farklı nesnelerin dağılımı
Transkript
farklı nesnelerin dağılımı
FARKLI NESNELERİN DAĞILIMI < ÖRNEK: 3 farklı mektup 4 posta kutusuna kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir? ÇÖZÜM: BİRİNCİ YOL: 1.mektup 4 kutuya 2.mektup 4 kutuya 3.mektup 4 kutuya 4.4.4=64 İKİNCİ YOL: 0003 0012 0111 şeklinde dağılımlar olur. ! . . . . =4 . . Z A F E R A Ğ B U L U T . =36 ! ! . . . =24 ! 4+36+24=64 ÖRNEK: 4 farklı oyuncak 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir? ÇÖZÜM: BİRİNCİ YOL: 1. oyuncak 3 çocuğa 2.oyuncak 3 çocuğa 3.oyuncak 3 çocuğa 4.oyuncak 3 çocuğa 3.3.3.3=81 şekilde olur. İKİNCİ YOL: 004 013 O22 122 şeklinde dağılımlar olur. ! . . . =3 ! . . . 3!=24 . . . =18 ! ! ! . . . =36 ! 3+24+18+36=81 bulunur. ÖRNEK: 5 çocuk A,B,C şehirlerine gönderilecektir.Kaç farklı şekilde gönderilebilir? ÇÖZÜM: BİRİNCİ YOL: 1.çocuk 3 şehre 2.çocuk 3 şehre 3.çocuk 3 şehre 4.çocuk 3 şehre 5.çocuk 3 şehre 3.3.3.3.3=243 İKİNCİ YOL: 005 014 023 113 221 şeklinde dağılım yapılabilir. www.matematikmarketi.com . . . . . 3! =30 . . . 3!=60 . . . =60 . . . =90 ! =3 ! ! ! ! 3+30+60+60+90=243 olarak bulunur. ÖRNEK: 4 farklı mektup 5 posta kutusuna bir posta kutusuna en fazla 2 mektup atmak koşuluyla kaç farklı şekilde atılır? ! ! . ! . ÇÖZÜM: BİRİNCİ YOL: Tüm durumlardan istenmeyenleri çıkaralım. Z A F E R A Ğ B U L U T 1.mektup 5 kişiye 2.mektup 5 kişiye 3.mektup 5 kişiye 4.mektup 5 kişiye 5.5.5.5=625 İstenmeyenler 31000 40000 durumlarıdır. 4 5 4 5 . . + = 85 3 1 1 1 625-85=540 İKİNCİ YOL: 00022 00112 01111 dağılımı olur. Z A F E R A Ğ B U L U T 4 4 4 4 2 5! . . . . . = 60 0 0 0 2 2 3! .2! 4 4 4 3 2 5! . . . . . = 360 0 0 1 1 2 2! .2! 4 4 3 2 1 5! . . . . . = 120 0 1 1 1 1 4! 60+360+120=540 Zafer Ağbulut FARKLI NESNELERİN DAĞILIMI ÖRNEK: 6 farklı kitap 3 kişiye herbirine en az bir kitap verilmesi koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılır? ÇÖZÜM: BİRİNCİ YOL: Dağılımlar 114 123 222 şeklindedir. 6 5 4 3! 6 5 3 . . . + . . . 3! 1 1 4 2! 1 2 3 6 4 2 3! + . . . = 540 2 2 2 3! Z A F E R A Ğ B U L U T ÖRNEK:Özdeş olmayan 4 elma ,3 armut,3 nar vardır.Her cinsten enaz bir tane olmak üzere bir tabağa kaç değişik şekilde konulabilir? ÇÖZÜM:Tüm durumlardan istenmeyenler çıkarılırsa sonuca daha kolay gidilir. Hiç elma yoksa =1 Hiç armut yoksa =7 Hiç nar yoksa İKİNCİ YOL:İçeme-dışarma prensibine göre =3 =7 Tüm durumlar =210 Bir kişi kitap almasın = 3 . 26 1 210-(1+7+7)=195 İki kişi kitap almasın = 3 . 16 2 ÖRNEK:Sude elindeki 4 farklı çiçeği annesine, S1-S2+S3=540 ÖRNEK:Birbirinden farklı 6 oyuncak 4 çocuğa ,her çocuk en az bir oyuncak almak koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılır? ÇÖZÜM: BİRİNCİ YOL: Oyuncaklar 1113 yada 1122 şeklinde dağıtılır. Z A F E R A Ğ B U L U T İki kişi oyuncak almasın . 2 = 384 Üç kişi oyuncak almasın . s1-S2+S3-S4=4096-2916+384+4=1560 www.matematikmarketi.com farklı şekilde dağıtır? ÇÖZÜM: BİRİNCİ YOL:3 -2 =65 İKİNCİ YOL: Anneye 1 çicek verelim.Diğer 3 çiçeği 2 kişiye . 8=32 Anneye 2 çiçek verelim.Diğer 2 çiçeği 2 kişiye dağıtalım. İKİNCİ YOL:İçerme-Dışarma prensibine göre . 3 =2916 az bir çiçek vereceğine göre bu çiçekleri kaç dağıtalım. 6 3 2 1 4! 6 4 2 1 4! . . . . + . . . . 3 1 1 1 3! 2 2 1 1 2! .2! = 1560 Bir kişi oyuncak almasın babasına ve teyzesine dağıtacaktır.Annesine en . 4=24 Anneye 3 çiçek verelim.Diğer 1 çiçeği 2 kişiye Z A F E R A Ğ B U L U T dağıtalım. .2=8 Anneye tüm çiçekleri verelim. =1 32+24+8+1=65 Zafer Ağbulut FARKLI NESNELERİN DAĞILIMI ÖRNEK: 6 mektup,8 değişik posta kutusuna her mektup farklı bir posta kutusuna atılmak koşuluyla kaç farklı biçimde postalanabilir? ÇÖZÜM:Bir mektup 8 kutudan birine,ikinci mektup kalan 7 kutudan birine ,...devam edilirse 8.7.6.5.4.3=20160 olur. ÖRNEK: 6 mektup ,8 değişik posta kutusuna kaç değişik şekilde postalanabilir? Z A F E R ÖRNEK:10 farklı nesne farklı 2 kutuya 2 adet,8 adet olmak üzere kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A Ğ B U L U T ÖENEK:10 farklı nesne farklı 2 kutuya eşit olarak kaç farklı şekilde dağıtılabilir? ÇÖZÜM: . . ÇÖZÜM: ÖRNEK: 10 farklı nesne farklı 5 kutuya eşit olarak kaç farklı şekilde dağtılabilir? . . . . . 5! ÇÖZÜM: 1.kutuya 3 tane Z A F E R A Ğ B U L U T 2.kutuya 3 tane 3.kutuya 3 tane . . 10.kutuya 3 tane , 3 olur. ÖRNEK: 10 f arklı nesne 1.kutuya 2 adet,2.kutuya 3 adet ,3.kutuya 5 adet olmak üzere kaç farklı şekilde dağıtılır? . ÇÖZÜM: www.matematikmarketi.com . 2! ÖRNEK: 10 farklı nesne farklı 3 kutuya kaç farklı şekilde dağıtılabilir?(kutular boş kalabilir) = 1680 ÖRNEK: 3 matematik,2 fizik ve 2 kimya öğretmeni arasından içinde enaz bir öğretmen bulunan 5 kişilik bir kurul kaç değişik biçimde oluşturulur? ÇÖZÜM: 3M+2F yada 3M+2K şeklindedir. − . − . = 19 Tüm durumlardan istenmeyenler çıkartıldı. ÖRNEK: 10 farklı nesne farklı 2 kutuya kaç farklı dağıtılabilir?(Kutular boş kalabilir) ÇÖZÜM: 1.nesne 2 kutuya 2.nesne 2 kutuya 3.nesne 2 kutuya şeklinde devam edilirse 2 olur. . 2! =90 ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: 6 mektup aynı kutuya birlikte atılabilir.Buna göre,her mektup için 8 değişik kutu kullanılabilir.Bu durumda 6 mektup 8.8.8.8.8.8=8 =2 olur. ÖRNEK: 6 kişi her ekipte en az bir kişi bulunmak koşuluyla 3 ekibe kaç farklı şekilde dağıtılır? ÇÖZÜM: Dağılımlar 113 222 123 şeklindedir. 6 5 3 1 . . . = 15 1 1 3 2! 6 4 2 1 . . . = 15 2 2 2 3! 6 5 3 . . = 60 1 2 3 ÖRNEK: 9 kitap 3 çocuğa eşit olarak kaç değişik şekilde dağıtılır? . ÇÖZÜM: . ÖRNEK: 10 farklı nesne farklı 3 kutuya 2 adet,3 adet,5 adet olmak üzere kaç farklı şekilde dağıtılır? Z A F E R ÇÖZÜM: . . . 3! A Ğ B U L U T Zafer Ağbulut GRUPLARA AYIRMA ÖRNEK: 10 kişi kaç farklı el sıkışabilir? ÇÖZÜM: = 45 ÖRNEK:10 kişinin aynı anda kaç farklı el sıkışma durumu vardır? ÇÖZÜM: . . . . . ! ÖRNEK: 12 kişiden 6 şar kişilik iki ekip kaç farklı şekilde seçilebilir? ÇÖZÜM: . ÖRNEK:12 öğrenci üç gruba her grupta eşit sayıda öğrenci olmak kaç türlü ayrılabilir? ÇÖZÜM: . . . ! ÖRNEK: 8 kişi ,herbiri 2 kişilik 4 gruba kaç farklı şekilde ayrılabilir? ÇÖZÜM: . . . . ! ÖRNEK: 9 oyuncak üç çocuk arasında eşit olarak kaç kaç türlü dağıtılabilir? ! ÇÖZÜM: !. !. ! ÖRNEK: 9 öğrenci üç takıma eşit olarak kaç farklı şekilde seçilebilir? ÇÖZÜM: . . . ! ÖRNEK:9 öğrenci sırasıyla 4,3,2 şerli üç takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? ! ÇÖZÜM: !. !. ! ÖRNEK: 6 öğrenci 3 er kişilik iki takıma kaç türlü ayrılabilir? ! ÇÖZÜM: . !. ! ! ÖRNEK: 6 öğrenci 2 şer kişilik üç takıma kaç türlü ayrılabilir? ÇÖZÜM: . . . ! ÖRNEK: 5 elemanlı bir küme hiçbiri boş olmayan üç ayrık altkümeye kaç değişik biçimde ayrılabilir? ÇÖZÜM:Dağılımlar 311 ve 122 şeklindedir. 5 2 1 1 . . = 10 3 1 1 2! 5 3 1 1 . . . = 15 2 2 1 2! 10+15=25 olur. ÖRNEK: 12öğrenci 2,2,4,4 er kişilik 4 gruba kaç türlü ayrılabilir? ÇÖZÜM: . . . . ! ! Z A F E R A Ğ B U L U T Z A F E R A Ğ B U L U T Z A F E R A Ğ B U L U T www.matematikmarketi.com ÖRNEK: 10 kişinin bulunduğu bir gruptan 4,2,2,2 şer kişilik kaç farklı ekip kurulabilir? ÇÖZÜM: . . . . = 3150 ! ÖRNEK: 6 kişi herbirinde en az bir kişi bulunan üç takıma kaç farklı biçimde ayrılabilir? ÇÖZÜM: Takımları (3,2,1), (2,2,2),(1,1,4) şeklinde oluşturabiliriz. . . + . . . + . . . = 90 ! ! AÇIKLAMALI ÖRNEK: 10 öğrenci kendi aralarında basketbol maçı yapmak üzere 5 er kişilik iki takıma kaç değişik biçimde ayrılabilirler? ÇÖZÜM:10 öğrenciden 5 kişilik takım =252 biçimde seçilebilir.Bu durumda kalan 5 kişide diğer takımda olacaktır.Ancak 5 er kişilik bu 252 takımın yarısı diğer yarısının aynısıdır. Birici grup (a,b,c,d,e) (k,l,m,n,p) İkinci grup(k,l,m,n,p) (a,b,c,d,e) Bu durumlar farklı iki gruplama iken ,aynı takımları gösterir.Dolayısıyla 10 öğrenci 5 er kişilik iki takıma . . = 126 şekilde olur. ! Benzer şekilde 12 kişi herbiri 4 er kişilik 3 takıma 12 8 4 1 . . . 4 4 4 3! 20 kişi herbiri 5 er kişilik 4 takıma 20 15 10 5 1 . . . . 5 5 5 5 4! ÖRNEK: 12 farklı hediye 4 çocuğa dağıtılacaktır. Herhangi bir çocuğa 6, diğerlerine 2 şer hediye vermek şartıyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? ÇÖZÜM: 4 12 6 4 2 1 . . . . . 1 6 2 2 2 3! ÖRNEK: 12 farklı hediye 4 çocuğa dağıtılacaktır.Belirli bir çocuğa 6 ,diğerlerine 2 şer hediye vermek koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? ÇÖZÜM: . . . ÖRNEK:12 öğrenci 3,3,6 şar kişilik A,B,C isimli üç gruba kaç türlü ayrılabilirler? ÇÖZÜM: . . . 3!. = 55440 ! ÖRNEK:12 öğrenci 2,2,4,4 er kişilik A,B,C,D isimli 4 gruba kaç türlü ayrılabilir? ÇÖZÜM: . . . . . . 3! ! ! Zafer Ağbulut GRUPLARA AYIRMA ÖRNEK: 5 kişi üç otel odasına ,her odada en az bir kişi olacak şekilde kaç farklı şekilde yerleşirler? ÇÖZÜM: 5 kişi 3 otel odasına 311 veya221şeklinde yerleşebilirler. 5 2 1 3! 5 3 1 3! . . . + . . . = 150 3 1 1 2! 2 2 1 2! 3! ,3 odaya yapılabilecek farklı dağılımlar 2!, 2 odada aynı sayıda kişinin kalmasından doğan aynı durumlar ÖRNEK: 4 arkadaş 5 farklı otel odasından ikisine(her iki odadan birinde enaz iki kişi olacak şekilde) kaç farklı biçimde yerleşebilir? ÇÖZÜM: Önce 5 odadan ikisi seçilir ve buda = 10 demektir. Seçilen iki oda A,B,C,D,E odalarından A ve B olsun.Bu iki odaya yerleşme durumu A B 1 3 2 2 3 1 [ . + . + . ]=140 ÖRNEK: A={1,2,3,4,5,6} kümesi 2 elamanlı 3 altkümeye kaç değişik şekilde ayrılabilir? ÇÖZÜM: . . . = 15 ! Burada 3! 'e bölmemizin nedeni 1.küme {1,2} 1.küme {3,4} 2.küme {3,4} 2.küme {1,2} 3. küme {5,6} 3.küme {5,6} Burada altkümelerin farklı dizilişleri aynı olacağındandır. ÖRNEK:A,B,C aileleri sırasıyla 3,4 ve 5 kişdir.Bu ailelerden 4 kişi seçilip Antalya'ya geziye gönderilecektir.Her aileden en az bir kişi olacağına göre,bu seçim kaç farklı şekilde gerçekleşir? ÇÖZÜM: A B C 2 1 1 1 2 1 1 1 2 . . + . . + . . =270 Z A F E R A Ğ B U L U T Z A F E R A Ğ B U L U T Z A F E R ÖRNEK: 9 çocuk 3 'erli 3 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? ÇÖZÜM: Kimlerle takım oluşturulduğu ,takımda kimlerin olduğu önemli olsaydı . . =1680 diye çözüm yapardık.Ama burada takımların önemi yoktur.Daha açık bir ifadeyle üstteki üstteki durumda (a,b,c),(d,e,f) ve(k,l,m) taıkmlarını kendi aralarında yer değiştirmiş oluyoruz.Halbuki bu soruda buna gerek yoktur. 9 6 3 1 . . . = 280 3 3 3 3! İKİNCİ YOL: 9 kişiden birini rastgele alalım.Şimdi bu adama takım oluşturmak için 2 adam gereklidir.Bu iki adamı = 28 şekilde seçebiliriz.Şimdi ilk takım oluştu.Kalan 6 adamdan birini rastgele alalım.Bu adamada takım oluşturmak için 2 adam gereklidir. Kalan 5 adamdan 2 adam = 10 şekilde seçilir. Geriye kalan 3 adam zaten bir takım oluşturuyor. 28.10=280 cevabımız olur. ÖRNEK: 10 kişiyi 2 şer kişilik 5 ekibe kaç farklı şekilde ayırabiliriz? ÇÖZÜM: BİRİNCİ YOL: . . . . . = 945 ! İKİNCİ YOL: Bir adam seçip yanına bir kişi alırsak,aynı şekilde bir adam alıp yanına bir kişi verip işleme devam edersek 9 7 5 3 1 . . . . = 945 1 1 1 1 1 ÖRNEK: 10 kişi aynı anda 5 çift olmak üzere tokalaşı yorlar.Bu tokalaşmalardan kaç değişik fotoğraf elde edilir? ÇÖZÜM: 10 kişiden birisi A olsun.A ile tokaşacak kişi sayısı dir.Şimdi A ile tokalaşmayan birini alalım. Adı B olsun.B nin eşini şekilde seçebiliriz. A ve B ile tokalaşmayan birini alalım adı C olsun. Cnin eşini şekilde seçebiliriz. A,B,C kişileriyle tokalaşmamış kişinin adı D olsun. D nin eşini şeklinde seçeriz. Son olarak A,B,C ve D kişileriyle tokalaşmamış kişi E olsun.Onun eşinide şekilde seçebiliriz. 9 7 5 3 1 . . . . = 945 1 1 1 1 1 A Ğ B U L U T www.matematikmarketi.com Zafer Ağbulut