Karışım Problemleri
Transkript
Karışım Problemleri
MATEMATĐK’ĐM YILLAR 2002 ÖSS-YGS - 2003 1 2004 - 2005 - 2006 - 2007 - 8 40 KARIŞIM PROBLEMLERĐ x ve y maddelerinden oluşan bir karışımda sırasıyla x ve y miktar madde varsa bu karışımdaki x maddesinin yüzdesi Saf madde x .100 dir. x+y Toplam karışım 2008 - tuz .100 ⇒ karışım Karışım Problemleri 2009 2010 2011 - 8 .100 40 + 10 2 8 100 = 16 %16 olur. 50 (su sadece karışımı arttırdığından paydaya eklendi) ⇒ kesrimizi hangi madde soruluyorsa o maddeyi saf madde kabul edip aşağıdaki gibi yazarız c) Karışıma 10 gr tuz eklersek karışımın tuz oranı ne olur? 8 tuz 8 + 10 .100 ⇒ .100 40 karışım 40 + 10 Saf Madde .100 Toplam karışım 18 .100 = 36 %36 olur 50 (burada ise tuz hem tuz hanesini hem de karışım hanesini etkiler o yüzden ikisine de eklendi) ⇒ MATEMATĐK’ĐM KAVRATICI ÖRNEK Tuz oranı %20 olan 40 gr tuzlu su karışımı için Aşağıdaki soruları çözeceğiz. - Soruları çözmeye başlamadan önce ön hazırlık mahiyetinde saf maddeleri ayrıştıralım 40. 20 = 8 gr tuz var 100 40-8 = 32 gr su var d) Karışıma 10 gr su eklersek karışımın su oranı ne olur -bu sefer saf maddemiz sudur. 40 gramın 32 gramı su idi Su 32 o halde kesrimiz: .100 olur. 40 karışım Şimdi su ekleyelim: Su 32 + 10 42 .100 = .100 = 84 40 + 10 50 karışım Tuz Oranı sorulduğunda esas kesir : 8 tuz .100 40 karışım Su Oranı sorulduğunda esas kesir : 32 su .100 40 karışım - Bu kesirlerin pay ve paydasına gerekli maddeler eklenir ve işlem yapılır. - Karışım bölümü her zaman eklenecek ve çıkarılacak maddelerle değişecektir. Ancak saf madde bölümü ancak eklenen madde ile aynı ise değiştirilecektir. a) Kaç gr tuz, kaç gr su vardır? 8gr tuz ve 32 gr su var b) Karışıma 10 gr su eklersek karışımın tuz oranı ne olur? yani su oranı %84 olur. e) Karışıma 6 gr tuz, 4 gr su karışımın tuz oranı ne olur? 8 tuz 8+6 .100 ⇒ .100 40 karışım 40 + 6 + 4 ⇒ eklersek 14 .100 = 28 %28 olur. 50 f) Karışıma tuz oranı %30 olan 60 gr tuzlu su eklersek karışımın tuz oranı ne olur? Yeni karışım içi tuz kesrini yazalım 30 18 tuz = 18 ⇒ 60. .100 100 60 karışım şimdi de iki karışımın pay ve paydalarını birleştirelim. (100, birleşimden sonra tek sefer yazılır..oran bulunsun diye.) . www.globalders.com 82 MATEMATĐK’ĐM Esas Karışım 8 40 tuz Karışım Problemleri Eklenen Karışım I) Karışımın ¼’ü dökülüp yerine tuz oranı %40 olan 30 gr tuzlu su konursa karışımın tuz oranı ne olur? tuz .100 karışım 18 .100 60 karışım - yeni eklenen karışımın kesrini bulalım: 40 30. = 12gr tuz var dır 100 bu durumda eklenen karışımın kesri: 12 tuz .100 dır. 40 karışım 8 + 18 . 100 40 + 60 26 .100 = 26 %26 100 g) Karışımdan 20 gr su buharlaştırırsak karışımın tuz oranı ne olur? - buharlaşan su olduğundan sadece karışımı etkiler. Tuz buharlaşmaz 8 tuz 8 8 .100 = .100 = .100 = 40 40 karışım 40 − 20 20 şimdi ikisini karıştıralım 8 tuz .100 40 karışım h) Karışımın ¼’ü dökülüp yerine aynı miktarda tuz konursa karışımın tuz oranı ne olur? - dökülme sorularında önce döküp sonra saf maddeyi tekrar hesaplamak ve kesri yazmak lazım 40’ın ¼ ‘ü 10 dur. 40-10 =30 gr karışım kalır. döküldükten sonra karışımın tuz yüzdesi yine aynıdır değişmez. Kalan karışımın tuz miktarı: 20 30. = 6 gram tuz vardır. 100 6 tuz .100 olur. ve yeni kesir : 30 karışım MATEMATĐK’ĐM oranımız %40 olur. Şimdi yeni karışıma 10 gr tuz ekleyelim 6 tuz 6 + 10 16 .100 = .100 = .100 = 40 30 karışım 30 + 10 40 o halde yeni karışımın tuz oranı %40 olur. dökülüp yerine aynı i) Karışımın ¼’ü miktarda su konursa karışımın tuz oranı ne olur? g şıkkında kesrimizi bulmuştuk. tuz 6 6 6 .100 = .100 = .100 = 15 30 karışım 30 + 10 40 12 40 tuz .100 karışım 8 + 12 20 .100 = .100 = 25 40 + 40 80 yani yeni karışım %25 tuz içerir. Örnek ( 1) Đçinde 5Lt alkol bulunan 125lt lik Alkol-su karışımındaki alkol oranı % kaç? ÇÖZÜM: Konumuzun başında da dediğimiz gibi hangi maddenin yüzdesi soruluyorsa o saf madde kabul edilip paya yazılır. Saf madde dahil tüm maddelerde paydaya yazılır. ÇÖZÜM: 100 5 .100 = = 4 yani %4 bulunur. 25 125 25 Örnek ( 2) Alkol oranı % 10 olan 40 litre ispirto ile alkol oranı %40 olan 20 lt ispirto karıştırılırsa karışımın alkol oranı yüzde kaç olur. ÇÖZÜM: Karıştırılacak karışımların her birinin saf maddelerini bulup paya, toplam karışımları da paydaya yazalım demek ki yeni tuz oranı %15 olur. . www.globalders.com 83 MATEMATĐK’ĐM Alkol oranı % 10 olan 40 litre ispirtoda 40. Karışım Problemleri ⇒ 6x + 12y = 10x + 10y ⇒ 2y = 4x y 4 ⇒ = = 2 bulunur. x 2 1 = 4 lt alkol var 10 alkol oranı %40 olan 20 lt ispirtoda 20. Örnek ( 5) Tuz oranı %x olan 100gr tuzlu suyun içinden xgr su buharlaştırılıyor. Yeni çözeltinin tuz oranı eskisinin 4/3 katı oluyor. Karışımda kaç gram tuz vardır. 40 = 8 lt alkol var 100 Saf Madde 4+8 12 .100 ⇒ .100 = .100 Toplam karışım 40 + 20 60 ⇒ %20 bulunur. ÇÖZÜM: 100 gr tuzlu suyun oranı %x ise karışımda x gr tuz var demektir. Örnek ( 3) Tuz oranı %20 olan 300 gr tuzlu su ile 100 gr lik tuzlu su karıştırılıyor. Elde edilen karışımın tuz oranı %25 ise ikinci karışımın tuz oranı nedir? Tuz karışım x x 4 .100 ⇒ .100 = .x 100 100 − x 3 ⇒ 300 x = 4 x .(100 − x) ⇒ 300 = 400 − 4x ⇒ 4x = 100 ⇒ x = 25 gr tuz vardır. MATEMATĐK’ĐM ÇÖZÜM: Tuz oranı %20 olan 300 gr tuzluda 20 300. = 60 gr tuz var 100 100 gr lık ikinci karışımın içinde x gr tuz olsun 60 + x 60 + x .1 00 = 25 .100 = 25 ⇒ 300 + 100 4 00 60+x = 100 x = 40 gr 100 gr lık karışımda 40 gr tuz demek %40 tuz demektir. Örnek ( 4) Tuz oranı %30 olan x kg ve tuz oranı %60 olan y kg karıştırılıyor karışımın tuz oranı %50 ise y/x=? eski karışım Örnek ( 6) Alkol oranı %40 olan 60 lt kolonyaya kaç lt saf alkol ilave edelim ki karışımın alkol oranı %50 olsun? ÇÖZÜM: Alkol oranı %40 olan 60 lt kolonyada 40 60. = 24 lt saf alkol vardır. 100 Bu karışıma x lt saf alkol ekleyelim alkol 1 24 24 + x 2 .100 = .100 = 50 60 60 + x kolonya ⇒ 2x + 48 = x + 60 ⇒ x = 12 lt saf alkol ilave etmek ÇÖZÜM: gerekir. Tuz oranı %30 olan x kg karışımda 30 3x x. = gr tuz var 100 10 Tuz oranı %60 olan y kg karışımda 60 6y y. = gr tuz var 100 10 ikisini karıştıralım 3x 6y + 10 10 .100 = 50 ⇒ 3x + 6y . 1 = 50 x+y 10 x + y 100 Örnek ( 7) Şeker oranı %40 olan 80lt şekerli suyun ne kadarı buharlaştırılmalıdır ki şeker oranı %50 olsun ÇÖZÜM: Şeker oranı %40 olan 80lt şekerli suda 40 80. = 32 gr şeker vardır. 100 X gr su buharlaştıralım 2 . www.globalders.com 84 MATEMATĐK’ĐM şe ker 2 1 32 32 .100 = . 100 = 50 80 80 − x karışım Karışım Problemleri 20 40 − x = lt sirke vardır. 100 5 40 − x 40 − x 5 .100 ⇒ 5 .100 = 5 40 − x 40 − x + x (40 − x). ⇒ 64 = 80 − x ⇒ x = 16 gr su buharlaştırmalıdır sirke Örnek ( 8) %30 lık 40lt karşıma %60 lık karışımdan kaç lt katalım ki son karışım %50 lik olsun karışım 40 − x = 5.40 5 ⇒ 100 (40 − x) = 10 00 ⇒ 40 − x = 10 ⇒ x = 30 lt su ilave edilmiştir. ⇒ 100. ÇÖZÜM: %30 lık 40lt karşımda: 30 40. = 12 lt saf madde var 100 %60 lık x lt karışımda 60 3x x. = lt saf madde olsun 100 5 ikisini karıştıralım, 3x 12 + 2 1 5 . 100 = 50 ⇒ 24 + 6x = x + 40 40 + x 5 ⇒ 120 + 6x = 5x + 200 ⇒ x = 80 lt katılmalıdır. MATEMATĐK’ĐM Örnek ( 11) Bir A kabında %80 lik tuzlu su vardır. Aynı hacimdeki B kabında da %60 lık tuzlu su vardır. Önce A kabının yarısı B kabına sonrada B kabının yarısı A ya boşaltılıyor. Son durumda A kabındaki tuz yüzdesi? Örnek ( 9) Şeker oranı %20 olan 10 kg unŞeker karışımına 6kg un ve 4 kg şeker karıştırılırsa seker oranı % kaç olur? ÇÖZÜM: Aynı hacim dediğinden ikisini de 100 gr alalım A kabında %80 tuzlu su vardır. Yani 80 gr Tuz B kabında %60 tuzlu su vardır .Yani 60 gr Tuz ÇÖZÜM: Aktarımları tuz ve karışım olarak yapacağız Şeker oranı %20 olan 10 kg un-Şeker 20 karışımında : 10. = 2 gr şeker vardır. 100 şe ker 2 2+4 6 .100 = .100 = .100 = 30 10 + 4 + 6 20 karışım10 o halde şeker oranı %30 olur. Örnek ( 10) %20 si sirke olan 40lt lik bir karışımın belli bir miktarı dökülüp yerine aynı miktarda saf su ilave edilerek sirke oranı %5 e düşürülüyor. ilave edilen su miktarı kaç lt dir? Tuz Karışım B 60 100 A’nın yarısı B’ye gitsin; Tuz Karışım A 80-40=40 100-50=50 B 60+40=100 100+50=150 Şimdi de B’nin yarısı A’ya gitsin ÇÖZÜM: x litre döküldüğünü kabul edelim. O zaman karışım (40 – x) kalır A 80 100 Tuz Karışım A B 40+50=90 100-50=50 50+75=125 150-75=75 Đşlem tamam. %20 si sirke olan (40 – x)lt lik bir karışımda: . www.globalders.com 85 MATEMATĐK’ĐM Şu anda A kabında 90gr’ı tuz olan 125 gr tuzlu su var. A kabının tuz oranı: Saf Madde 90 .100 = .100 = 72 Toplam Karışım 125 yani tuz oranı %72 olur. Karışım Problemleri 60 gramlık karışımın %30’u tuz ise %70’i sudur. 70 = 42 Karışımdaki su miktarı: 60. 100 Kesrimiz: Su 42 42 42 .100 = 42 .100 = .100 = 60 60 + 40 100 karışım Örnek ( 12) %20 lik alkol çözeltisine hacminin 3 katı kadar saf su ekleniyor. Alkol yüzdesi? O halde karışımın %42’si sudur. (karışımın su oranı sorulduğundan saf maddeyi su kabul ettik. Dolayısıyla eklenen tuz, suyu arttırmayacağından pay(yani su hanesi) artmadı) ÇÖZÜM: Örnek ( 14) Bir satıcı kilogramı 3 TL olan 40 kg pirinç ile kg’ı 4,8 TL olan pirinçten 20 kg karıştırıyor. Satıcının zarar etmemesi için karışımın 1 kg’ını kaçtan satmalıdır. Çözeltimiz 100lt olsun %20 alkol demek 100 lt’de 20 lt demek şimdi kesrimizi yazıp çözeltinin 3 katı yani 300 lt su ekleyelim: Alkol 20 20 20 .100 = .100 = .100 = 5 100 100 + 300 400 Çözelti demek ki yeni çözeltinin alkol yüzdesi %5 tir. MATEMATĐK’ĐM Örnek ( 13) %30’u tuz olan 60 gr tuzlu suya 40 gr tuz ilave edersek karışımın su oranı ne olur? ÇÖZÜM: Bu tür ters sorulara dikkat etmeliyiz verilen saf madde oranı ile istenen saf madde oranı birbirinden farklı (tuz oranı vermiş su oranı istiyor). Bu soruları iki yolla yapabiliriz. Hangisi kolaysa onu seçin ÇÖZÜM: Önce elimizde nekadarlık pirinç var onu bulalım, Harcanan tutar: 40.3+20.(4,8)=120+96=216 TL Toplam pirinç miktarı : 40+20 = 60 kg 216 = 3, 6 TL’ye 60 mal olmuştur. O zaman satıcı kg’ını 3,6 dan satarsa zarar etmez. Bu durumda pirincin kg’ı : Örnek ( 15) Kilogramı 5 lira olan yağ ile, kilogramı 8 lira olan yağ hangi oranda karıştırılmalıdır ki kilogramı 7 lira olsun 1.yol: ÇÖZÜM: önce tuz oranını bulur 100’den çıkararak su oranını buluruz %30’u tuz olan 60 gr tuzlu suda : 30 60. = 18 gr tuz vardır. 100 Kesrimiz: Tuz 18 18 + 40 58 .100 = 58 .100 = .100 = + 60 60 40 100 karışım Kilosu 5 lira olan yağdan a kg, kilosu 8 lira olan yağdan da b kg alalım Harcadığımız para 5a+8b olur Elimizdeki yağ miktarı a+b 5a + 8b Oranlarsak : = 7 ⇒ 5a + 8b = 7a + 7b a+b ⇒ 2a = b a 1 ⇒ = oranında b 2 karıştırmalıdır. Karışım %100 Tuz ve su’dan oluştuğu için: %58’i tuz ise 100-58=42 %42’si su olur. 2.yol . www.globalders.com 86 MATEMATĐK’ĐM Örnek ( 16) Asit oranı %20 olan bir karışımın 2/5 i alınıp yerine aynı miktarda saf su konuyor. Yeni karışımın Asit oranı? Karışım Problemleri yükseltilmesi isteniyor Bunun için ne kadar su buharlaştırılmalıdır? ÇÖZÜM: Miktar belirtilmediğinden 100 gr alalım Dökülme sorularında işe dökme ile başlıyorduk 2 100. = 40 gr dökülürse 60 gr kalır. 5 Kalan karışımın asit oranı değişmeyeceğinden 20 60. = 12 gr asit var 100 kesrimizi yazıp döktüğümüz 40gr karışım yerine 40 gr su ekleyelim: Asit 12 12 .100 ⇒ .100 = 12 60 60 + 40 Karışım demek ki yeni karışımın asit oranı %12 olur. Örnek ( 17) Kilogramı 3,5 lira olan pirinçten 10kg, kilogramı 2 lira olan pirinçten 20kg, karıştırılıyor. kilogramı 3 lira olan pirinçten ne kadar karıştıralım ki kilogramının fiyatı 2,6 lira olsun ÇÖZÜM: Kilosu 3 lira olan pirinçten a kilo katalım. Önce cepten çıkan parayı bulalım: 10.(3,5)+20.2+a.3 = 35+40+3a = 3a + 75 lira şimdi de elimizdeki pirinç miktarına bakalım: 10+20+a = a+30 bu verileri oranlayıp ortalamamızı bulalım ve 2,6 liraya eşitleyelim 3a + 75 26 13 = 2, 6 = = a + 30 10 5 5(3a+75) = 13(a+30) 15a + 375 = 13a + 390 2a = 15 a = 7,5 kg karıştırmak gerekir. ÇÖZÜM: Önce karışımdaki tuzu bulup kesrimizi yazalım Tuz 20 24 120. = 24 gr tuz var .100 100 120 Karışım şimdi buharlaştırılacak miktar x gr olsun. Bu durumda karışım eksilir. Tuz yerinde kalır. Tuz 2 1 24 24 .100 ⇒ .100 = 50 120 120 − x Karışım ⇒ 48 = 120 − x ⇒ x = 72 gr su buharlaştırılmalıdır. Örnek ( 20) A ve B karışımlarından eşit miktarlarda alınırsa yeni karışımın % kaçı şeker olur? ÇÖZÜM: A ve B maddelerinde 60’ar gr alalım A maddesinin grafiğine bakılırsa 40 gr un için 20 gram şeker vardır yani 60 gr’da 20 gram şeker var. B maddesinin grafiğine bakılırsa 50 gr un için 10 gr şeker var. Yani 60 gramda 10 gr şeker var Đkisini karıştıralım: A 'dan gelen 20 + 10 B'den gelen .100 60 + 60 30 .100 = 25 120 yani %25 şeker olur. Örnek ( 18) 120 gr tuzlu su karışımında tuz oranı %20 dir Bu karışımın tuz oranının %50 ye . www.globalders.com 87 MATEMATĐK’ĐM Örnek ( 21) A musluğu bir havuzu 10 saatte , B musluğu aynı havuzu 6 saatte dolduruyor. A musluğu %60’lık, B musluğu % 40’lık tuzlu su akıtıyor. Havuz dolduğunda tuz oranı ne olur? Karışım Problemleri Saf madde .24 = Toplam karışım Saf Altın Karışım 33 .24 36 Saf Altının ayarı Saf altının ayarı gümüş katılarak azaltılır. (tuzlu sudaki su misali) karışımımıza x gr gümüş ekleyelim 4 3 33 . 24 = 18 ⇒ 3x + 108 = 132 36 + x ⇒ 3x = 24 ⇒ x = 8 gr gümüş eklemeliyiz ÇÖZÜM: Bu iki musluğun birim zamanda akıttıkları su miktarı havuzu doldurma süreleriyle ters orantılı oluğundan A MUSLUĞU B MUSLUĞU Süre : 10 sa 6 sa Miktar : 6 lt 10 lt Şeklinde akıttıkları su miktarlarını belirleriz Şimdi bu miktarlarla tuz oranlarını kullanarak ne kadar tuz akıttıklarını bulalım: Örnek ( 23) Saf altın 24 ayardır. 20 gr 18 ayar altın ile 60 gr 22 ayar altın beraber eritilirse kaç ayar altın elde edilir? 60 = 3, 6 tuz 100 40 = 4 tuz B musluğu : 10. 100 Şimdi de bu iki karışımı tek havuzda birleştirelim 3, 6 + 4 7, 6 .100 = .100 = 47,5 6 + 10 16 demek ki havuzdaki suyun tuz oranı %47,5 tir. ÇÖZÜM: MATEMATĐK’ĐM A musluğu : 6. Örnek ( 22) Saf altın 24 ayardır. 36 gr’lık 22 ayar altına kaç gram gümüş ilave edelim ki 18 ayar altın elde edilsin? ÇÖZÜM: NOT: Altın-gümüş sorularıyla çözelti sorularının saflık hesabı aynı mantıkla yapılır tek bir farkla ; çözeltilerde saflık derecesi 100 iken, altında saflık derecesi 24, gümüşte ise 925 tir. Altın ve gümüşteki saf madde yüzdesi ayar olarak ifade edilir Bu yüzden çözeltilerdeki 100’lerin yerini altında 24, gümüşte 925 alır. Şimdi sorumuza dönelim. 36 gr’lık 22 ayar altındaki saf altını bulalım 22 36. = 33 gr saf altın var 24 şimdi kesrimizi yazalım: Diğer sorularda yaptığımız gibi önce saf maddeyi ayrıştıralım: 18 20 gr 18 ayar altında : 20. = 15 gr saf altın 24 22 30 gr 22 ayar altında : 60. = 55 gr saf altın 24 ikisini eriterek karıştıralım 15 + 55 70 .24 = .24 = 21 ayar altın olur. 20 + 60 80 Örnek ( 24) %30’u su olan a litrelik bir karışıma 20 litre daha su ilave ediliyor. Elde edilen yani karışımın % 50’si su olduğuna göre , a kaçtır? (ÖSS 2003) ÇÖZÜM: %30’u su olan a litrelik karışımdaki su: 30 3a a. = gramdır 100 10 Su 3a 3a + 20 10 .100 = 10 .10 0 = 5 0 kesrimiz: a a + 20 karışım 3a + 10.20 = 5(a + 20) 10 ⇒ 3a + 200 = 5a + 100 ⇒ 2a = 100 ⇒ a = 50 olur. ⇒ 10. . www.globalders.com 88 MATEMATĐK’ĐM Karışım Problemleri Örnek ( 25) A kg şeker , B kg un ile karıştırılıyor. Bu karışımın ağırlıkça yüzde kaçı şekerdir? (ÖSS-2001) ÇÖZÜM: Konumuzun en başında verdiğimiz kesri yazalım: (hangi madenin yüzdesi sorulursa saf madde o kabul edilir) Saf Madde A 100A .100 = .100 = A+B A+B Toplam karışım Örnek ( 26) Ağırlıkça % 70 ‘i şeker olan unşeker karışımından x kg, % 45’i şeker olan başka bir un-şeker karışımından ise y kg alınarak % 65’i şeker olan yeni bir karışım elde ediliyor. Buna göre x,y’nin kaç katıdır? (ÖSSMATEMATĐK’ĐM 2000) ÇÖZÜM: Yine karışımlardaki saf maddeleri bulup tek kesirde yazalım: % 70 ‘i şeker olan x kg karışımda: 70 7x x. = gr şeker 100 10 % 45’i şeker olan y kg karışımda: 45 9y y. = gr şeker 100 20 ikisini karıştıralım: 7x 9y + 10 20 .100 = 65 ⇒ 100. 7x + 9y = 65(x + y) x+y 10 20 7x 9y ⇒ 100. + 100. = 65x + 65y 10 20 ⇒ 70x + 45y = 65x + 65y ⇒ 5x = 20y ⇒ x = 4y yani x, y’nin 4 katıdır. HAZIRLAYAN ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU Matematik Öğretmeni www.globalders.com e-mail: ibrahimhalilbaba@mynet.com . www.globalders.com 89