1 Blok Diyagramları: Karmaşık sistemler, birçok alt sistemin birbirine
Transkript
1 Blok Diyagramları: Karmaşık sistemler, birçok alt sistemin birbirine
Blok Diyagramları: Karmaşık sistemler, birçok alt sistemin birbirine uygun şekilde bağlanmasından oluşur. Blok diyagramları, her bir alt sistem arasındaki karşılıklı bağlantıyı göstermek için kullanılır. Blok diyagramlarında her bir alt sistemin fonksiyonu ve sinyallerin akışı grafiksel olarak gösterilir. Örneğin, aşağıdaki şekilde bir oda ısıtma sisteminin basitleştirilmiş bir blok diyagramı görülmektedir. Burada istenen oda sıcaklığı sistemin girişi olarak tanımlanır. Gerçek oda sıcaklığı ise sistemin çıkışı olarak tanımlanır ve termostat içindeki bir sensör ile ölçülür. Termostat içindeki basit bir elektronik devre, istenen oda sıcaklığı ile gerçek (ölçülen) oda sıcaklığını karşılaştırır ve karşılaştırıcı olarak tanımlanır. Eğer oda sıcaklığı istenen değerin altında ise, bir hata sinyali oluşur ve oluşan hata gerilimi gaz vanasını açarak ocağın (eyleyici - actuator) olarak çalışmasını sağlar. Kapının veya pencerenin açılması ısı kaybına neden olacaktır. Oluşan ısı kaybı bozucu giriş olarak adlandırılır. Oda sıcaklığının ölçülerek istenen değerle karşılaştırılması işlemine geribesleme denir. Burada hata gerilimi ocağın açılmasını sağlar, hata gerilimi sıfıra yaklaştığında ise ocak kapanır. Isı Kaybı İstenen Oda Sıcaklığı Gerçek Oda Sıcaklığı Hata Gerilimi Termostat Gaz Vanası Ocak Oda Geri besleme Şekil 1. Bir oda ısıtma sisteminin basitleştirilmiş blok diyagram gösterimi. 1. Kontrol Sistemlerindeki Blok Diyagramlarının Temel Elemanları: Blok diyagramların temel elemanları aşağıda sıralanmıştır. Giriş (referans) sinyali Çıkış sinyali (denetlenen değişken) Bozucu giriş sinyali Geribesleme döngüleri Karşılaştırıcı (fark alıcı) Bloklar (alt sistemlerin transfer fonksiyonları) Alt sistemler : - Giriş sensörü - Çıkış sensörü - Eyleyici (sürücü eleman - actuator) - Denetleyici (controller) - Denetlenen Sistem (çıkışı kontrol edilen sistem) Şekil 2. Geribeslemeli kontrol sisteminin blok diyagram gösterimi. 1 2. Blok Diyagramların Temel Elemanları: Blok diyagramları, bir sistemin yapısını ve iç bağlantılarını basitçe ifade eder ve transfer fonksiyonları ile birlikte, sistemdeki neden-sonuç ilişkisini açıklamak için kullanılır. Bir blok diyagramı, işlevsel bloklar, oklar, toplama noktaları ve ayrılma noktalarından oluşur. Aşağıdaki şekilde, bir blok diyagramının elemanları gösterilmiştir. Toplama Noktası R R Y + Ayrılma Noktası Blok veya transfer fonksiyonu Y ± Y Şekil 3. Blok diyagram elemanları. a) Blok: Sistemin giriş-çıkış değişkenleri arasındaki ilişkiyi gösterir. Kontrol sistemlerindeki blok diyagram gösteriminde blok içine genellikle sistem, denetleyici, eyleyici veya sensörün s-domeni transfer fonksiyonu veya zaman domeni denklemleri yazılır. U (s) u (t ) G (s) g (t ) Y (s ) y (t ) Şekil 4. Blok diyagramlarındaki blok elemanı (transfer fonksiyonu). b) Oklar: Kontrol sistemlerindeki bloklar ile diğer elemanları birbirine bağlayan ve sinyallerin akış yönünü gösteren elemanlardır. Oklar, blok diyagram içindeki sinyalleri temsil eder ve sinyaller sadece oklar yönünde akar. c) Toplama Noktaları (Fark Alıcı - Karşılaştırıcı): Toplama noktasına gelen sinyallerin işaretine göre toplama veya çıkarma işlemi yapar. Toplama veya çıkarma yapılan sinyallerin aynı boyutlara ve aynı birimlere sahip olması gerekir. d) Ayrılma Noktaları: Oklar ile temsil edilen sinyallerin kollara ayrıldığı, ve bir bloğun çıkış sinyalinin aynı anda diğer bloklara veya toplama noktalarına gittiği noktalardır. 3. Geribeslemeli Kontrol Sisteminin Blok Diyagramının İndirgenmesi: R(s) r(t) U(s) +_ B(s) u(t) G(s) Y(s) y(t) b(t) H(s) Şekil 5. Geribeslemeli kontrol sisteminin temel blok diyagramı. 2 r(t), R(s) referans giriş (komut) y(t),Y(s) çıkış işareti (kontrol edilen değişken) b(t), B(s) geribesleme işareti u(t),U(s) sisteme etkiyen kontrol işareti e(t), E(s) R(s) C(s) hata işareti Y(s) G(s) açık çevrim transfer fonksiyonu veya ileri yol transfer fonksiyonu U(s) Y(s) M(s) kapalı çevrim transfer fonksiyonu R(s) H(s) geribesleme yolu transfer fonksiyonu G(s)H(s) çevrim transfer fonksiyonu Şekil 5’ten aşağıdaki iki eşitliği yazabiliriz. Y ( s ) G ( s )U ( s ) B ( s ) H ( s )Y ( s ) Sisteme etkiyen kontrol sinyalini şekilden U ( s) R ( s) B( s ) olarak yazabiliriz. Bu denklemi ve B ( s ) H ( s )Y ( s ) denklemini Y ( s ) G ( s )U ( s ) denkleminde yerine yazdığımızda Y ( s ) G ( s ) R ( s ) G ( s ) H ( s )Y ( s ) Bu denklemden Y ( s) / R( s) kapalı döngü transfer fonksiyonunu hesapladığımızda aşağıdaki ifade elde edilir. M (s ) Y ( s) G(s ) R( s) 1 G( s) H ( s) 4. Bozucu Girişe Sahip Olan Kapalı Döngü Sistemlerin Blok Diyagramlarının İndirgenmesi: Bazı sistemler referans girişin yanında bozucu girişe de maruz kalabilirler. Bu durumda sistemler bozucu giriş ile birlikte birden fazla girişe maruz kalırlar. Böyle sistemlere doğrusal sistemlerin toplamsallık (süperpozisyon) ilkesi uygulanarak her bir girişin etkisi ayrı ayrı incelenebilir. Burada sisteme bir kez sadece referans giriş uygulanıyormuş gibi ve bir kez de sadece bozucu giriş uygulanıyormuş gibi her durum için kısmi transfer fonksiyonları elde edilir. Sonra bu kısmi transfer fonksiyonlarının toplamından sistemin toplam transfer fonksiyonunu, yani her iki girişin aynı anda etki etmesiyle oluşan toplam sistemin toplam cevap fonksiyonunu elde edebiliriz. Aşağıdaki şekilde böyle bir bozucu girişe sahip olan sistemlerin temel blok diyagramları verilmiştir. 3 D (s) ± E (s) R(s) G1 (s ) + Y (s ) + G2 ( s ) ̶ H (s) a) D (s) ± E (s) R(s) + G1 (s ) G2 ( s) Y (s ) + ̶ H (s) b) Şekil 6. Bozucu girişe sahip sistemlerin temel blok diyagramları. Önce Şekil 6(a)’da verilen blok diyagramı ele alalım. Önce R(s) girişi uygulandığı durumda, yani bozucu girişi D ( s) 0 kabul ederek sistemin YR ( s ) / R( s ) transfer fonksiyonu YR ( s ) G1 ( s)G2 ( s) R(s ) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) olarak elde edilir. Sonra D (s) girişi uygulandığı durumda, yani bozucu girişi R( s) 0 kabul edildiğinde blok diyagram aşağıdaki gibi olur. D (s) Y (s ) G2 ( s) ± ̶ G1 (s ) H (s) Şekil 7. Şekil 6(a) için sistemin bozucu girişten çıkışa kadar olan blok diyagramı. İndirgeme yapıldığında sistemin YD ( s ) / D ( s ) transfer fonksiyonunu YD ( s) G2 (s) D( s ) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) olarak elde edilir. Sistem hem R(s) girişinin hem de D (s) girişinin etkisinde olduğu için, sistemin toplam cevap fonksiyonu bu girişlerin ayrı ayrı uygulanmasıyla elde edilen cevapların toplamı olarak aşağıdaki gibi yazılabilir. 4 YR ( s ) Y ( s) R ( s ) D D( s ) R( s) D( s ) G1 ( s )G2 ( s ) G2 ( s ) Y ( s) R( s) D( s ) 1 G1 ( s )G2 (s ) H ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) Y ( s ) YR (s ) YD ( s ) Şekil 6(b)’de verilen blok diyagramı ele aldığımızda benzer bir sonuç elde ederiz. Önce R(s) girişi uygulandığı durumda, yani bozucu girişi D ( s) 0 kabul ederek sistemin YR ( s ) / R( s ) transfer fonksiyonu YR ( s ) G1 ( s)G2 ( s) R(s ) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) Sonra D (s) girişi uygulandığı durumda, yani bozucu girişi R( s) 0 kabul edildiğinde blok diyagram aşağıdaki gibi olur. D (s) Y (s ) ± ̶ G2 ( s ) G1 (s ) H (s) Şekil 8. Şekil 6(b) için sistemin bozucu girişten çıkışa kadar olan blok diyagramı. olarak elde edilir. Sonra D (s) girişi uygulandığı durumda, yani bozucu girişi R( s) 0 kabul ederek sistemin YD ( s ) / D ( s ) transfer fonksiyonunu YD (s ) 1 D( s ) 1 G1 ( s)G2 (s ) H ( s) olarak elde edilir. Sistem hem R(s) girişinin hem de D (s) girişinin etkisinde olduğu için, sistemin toplam cevap fonksiyonu bu girişlerin ayrı ayrı uygulanmasıyla elde edilen cevapların toplamı olarak aşağıdaki gibi yazılabilir. YR ( s ) Y ( s) R ( s ) D D( s ) R( s) D( s ) G1 ( s )G2 ( s ) 1 Y ( s) R( s) D( s ) 1 G1 ( s )G2 (s ) H ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) Y ( s ) YR (s ) YD ( s ) 5. Blok Diyagram İndirgeme Kuralları: Sistemlerin blok diyagramları eleman sayısına bağlı olarak karmaşık bir yapıda olabilir. Karmaşık blok diyagramlarında sistemin giriş-çıkış ilişkisi (transfer fonksiyonu) doğrudan görülemez. Karmaşık döngüler içeren blok diyagramları adım adım indirgenerek tüm sisteme ait transfer fonksiyonu tek blok içinde olacak şekilde tüm sisteme ait giriş-çıkış ilişkisi elde edilir. Blok diyagramlarının indirgenmesinde öncelikle toplama ve ayrılma noktaları uygun şekilde düzenlenerek sistem iç içe geçmiş döngüler haline dönüştürülür. Sonra en içteki döngüden başlayarak içten dışa doğru indirgeme yapılır. İndirgeme işlemi sonucunda tüm sistemin blok 5 diyagramı tek bir bloğa indirgenir ve tüm sisteme ait transfer fonksiyonu bu blok içine yazılır. Blok diyagram indirgeme kurallarından önemli olanları aşağıda özetlenmiştir. Bu kurallardan 1. , 2. ve 4. numaralı kurallar indirgeme yapmak için kullanılır, diğerleri düzenleme yapmak için kullanılır. Çünkü uygulamalarda bazen indirgeme yapılabilmesi için öncelikle düzenleme yapılmakta, daha sonra indirgeme yapılmaktadır. Blok diyagram indirgeme kuralları: İŞLEMİN TANIMI 1. Seri bağlı blokların indirgenmesi 2. Paralel bağlı blokların indirgenmesi DENKLEM Y (G1G2 ) R BLOK DİYAGRAM R R Y G2 G1 R İNDİRGENMİŞ BLOK DİYAGRAM Y G1G2 Y G1 + Y G1R G2 R R G1 G2 ± Y G2 3. İleribesleme yolu üzerinden bir bloğun kaldırılması R 4. R + Y G1R G2 R G1 G2 G2 ± 5. 6. Toplama noktalarının yeniden düzenlenmesi Y G + Y G ( R HC ) R G 1 GH ± R Y G ( R HC ) 7. Y G + R 1 H Y Y GH + ± ± H W Z W X Y X W Z + + ± Z GX Y Z + ± + ± Y Y X Toplama noktasını bir bloğun önüne kaydırmak + ± H Geribesleme yolu üzerinden bir bloğun kaldırılması Y G2 R Geribesleme döngüsünün indirgenmesi Y G1 ± X G Z + X G + ± Y ± 1 G Z Y 6 8. 9. Toplama noktasını bir bloğun arkasına kaydırmak X + Z G( X Y ) X X Z G Y ± Y Ayrılma noktasını bir bloğun önüne kaydırmak Z G + ± G Y G X Y G Y GX Y Y G X Ayrılma noktasını bir 10. bloğun arkasına kaydırmak Y GX G Y X X X Y G 1 G Örnek 1: Aşağıda blok diyagramı indirgeyerek sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz. H2 ̶ R + G1 + ̶ + G3 G2 Y + H1 Çözüm: H2 ̶ R + G1 ̶ + + G2 G3 Y + H1 Burada öncelikle içteki toplama noktası önündeki G1 bloğunun önüne kaydırılırsa blok diyagram aşağıdaki gibi olur. 7 H2 G1 ̶ R + + G1 + ̶ Y G3 G2 + H1 Daha sonra geribesleme döngüleri içten dışa doğru aşağıdaki gibi indirgenir. H2 G1 ̶ R G1G2 1 G1G2 H 1 + + Y G3 ̶ R Y G1G2G3 1 G1G2 H1 G2G3 H 2 + ̶ R Y G1G2G3 1 G1G2 H1 G2G3 H 2 Örnek 2: Aşağıda blok diyagramı indirgeyerek sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz. G4 + R + ̶ + G1 + G2 G3 + Y ̶ ̶ H1 H2 8 Çözüm: G4 + R + G1 + G3 G2 + Y + ̶ ̶ ̶ H2 H1 G2 bloğunun sağındaki ayrılma noktası G2 bloğunun önüne kaydırılırsa blok diyagram aşağıdaki gibi olur. G4 + R + G1 + ̶ + ̶ G3 G2 Y + ̶ H2 H1 G2 Burada G2 ve G3 seri bağlı olup G4 de bunlara paralel olduğu için blok diyagram aşağıdaki gibi olur. R + G1 + ̶ G2G3 G4 + ̶ Y ̶ H2 H1 G2 Sonra G2G3 G4 bloğunun önündeki ayrılma noktası kaydırıldığında blok diyagram aşağıdaki gibi olur. R + G1 + ̶ G2G3 G4 + ̶ G2G3 G4 bloğunun arkasına Y ̶ H2 H1 G2 1 G2G3 G4 9 Daha sonra geribesleme döngüleri içten dışa doğru aşağıdaki gibi indirgenir. R + G1 + ̶ Y G2G3 G4 1 G2G3 H 2 G4 H 2 ̶ G2 H 1 G2G3 G4 G1 G2G3 G4 1 G2G3 H 2 G4 H 2 G1G2 H1 R + Y ̶ R G1 G2G3 G4 1 G2G3 H 2 G4 H 2 G1G2 H 1 G1G2G3 G1G4 Örnek 3: Yandaki elektrik devresinin girişi ig (t ) akım kaynağı, çıkışı v2 (t ) gerilimidir. a) Devrenin dinamik denklemlerini yazarak blok diyagramını oluşturunuz. b) Devrenin blok diyagramını indirgeyerek V2 ( s) transfer fonksiyonunu bulunuz. I g ( s) v1 i1 iC1 ig Y R1 v2 i2 iC 2 C1 C2 R2 Çözüm: a) Kirchhoff’un akımlar yasasından devredeki düğümlerden aşağıdaki iki eşitlik yazılabilir: ig iC 1 i1 i1 iC 2 i2 dv1 dt dv2 i1 i2 C2 dt ig i1 C1 I g ( s ) I1 ( s ) C1sV1 ( s ) ……(1) I1 ( s ) I 2 ( s ) C2 sV2 ( s ) ……(2) i1 ve i2 akımları gerilimler cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir: v1 v2 V ( s ) V2 ( s ) I1 ( s ) 1 ……(3) R1 R1 v V ( s) i2 2 I 2 (s) 2 ……(4) R2 R2 i1 10 Elde edilen s-domenindeki denklemlerden blok diyagramın parçaları aşağıdaki gibi oluşturulabilir: (1) numaralı denklemden: I g (s ) (2) numaralı denklemden: 1 C1s + ̶ V1 (s) I1 ( s ) + ̶ I1 ( s ) (3) numaralı denklemden: V1 ( s ) ̶ V2 ( s) I 2 ( s) (4) numaralı denklemden: 1 R1 + 1 C2 s I1 ( s ) V2 ( s) 1 R2 I 2 ( s) V2 ( s ) Dinamik denklemlerden elde edilen blok diyagramlar birleştirildiğinde devrenin blok diyagramı aşağıdaki gibi elde edilir. I g (s ) + 1 C1s V1 (s) + ̶ 1 R1 I1 ( s ) 1 C2 s + ̶ V2 ( s) ̶ I 2 ( s) 1 R2 1 bloğunun önüne C1s kaydırılmasıyla ve sonra girişteki fark alıcıyla yer değiştirilmesiyle aşağıdaki blok şema elde edilir. b) İndirgeme yapabilmek için, ortadaki toplama noktasının (fark alıcının) I g (s ) + 1 C1s ̶ V1 (s) + ̶ 1 R1 I1 ( s ) 1 C2 s + V2 ( s) ̶ I 2 ( s) 1 R2 11 C1s I g (s ) + ̶ 1 C1s + 1 R1 I1 ( s ) ̶ 1 C2 s + V2 ( s) ̶ I 2 ( s) 1 R2 İleribesleme yolu üzerindeki 2 iç geribesleme döngüsü indirgendiğinde aşağıdaki blok diyagram elde edilir: C1s I g (s ) + ̶ 1 R1C1s 1 R2 R2C2 s 1 V2 ( s) En dıştaki geribesleme döngüsü de indirgendiğinde giriş-çıkış arasındaki ilişki aşağıdaki gibi elde edilir: I g (s ) R2 2 R1C1R2C2 s ( R1C1 R2C2 R2C1 )s 1 V2 ( s ) Örnek 4: Yandaki doğru akım motorunun girişi eg (t ) gerilim kaynağı, çıkışı ç (t ) motorun milinin açısal konumudur. a) Sistemin dinamik denklemlerini yazarak blok diyagramını oluşturunuz. b) Sistemin blok diyagramını indirgeyerek ç ( s) transfer fonksiyonunu bulunuz. E g (s ) c) Sistemin blok diyagramını indirgeyerek toplam cevap fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: a) Sisteme ait dinamik denklemleri Kirchhoff yasasından : eg (t ) Rg ig (t ) Lg dig (t ) eb (t ) dt d 2 ç (t ) d (t ) B ç Newton yasasından : M (t ) TL (t ) J 2 dt dt olarak yazabiliriz. 12 Burada d ç ( t ) : Zıt elektro-motor-kuvvet gerilimi, dt M (t ) K mig (t ) : Motorun ürettiği döndürme momenti, eb (t ) K b TL (t ) : Bozucu yük torkudur. Bu denklemlerin Laplace dönüşümleri alındığında aşağıdaki denklemler elde edilir. E g (s ) Eb ( s ) Rg I g ( s ) Lg sI g ( s ) M ( s ) TL ( s ) Js 2 ç ( s ) Bs ç ( s ) Eb (t ) K b s ç ( s ) …… (3) M ( s) K m I g ( s) …… (4) Eg (s ) Eb (s ) ( Rg Lg s ) I g ( s ) M ( s ) TL ( s ) s ( Js B ) ç ( s ) …… (1) …… (2) Elde edilen s-domenindeki denklemlerden blok diyagramın parçaları aşağıdaki gibi oluşturulabilir: (1) numaralı denklemden: Eg (s ) (2) numaralı denklemden: + ̶ TL (s ) I g (s ) 1 Lg s Rg M (s) ̶ 1 s ( Js B) + Eb (s ) (3) numaralı denklemden: ç (s ) ç (s ) (4) numaralı denklemden: M (s) I g (s ) Eb (s ) Kbs Km Dinamik denklemlerden elde edilen blok diyagramlar birleştirildiğinde sistemin blok diyagramı aşağıdaki gibi elde edilir. TL (s) Eg (s ) 1 Lg s Rg + I g (s ) Km M (s) + ̶ 1 s Js B ç (s ) ̶ Eb (s ) Kbs b) TL (s ) 0 için aşağıdaki blok şema elde edilir. E g (s ) 1 Lg s Rg + M (s) I g (s ) Km 1 s Js B ç (s ) ̶ Eb (s ) Kbs 13 indirgeme yapıldığında aşağıdaki blok şema elde edilir. Eg (s ) Km s ( Lg s Rg )( Js B) + ç (s ) ̶ Eb (s ) Eg (s ) Kb s Km s ( Lg s Rg )( Js B) K m K b s ç (s ) c) E g ( s ) 0 için aşağıdaki blok şema elde edilir. TL (s ) ç (s ) 1 s Js B ̶ ̶ Km TL (s ) 1 Lg s Rg Lg s Rg s ( Lg s Rg )( Js B) K m K b s Kbs ç (s ) Sistemin toplam cevap fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir. ç (s) ç (s) ç ( s ) Eg ( s) Eg (s) ç (s) TL ( s ) TL ( s ) Lg s Rg Km Eg ( s) TL ( s ) s ( Lg s Rg )( Js B) K m K b s s ( Lg s Rg )( Js B) K m K b s 14 6. Kazanç Formülünün Blok Diyagramlarına Uygulanması Şekil 9. a) Bir kontrol sistemine ait Blok Diyagramı , b) Eşdeğer İşaret Akış Diyagramı Kazanç Formülü uygulanırsa Y ( s) G1G2 G3 G1G4 R( s) burada 1 G1G2 H 1 G2 G3 H 3 G1G2 G3 G4 H 2 G1G4 Benzer şekilde E ( s ) 1 G1G 2 H 1 G2 G3 H 2 G 4 H 2 R( s) ve Y ( s) G1G2G3 G1G4 E ( s) 1 G1G2 H1 G2G 3 H 2 G4 H 2 yazılabilir. Son denklem giriş olmayan düğüme göre yazılmış kazanç ifadesidir. 15