14.1 Alan Statik Momenti ve Eylemsizlik Momenti
Transkript
14.1 Alan Statik Momenti ve Eylemsizlik Momenti
14.1 Alan Statik Momenti ve Eylemsizlik Momenti Örnek 14.2 Eylemsizlik Yarıçapı 14.3 Eksen Takımının Değiştirilmesi 14.4 Asal Eylemsizlik Momentleri Örnekler PROBLEMLER 231 232 233 233 235 235 238 14.1 ALAN STATİK MOMENTİ VE EYLEMSİZLİK MOMENTİ Alanın birinci ve ikinci dereceden statik momentlerinin fiziksel anlamları vardır. Şimdi bunları sırayla görelim. ALAN STATİK MOMENTİ: Şekil (14.1) deki A alanının x ve y eksenlerine göre alanın birinci mertebe momenti olan alan statik momentleri, S x = ò y dA A , S y = ò x dA (14.1) A işaretli büyüklüklerdir. Eğer eksen takımı kesitin ağırlık merkezinde ise, S x = S y = 0 olur. EYLEMSİZLİK MOMENTLERİ: Şekil (14.1) deki A alanının ikinci metrebe momentine eylemsizlik momenti denir ve tanım gereği, I x = ò y 2 dA A I y = ò x 2 dA (14.2) A I xy = ò yx dA A dır. Eylemsizlik momenti, aynı ağırlık merkezi gibi, kesit geometrisine bağlı bir büyüklüktür. (14.2) de; Ix : x eksenine göre eylemsizlik momenti olup, I x > 0 dır. Iy : y eksenine göre eylemsizlik momenti olup, I y > 0 dır. I xy : çarpım eylemsizlik momenti olup, I xy 0 dır. Eğer eksenlerden biri kesitin bir simetri ekseniyle çakışıyorsa, çarpım eylemsizlik momenti sıfır olur. Bir başka ikinci mertebe alan momenti de kutupsal eylemsizlik momenti, I o = ò r 2 dA A (14.3) dir. Şekil (14.1) de r 2 = x 2 + y 2 olduğundan, dairesel kesitlerde (14.3) ile (14.2) in ilk iki denklemi birbirlerilebilir. Buna göre, Io = I x + I y (14.4) elde edilir. Eylemsizlik momenti hesabındaki bazı önemli kolaylıklar vardır. Şimdi bunları sıralayalım. Şekil (14.2) deki gibi bir bölgenin bir eksen takımına göre eylemsizlik momenti, o bölgeyi oluşturan parçaların aynı eksen takımına göre eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir. Buna göre: 235 14. EYLEMSİZLİK MOMENTLERİ 14.4 ASAL EYLEMSİZLİK MOMENTLERİ Eğer bir eksen takımında çarpım eylemsizlik momenti sıfır ise, bu takıma asal eksen takımı denir ve hesaplanacak eylemsizlik momentleri de asal eylemsizlik momentleri adını alır. Eğer Şekil (14.10) daki ( X 1 , X 2 ) takımı asalsa, bu takımda asal eylemsizlik momentleri I1 ve I 2 ile gösterilir. Eğer ( x, y ) takımında I x , I y ve I xy belli ise, bunlar kullanılarak ( X 1 , X 2 ) ile ( x, y ) takımları arasındaki o açısı hesaplanabilir. Bunun için (14.13) ün üçüncü denkleminde de I = 0 yazılıp, ifade çift açılar cinsinden düzenlenirse, asal doğrultu, tan (2o ) = - 2 I xy (14.14) Ix - Iy olur. Ayrıca asal eylemsizlik momentleri, 2 2 I1 = 12 ( I x + I y ) + éê 12 ( I x - I y )ùú + I xy ë û (14.15) 2 2 I 2 = ( I x + I y ) - éê 12 ( I x - I y )ùú + I xy ë û 1 2 dir. ÖRNEK 14.2: Boyutları b h olan Şekil (P2.1) deki dikdörtgen alanın eylemsizlik momentlerini, a). Tabanındaki ( , y ) takımında hesaplayınız, b). Keyfi bir ( , ) takımında bulunuz. ÇÖZÜM: a). Şekil (P2.2) de görüldüğü gibi, kesit tabandan geçen ( , y ) takımına göre, eylemsizlik momentleri h I = ò y 2 dA = ò y 2 (bdy ) = b éê 13 y 3 ùú ë û 0 A Iy = 1 12 hb h 0 = 13 bh3 3 I y = 0 olur. y ekseni düzlemsel alanın simetri eksenidir ve o nedenle çarpım eylemsizlik momenti sıfırdır. b). ( , ) eksen takımı başlangıcının, alanın ağırlık merkezine olan ( x, y ) takımı başlangıcına olan uzaklığı (a x , a y ) olarak verilmiştir. Örnek 14.1 de asal takımda eylemsizlik momentleri I x = 121 bh3 , I y = 121 hb3 ve