ → → v = g (t) ln y = ln u − ln v d ln y d ln u d ln v = − dt dt dt y u v = − y u v , → ry = ru − rv dy y du u dv v = − dt dt dt 3.Toplam ya da Fark Biçimindeki Fonksiyonlarda y = u+v , u = f (t) ln y = ln ( u + v ) ry = ry = → , v = g (t) d ln y d ln ( u + v ) = dt dt d (u + v) (u + v) dt d ( f ( t ) + g ( t )) ( f ( t ) + g ( t )) dt 1 ⎡⎣ f ′ ( t ) + g ′ ( t ) ⎤⎦ ry = f (t) + g (t) 54 ru = rv = f ′(t) f (t) g′ ( t ) g (t) 55 → → f ′ ( t ) = f ( t ) ru g ′ ( t ) = g ( t ) rv 1 ⎡⎣ f ( t ) ru + g ( t ) rv ⎤⎦ ry = f (t) + g (t) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ f (t) g(t) ry = ⎜⎜ ⎟⎟ ru + ⎜⎜ ⎟⎟ rv ⎝ f (t) + g (t) ⎠ ⎝ f (t) + g (t) ⎠ 56 Örnek 12: Bir ekonominin mal ihracatı artış hızı rG=t/3; hizmet ihracatı artış hızı rS=t/5 olarak kaydedilmiştir. Buna göre, bu ekonominin toplam ihracatının artış hızı nedir? X (t) = G (t) + S (t) G S rx = rG + rS X X → G rx = X ⎛ t ⎞ S ⎛ t ⎞ 5G + 3 S ⎜ 3 ⎟ + X ⎜ 5 ⎟ = 15 X t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 57 Örnek 13: Bir ekonominin GSYİH büyüme oranı %2.5; nüfus artış hızı da %1.4 ise, kişi başına GSYİH artış hızı nedir? Y y= N → ln y = ln Y − ln N d ln y d ln Y d ln N = − dt dt dt y = 0.025 − 0.014 = 0.011 y 58 Örnek 14: Bir firmanın sattığı malın fiyatı 2003 yılı içinde %5 değerlenmiş ve satış miktarı da %3 artmıştır. Buna göre, firmanın toplam hasılat artışı nedir? R = PQ → ln R = ln P + ln Q d ln R d ln P d ln Q = + dt dt dt R P Q = + = 0.05 + 0.03 = 0.08 = %8 R P Q 59 Örnek 15: Bankaya iki yıllık süre için yılda %10 bileşik faizle yatırılmış olan 1000 TL’nin sağlayacağı toplam getiri nedir? A0 = 1000 TL , V = A0 ( 1 + r ) V = 1210 t r = %10 = 0.1 , → t=2 V = 1000 ( 1 + 0.1) 2 60 Örnek 16: Örnek 15’teki vade süresi 6 ay olsa toplam getiri ne olurdu? A0 = 1000 TL , r ⎞ ⎛ V = A0 ⎜ 1 + ⎟ m⎠ ⎝ V = 1215.5 r = %10 = 0.1 , mt → t=2 , 0.1 ⎞ ⎛ V = 1000 ⎜ 1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝ m = 2 ( 6 ay vade ) ( 2 )( 2 ) 61 Örnek 17: Örnek 15’teki vade süresi sıfıra yaklaşırsa, yani bir yıl içindeki vade tekrarı sonsuza giderse toplam getiri ne olurdu? A0 = 1000 TL , Vt = A0 e rt V = 1221.4 → r = %10 = 0.1 , V =e ( 0.1)( 2 ) t=2 , m→∞ 62 Örnek 18: Örnek 15, 16 ve 17’de değişik vadelere bağlı olarak birikimli faiz işleme sürecini inceledik. Faiz sürecinin sonunda elde edilen toplam getiri, vadeye bağlı olarak değişmektedir. Buna göre, yıllık efektif faiz oranı nedir? Efektif faiz oranı, tüm uygulamalardaki eşitleyen faiz oranıdır. A0 ( 1 + re ) t r ⎞ ⎛ = A0 ⎜ 1 + ⎟ m⎠ ⎝ mt toplam getirileri 63 A0 ( 1 + re ) t r ⎞ ⎛ = A0 ⎜ 1 + ⎟ m⎠ ⎝ m mt → m ⎡⎛ ⎤ r ⎞ lim re = lim ⎢⎜ 1 + ⎟ − 1⎥ = e i − 1 m →∞ m →∞ m⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ m r ⎞ ⎛ re = ⎜ 1 + ⎟ − 1 m⎠ ⎝ re = e i − 1 → r ⎞ ⎛ re = ⎜ 1 + ⎟ − 1 m⎠ ⎝ → re = e i − 1 2 → 0.1 ⎞ ⎛ re = ⎜ 1 + − 1 = 0.1025 = %10.25 ⎟ 2 ⎠ ⎝ re = e 0.1 − 1 = 0.1052 = %10.52 64 Örnek 19: 5 yıllık (vadeli) bir bononun yıllık %9 faizden sağlayacağı toplam gelir 1000 TL’dir. Bu bononun bugünkü değeri nedir? r ⎞ ⎛ V = A0 ⎜ 1 + ⎟ m⎠ ⎝ V = 1000 , mt r ⎞ ⎛ A0 = V ⎜ 1 + ⎟ m⎠ ⎝ → r = %9 = 0.09 0.09 ⎞ ⎛ A0 = 1000 ⎜ 1 + ⎟ 1 ⎠ ⎝ , t=5 , − mt m=1 −5 → A0 = 649.93 TL. 65 Bir Anuitenin Şimdiki Değeri Anuite, Anuite veri bir zaman diliminde, her bir dönem için yapılan ödemeler dizisine denir. Aşağıdaki şekilde, n dönem boyunca her dönem R liralık ödemenin, bugünkü değerleri dönem dönem gösterilmiştir. Her bir dönem için yapılan ödemelerin bugünkü değerlerinin toplamını yazalım. A = R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + ..... + R ( 1 + r ) −1 −2 − ( n − 1) + R (1 + r ) −n 66 0 R (1 + r ) −1 R (1 + r ) −2 R (1 + r ) − ( n − 1) R (1 + r ) −n 1 2 3 R R R n−1 n R R 67 A = R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + ..... + R ( 1 + r ) −1 −2 − ( n − 1) + R (1 + r ) −n Bu, bir geometrik seridir. Terim sayısı n, ilk terimi R(1+r)-1 ve ortak çarpanı (1+r)-1 ‘dir. Bu toplamı şöyle bulabiliriz: A = R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + ..... + R ( 1 + r ) −1 −2 − ( n − 1) − ( 1 + r ) A = − R ( 1 + r ) − R ( 1 + r ) − ..... − R ( 1 + r ) −1 −2 −3 + ( −n + R (1 + r ) − R (1 + r ) ) −1 −1 −1 −n ⎡ ⎡ ⎤ A 1 − ( 1 + r ) = R ⎢ ( 1 + r ) − ( 1 + r ) ( 1 + r ) ⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −n − n −1 68 ( ) −1 −1 −n ⎡ ⎡ ⎤ A 1 − ( 1 + r ) = R ⎢( 1 + r ) 1 − ( 1 + r ) ⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) −n ⎛ 1 − (1 + r )− n A = R⎜ ⎜ r ⎝ ( ) −n ⎡ ( 1 + r ) −1 1 − ( 1 + r ) − n ⎤ 1 − (1 + r ) ⎢⎣ ⎥⎦ A= R =R −1 −1 ⎡1 − ( 1 + r ) ⎤ ⎡ 1 + r ) 1 − (1 + r ) ⎤ ( ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A= R 1 − (1 + r ) (1 + r ) − 1 → ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 69 Örnek 20: Aylık 1000 TL. kazandıran, %6 bileşik faizdeki, 3.5 yıllık bir anuitenin bugünkü değeri nedir? 0.06 R = 1000 TL. , r = = 0.005 , n = ( 3.5 )( 12 ) = 42 12 ⎛ 1 − (1 + r )− n A = R⎜ ⎜ r ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ 1 − ( 1 + 0.005 ) −42 A = 1000 ⎜ ⎜ 0.005 ⎝ ⎞ ⎟ = 37798.3 TL. ⎟ ⎠ 70 Bir Anuitenin Gelecekteki Değeri Bir anuitenin gelecekteki değeri (miktarı), tüm dönemler sonunda yapılmış olan ödemelerin toplam değeridir. Aşağıdaki şekilde Aşağıdaki şekilde, n dönem boyunca her dönem R liralık ödemenin, gelecekteki değerleri dönem dönem gösterilmiştir. Her bir dönem için yapılan ödemelerin bugünkü değerlerinin toplamını yazalım. V = R + R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) ..... + R ( 1 + r ) 2 3 n −1 71 0 1 2 3 R R R n− 2 n−1 n R R R R (1 + r ) R (1 + r ) 2 R (1 + r ) n −1 72 V = R + R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) ..... + R ( 1 + r ) 2 3 n −1 Bu, bir geometrik seridir. Terim sayısı n, ilk terimi R ve ortak çarpanı (1+r) ‘dir. Bu toplamı şöyle bulabiliriz: V = R + R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + ..... + R ( 1 + r ) 2 3 − ( 1 + r ) V = − R ( 1 + r ) − R ( 1 + r ) − ..... − R ( 1 + r ) 2 + n ⎡ V ⎡⎣1 − ( 1 + r ) ⎤⎦ = R 1 − ( 1 + r ) ⎤ ⎣ ⎦ → n −1 − R (1 + r ) ⎛ (1 + r )n − 1 ⎞ ⎟ V = R⎜ ⎜ ⎟ r ⎝ ⎠ n n −1 73 Örnek 21: %6 bileşik faiz üzerinden 3 yıl boyunca ve her 3 ayda bir yapılan 50 TL’lik ödemelere sahip bir anuitenin gelecekteki değeri nedir? R = 50 TL. , 0.06 r= = 0.015 4 ⎛ (1 + r )n − 1 ⎞ ⎟ V = R⎜ ⎜ ⎟ r ⎝ ⎠ → , n = ( 4 )( 3 ) = 12 ⎛ ( 1 + 0.015 )12 − 1 ⎞ ⎟ = 652.06 TL. V = 50 ⎜ ⎜ ⎟ 0.015 ⎝ ⎠ 74 Yatırım Fonu Yatırım fonu, gelecekteki bir zorunluluktan ötürü, ödemelerin periyodik biçimde önceden yapılmasıdır. Örneğin 7000 TL’lik bir makine satın aldığımızı ve 8 yıllık kullanım ömrü olduğunu varsayalım. 8. yılın sonunda yenisini alabilmek için her dönem bir kenara ayırmak ayırmamız gereken para, yatırım fonudur. 75 Örnek 22: Kendisine 6 yıl boyunca her yıl 1000 TL. kazandıracağını tahmin ettiği bir makineyi satın almak isteyen bir firma, yatırım fonuna yıllık ödeme yapmaktadır ve bileşik faiz oranı da yıllık %5’tir. Firmanın bu makine yatırımından %7 kazanmak istemesi halinde, makineye yapması gereken ödeme miktarı ne olur? 76 Makinenin satın alınma fiyatına X diyelim. Dolayısıyla bu makine her yıl firmaya ( 0.07X ) kadar kazandıracaktır. Makinenin yıllık getirisi 1000 TL. olduğundan, geri kalan yıllarda firma yatırım fonuna her yıl için (R=1000-0.07X) kadar ödeme yapacaktır. Bu ödemelerin toplamı, X ’e eşittir. X = ( 1000 − 0.07 X ) X = 4607.92 TL. ( 1 + 0.05 ) 0.05 6 −1 Bir Borcun Ödeme Dönem Sayısının (n) Belirlenmesi 77 Anuite bugünkü değerinin belirlenmesi hesabından hareket ederek, ödeme dönem dayısını (n) belirleyebiliriz: ⎛ 1 − (1 + r )− n A = R⎜ ⎜ r ⎝ (1 + r ) −n R − Ar = R ⎛ R ⎞ ln ⎜ ⎟ R Ar − ⎝ ⎠ n= ln ( 1 + r ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ → → Ar −n = 1 − (1 + r ) R ⎛ R − Ar ⎞ − n ln ( 1 + r ) = ln ⎜ ⎟ R ⎝ ⎠ 78 Örnek 23: Bir müzik marketten 1500 TL.değerinde bir müzik seti satın aldınız? Her ay 75 TL. ödeme yapacaksınız. Market bu vadeli alış verişe yıllık %12 bileşik faiz işletiyorsa, borcunuzun tamamını kaç ödemede kapatabilirsiniz? ⎛ R ⎞ ln ⎜ ⎟ R Ar − ⎠ n= ⎝ ln ( 1 + r ) , 0.12 A = 1500 TL. , R = 75 TL. , r = = 0.01 12 ⎛ ⎞ 75 ln ⎜⎜ ⎟⎟ 75 − ( 0.01)( 1500 ) ⎠ ⎝ n= ln ( 1 + 0.01) → n ≅ 22.4 ay 79 Örnek 24: Bir A ekonomisinin gelecek yıllarda, yıllık ortalama %5, B ekonomisinin de %2 büyüyeceğini varsayalım. B ekonomisi, A ekonomisinden iki kat daha zengin ise, kaç yıl sonra A ekonomisi B kadar zenginlik düzeyine ulaşır? A ve B ekonomilerinin t yıl sonraki GSMH’leri: YAt = YA0 e gAt , YBt = YB 0 e gB t 80 t yıl sonra her iki ekonomi aynı zenginlik düzeyinde olacağından, t yıl sonraki GSMH ’leri eşitleyelim: YAt = YBt → 2YA0 = YB 0 → ln ( e 0.05 t YA 0 e YA 0 e = YB 0 e 0.05 t 0.02 t gB t = 2YA0 e ) = ln 2 + ln ( e ) 0.693 t = ≅ 23.1 yıl 0.03 * gAt 0.02 t → e 0.05 t = 2e → 0.05t = 0.693 + 0.02t 0.02 t 81 Örnek 25: Eksik istihdamdaki bir ekonominin kişi başına GSMH’sinin yıllık ortalama %1 hızla büyüyeceğini varsayalım. Bu ekonomi kaç yılda şu anki kişi başına GSMH’sinin iki katına ulaşır? yt = 2 y0 , g = %1 = 0.01 y t = y0 e gt ln 2 = ln ( e → 0.01 t ) 2 y0 = y0 e → 0.693 = 0.01t 0.693 t = = 69.3 ≈ 70 yıl 0.01 * 0.01 t 82 Örnek 26: Yaşam maliyet endeksi, baz yılı olan 1983’ten beri her yıl %12.5 artmıştır. Buna göre, 1990’daki yaşam maliyeti endeks değeri nedir? C 83 = 100 C 90 = C 83 ( 1 + i ) C 90 = 228.07 t → C 90 = 100 ( 1 + 0.125 ) 7 83 Örnek 27: Bir firmanın satışlarının bugünkü değeri 150 TL.’dir. Bu firma satışlarını her yıl %8 artıracak olursa, 6 yıl sonraki satışlarının değeri ne olur? S0 = 150 , i = %8 = 0.08 , S t = S0 ( 1 + i ) t S6 = 238.03 → S6 = ? S6 = S0 ( 1 + 0.08 ) 6 84 Örnek 28: Bugün 1 ABD Dolarının 1,400,000 TL olduğunu varsayalım. Dolar, TL karşısında yılda %2.6 oranında değer yitirirse, 25 yıl sonra 1TL kaç Dolara eşit olur? D0 = 1, 400, 000 TL , Dt = D0 ( 1 − i ) t D25 ≈ 724, 606 TL. → i = %2.6 = 0.026 , D25 = ? D25 = D0 ( 1 − 0.026 ) 25 85 Örnek 29: Gelişmekte olan bir ülke tasarruflarını 5.6 milyar $ ’dan, 12 milyar $ ’a yükseltmek istiyor. Her yıl tasarruflarını %15 oranında artırırsa, kaç yılda bu hedefine ulaşabilir? S0 = 5.6 , g S = %15 = 0.15 , S t = S0 ( 1 + g S ) ln S t − ln S0 t= ln ( 1 + g S ) t S t = 12 , t =? → ln S t = ln S0 + t ln ( 1 + g S ) → ln12 − ln 5.6 t= ln ( 1 + 0.15 ) → t = 5.45 yıl 86 Örnek 30: y = 4x e 3x fonksiyonunun uçdeğerini araştıralım. dy = 4 x ( 3e 3 x ) + 4e 3 x = 4e 3 x ( 3 x + 1) = 0 dx 3x + 1 = 0 → 1 x=− 3 d2 y 3x 3x 3x e x e e 12 3 1 12 12 = + + = ( ) ( 3 x + 2) 2 dx 1 x = − ' te 3 → d2 y = 4.4 > 0 2 dx 1 Buna göre, x = − 'te bir minimum vardır. 3 87 Şekil 5.6. 0.6 y = 4 x e3x 0.4 0.2 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 -0.2 -0.4 88 Veri Nüfus Sayımlarını Dikkate Alarak Ara Yıl ve Gelecekte Nüfus Tahminleri: Yıllar Nüfus Sayımları (Bin Kişi) Nüfus Artış Hızları (%) 1975 40078 1980 44438 2.07 1985 50306 2.48 1990 56098 2.18 2000 67845 1.90 89 N t = N 0 e nt ln N t = ln N 0 + ln ( e nt ) → nt = ln N t − ln N 0 → ln N t − ln N 0 n= t Yıllık Ortalama Nüfus Artış Hızı 90 1975-1980 arasındaki yıllık ortalama nüfus artış hızını hesaplayalım: N 0 = N 75 = 40078 , N t = N 80 = 44438 , t=5 ln N t − ln N 0 ln N 80 − ln N 75 ln 44438 − ln 40078 n= = = t 5 5 n = 0.0207 = %2.07 91 Nüfus sayımı yapılmayan bir ara yılın, örneğin 1976 yılının nüfusunu, yukarıda bulduğumuz 1975-1980 arasındaki yıllık ortalama nüfus artış hızı değerini kullanarak tahmin edelim: N 0 = N 75 = 40078 , t =1 , n = 2.07 N t = N 76 = ? N t = N 0e nt N 76 ≈ 40914 → N 76 = 40078e 2.07 92 Şimdi de 2010 yılı nüfusunu, ilk olarak %1.8, ikinci olarak %1.5 nüfus artış hızlarına göre tahmin edelim. N 0 = N 2000 = 67845 , t = 10 0.018 , n =} 0.015 N t = N 2010 = ? N t = N 0e nt N t = N 0e nt → → N 2010 = 67845e 10 ( 0.018 ) → N 2010 ≈ 81225 N 2010 = 67845e 10 ( 0.015 ) → N 2010 ≈ 78825 93 Büyüme Muhasebesi Y = F ( K , L) → ln Y = ln F ( K , L ) d ln Y ∂ ln Y dK ∂ ln Y dL Y ( ∂Y Y ) ( ∂Y Y ) = + → = K+ L dt ∂K dt ∂L dt Y ∂K ∂L Y ( ∂Y Y ) K ( ∂Y Y ) L K + L = → Y K L ∂K ∂L Y K L = εYK + εYL Y K L Y ⎛ ∂Y K ⎞ K ⎛ ∂Y L ⎞ L =⎜ +⎜ ⎟ Y ⎝ ∂K Y ⎠ K ⎝ ∂L Y ⎠⎟ L