EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25
Transkript
EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25
Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25 1 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 2 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net SAYILAR len sayı dizilerine ardışık sayılar denir. n TAM SAYILAR VE DOĞAL SAYILAR Z olmak üzere; Ardışık tam sayılar={…,-2,-1,0,1,2,…,n,n+1,…} Ardışık çift tam sayılar={…,-2,0,2,…,2n,2n+2,…} Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere Ardışık tek tam sayılar={…-1,0,1,…,2n-1,2n+1,…} rakam denir. Onluk sayma sisteminde kullanılan rakamlar kü- 4 ün katı ardışık tam sayılar; mesi, {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dur. {…,-4,0,4,…,4n,4n+4,…} Sayma Sayıları: 1 ile başlayıp sonsuza kadar ar- Kural: Artış miktarı eşit olan ardışık sayılardan dışık olarak büyüyen sayılar kümesidir. sonlu tanesinin toplamı için ; + {1,2,3,…,n,n+1,…} dir. (n N ) a1= ilk terim an= son terim Doğal Sayılar: 0 ile başlayıp sonsuza kadar olmak üzere, r= ortak fark ardışık olarak büyüyen sayılar kümesidir. + N={0,1,2,3,…,n,n+1,…} dir. (n N) Terimsayısı = n = an a1 r 1 Tam Sayılar: Doğal sayılar ve doğal sayıların negatiflerini aldığımızda oluşan kümeye tam sayı- Terimler Toplamı= an a1 2 lar kümesi denir. .n formülleri ile bulabiliriz. Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} - Z ={…,-3,-2,-1} negatif tam sayılar kümesi {0} (elemanı 0 olan bir küme) TAM SAYILARDA DÖRT ĠġLEM + Z ={1,2,3,…,n,n+1,…} pozitif tam sayılar kümesi Z - {0} + Z =Z biçiminde gösterilir. Toplama: Tek-Çift Sayılar: n Pozitif tam sayıların toplamı daima pozitiftir. Z, 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı ve 2n-1 ifadesi ile belirtilen tam (+2) + (+7) = 2 + 7= 9 sayılara tek sayı denir. Negatif tam sayıların toplamı daima negatiftir. Çift sayılar kümesi “Ç” ile gösterilir. (-7) + (-11) = -7 – 11 = -18 Ç={…,-6,-4,-2,0,2,4,6,…,2n,…} Tek sayılar kümesi “T” ile gösterilir. Zıt işaretli iki tam sayı toplanırken, birbirinden T={…,-5,-3,-1,1,3,5,…,2n-1,…} çıkartırız. Mutlak değerce büyük olanının işaTek ve çift sayılarla ilgili genel özelliklerimizi bir retini veririz. tabloda gösterelim. (-7) + (+11) = -7 + 11 = 4 (+7) + (-11) = 7 – 11 = -4 + T T=Ç T T=T n T Ç=T T Ç=Ç T =T Ç Ç=Ç Ç Ç=Ç Ç =Ç Z n Çarpma ve Bölme: n Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı daima pozitiftir. Bölme işlemi için belli bir kural yoktur. ArdıĢık Sayılar: Belli bir kurala göre art arda ge- (+7) (+3) = 21 (-7) (-3) = 21 3 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. Zıt işaretli iki tam sayının çarpımı daima ne- Asal Sayılar: 1 den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan doğal sayı- gatiftir. (-7) (+3) = -21 (+7) (-3) = -21 ya asal sayı denir. Bazı asal sayılar; 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… Aynı işaretli iki tam sayının bölümü daima pozi- En küçük asal sayı 2 dir. tif, farklı işaretli iki tam sayının bölümü daima 1 den büyük her doğal sayının en az bir asal negatiftir. sayı böleni vardır. -12 -20 = +2 , =-5 -6 4 1 den büyük bir n doğal sayısı, kendinden büyük olmayan hiçbir asal sayı ile bölünmüyorsa n asal sayıdır. Çıkarma: (+a) - (-b) = a + b Örnek: 127 sayısının asal olup olmadığını anla- (+a) – (+b) = a – b dir. mak için; 127 11,.. olduğundan 127 sayısı 11 ve 11’den küçük olan 2,3,5,7 ve 11 asal sayılarından herhan- Tam Sayılarda Kuvvet Alma: gi birine bölünmediği için 127 asal bir sayıdır. 2 (2) = 2.2 = 4 2 (-2) = (-2).(-2) = 4 Örnek: Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır? 3 (-2) = (-2).(-2).(-2) = -8 0 0 (-2) = (+2) = 1 A) 93 Negatif bir tam sayının, çift kuvveti pozitif, tek B) 129 C) 233 D) 267 E) 372 kuvvet, negatif bir tam sayıdır. 2 Çözüm: 2 93, 129, 267 ve 372 sayıları 3 ile bölünürler. (-2) = 4 , -2 = -4 (-a) 2n =a 233 2n 15,… 233 sayısı 2,3,5,7,11 ve 13 e bölünmediği için asal sayıdır. (-a) 2n (-a) 2n-1 =a 2n = -a 2n-1 (n N) (n N) Yanıt: C Aralarında Asal Sayılar: Olarak bölenleri 1 olan 2 veya 2 den büyük doğal sayılara aralarında asal sayılar denir. Mükemmel Sayı: (1 ve 16), (2 ve 15), (9, 12, 20) aralarında asal Kendisinden başka pozitif bölenlerinin toplamı sayılardır. kendine eşit olan sayıya mükemmel sayı denir. n N ve (n+1) asal sayı olmak üzere n M= 2 .(2 n+1 1 ile bütün sayılar aralarında asaldır. -1) ifadesi mükemmel sayıyı verir. Ancak bu formülün mükemmel sayılar için doğ- Ardışık pozitif tam sayılar aralarında asaldır. ruluğu kesinlik kazanmamış olup araştırmalar devam etmektedir. a ile b aralarında asal iki pozitif tam sayı ise, (a+b) ile (a.b) de aralarında asaldır. Örnek: 28 sayısının kendisi dışındaki pozitif bölenleri 1,2,4,7,14 dür. x ile y ve a ile b aralarında asal sayı, 1+2+4+7+14=28 olduğundan 28 mükemmel sayıdır. x=a ve y=b dir. 4 x a = ise y b Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net Örnek: x ve y doğal sayılar, (x+6) ve (y-2) A dan küçük ve A ile aralarında asal olan doğal aralarında asaldır. (x+6).(y-2)= 36 olduğuna göre, sayıların sayısı: x in kaç farklı değeri vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 A. 1 1 . 1 1 . 1 1 a b c E) 5 A nın tam sayı bölenlerinin çarpımı: Çözüm: (x+6) . (y-2) = 36 A ( x +1).( y +1).( z+1) 2 36 1 ise x=30 ve y=3 9 4 ise x=3 ve y=6 4 9 ise x=-2 N ve y=11 Çözüm: 1 36 ise x=-5 N ve y=38 96=2 .3 Örnek: 96 sayısını inceleyelim. 5 Bu durumda x in iki farklı değeri vardır. 1 1) 96 sayısının pozitif tam sayı bölen sayısı: p= (5+1).(1+1) = 12 tanedir. Asal Çarpanlara Ayırma: Bir doğal sayıyı, asal çarpanları türünden ifade etmeye asal çarpanlara 2) 96 sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı: ayırma denir. 160 80 40 20 10 5 1 2.12 = 24 tanedir. 2 2 2 2 2 5 3) 96 sayısının asal bölenleri toplamı: 2+3 = 5 5 160=2 .5 olur. 4) 96 sayısının tam sayısı bölenlerinin toplamı:0 5) 96 sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı: 24-2 = 22 tanedir. Bir Doğal Sayının Pozitif Bölenlerinin Sayısı: 6) Tam sayı bölenlerinin toplamı ile asal sayı A bir doğal sayı olsun, bölenlerinin toplamının farkı: 0-5 = -5 a, b, c birbirinden farklı asal sayılardır. x, y, z pozitif tam sayılar ise A nın asal çarpanları x y A=a .b .c z 7) 96 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin topla- biçiminde ifade edilir. Buna göre A mı: doğal sayısını bölen; T= Pozitif tam sayı bölen sayısı: (x+1).(y+1).(z+1) 25 1 1 31 1 1 . 2 1 3 1 64 1 9 1 =63.4=252 . 1 2 T=252 olur. Tam sayı bölen sayısı: 2.(x+1).(y+1).(z+1) Pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı: 8) 96 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çar0 1 x 0 1 y 0 1 pımı: z T=(a +a +…+a )(b +b +…+b )(c +c +…+c ) veya 1 by 1 1 c z 1 1 . . a 1 b 1 c 1 T=. a x 1 Ç= 96 (5+1).(1+1) 2 6 = 96 bulunur. 5 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 2 ÇÖZÜMLÜ TEST 1. a, b 2 2 2 5. A= 3 .(150) .8 .(25) sayısı kaç basamaklıdır? + Z olmak üzere, A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 3a+5b=84 koĢulunu sağlayan kaç tane b sayısı vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 6. x, y ve z birbirinden farklı rakamlar ise, 6x4y+5z ifadesinin en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır? 2. x, y N olmak üzere, x+y=23 olduğuna göre, x.y nin alacağı en A) 61 B) 63 C) 65 D) 67 E) 69 küçük değer ile en büyük değerlerinin toplamı kaçtır? A) 132 B) 135 C) 155 D) 157 E) 159 + 7. a Z ise; aĢağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır? 3. 5 3x 15 ifadesinin bir tam sayı belirtmesi x 2 için x yerine kaç tane farklı tam sayı yazılabilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 3 2 A) a +a +4 4 B) a +a+7 C)a +11 4 3 a +a 2 3 D) E) a -a +6 2 E) 6 4. a, b, c birer doğal sayı, 8. x, y, z a.b=42 Z + olmak üzere, x+7 = z eşitliği 2y + 6 veriliyor. AĢağıdakilerden hangisi daima doğrudur? a.c=77 olduğuna göre, a+b+c toplamı en az kaçtır? A) x tek sayı A) 22 B) 23 C) 24 D) 26 E) 27 B) y tek sayı D) x çift sayı 6 C) y çift sayı E) z tek sayı Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net + 9. a, b N olmak üzere, 13. A= 1+2+3+…+n (5a+4b) tek ve (2a+b) çift bir sayıdır. B= 5+6+7+…+(n-4) Buna göre, aĢağıdakilerden hangisi daima A-B farkı 180 olduğuna göre, n kaçtır? tek sayıdır? A) 44 B) 45 C) 46 D) 47 E) 48 A) 2a+b B) a.b C) a+b D) 2(a+b) E) a.b+4 14. A=1.3+3.5+5.7+…+31.33 A sayısının ikinci çarpanlarını 1 arttırdığı10. x N, 0 < x ≤ 165 arasındaki 4 ile tam mızda sayı ne kadar artar? bölünmeyen sayılar kaç tanedir? A) 252 A) 124 B) 125 C) 126 D) 127 B) 256 C) 260 D) 262 E) 266 E) 128 11. x, y, z ardışık 3 tek sayıdır. x>y>z olduğuna 15. X=1.2+2.3+3.4+…+27.28 olduğuna göre, göre, A=3.4+6.6+9.8+…+81.56 toplamının X cinsin- ( x - y )3 + ( x - z ) ifadesinin değeri kaçtır? ( y - z )2 den değeri nedir? A) 3X+3 A) 8 B) 6 C) 3 + D) 2 2 A) 1 B) 5 C) 9 D) 3X E) 2X+4 16. (5x+12) ve (3y+1) sayıları aralarında asaldır. 2x 5 3 olduğuna göre, 5x-3y farkı kaçtır? 5y 2 5 3 D) 15 C) 6X E) -3 N olmak üzere, 45.x = y dür. x Buna göre, nin en küçük değeri kaçtır? y 12. x, y B) 6X+6 A) 2 E) 25 B) 1 C) -6 7 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. D) -7 E) -8 3x + 15 3x + 6 + 9 3( x + 2) 9 9 = = + = 3+ x+2 x+2 x+2 x+2 x+2 ÇÖZÜMLER Bu işlemden sonra değer bulma işlemleri yuka- 1. A sayısının kat sayısı 84 e tam bölünüyor. O rıdaki örnekte olduğu gibi aynen uygulanır. halde b sayısı 3 ve 3 ün katı olmalıdır. 3, 6, 9, Yanıt: E 12, 15 değerlerini alır. 18 sayısında negatif değer alacağından b 18 dir. 4. a.b= 42 Yanıt: C olduğuna göre a.c= 77 a.b= 7.6 2. x+y=23 a=7, b=6, c=11 dir. x.y=0.23=0 en küçük değerdir. x=0 ve y=23 x=11 ve y=12 a.c= 7.11 x.y=11.12=132 en büyük a+b+c=7+6+11=24 olur. değerdir. Yanıt: C Buradan 0+132=132 bulunur. Yanıt: A 2 2 6 4 2 6 4 Sonuç: Toplamları sabit olan iki doğal sayı 5. A=3 .(3.5.10) .2 .5 birbirine en uzak değerler seçildiğinde çarpım A=3 .3 .5 .10 .2 .5 2 2 4 6 2 2 6 en küçük değerini alır. Birbirine en yakın iki A=3 .5 .10 .2 değer seçildiğinde çarpım en büyük değerini A=3 .(5.2) .10 4 4 6 6 A=3 .10 .10 alır. 2 2 A=81. 108 2+8=10 basamaklıdır. Bu sayının sondan 8 basamağı sıfırdır. Yanıt: D 3. I. yol: 6. 6x-4y+5z en büyük değeri için 3x 15 ifadesinde pay paydaya bölünür. x 2 x=9, y=0 ve z=8 olmalıdır. 6.9 - 4.0 + 5.8=54+40=94 3x+15 3x 9 x+2 6 3 Pay 6x-4y+5z en küçük değeri için Tam x=0, y=9, z=1 olmalıdır. 6.0 – 4.9 + 5.1= -36 + 5= -31 Toplamları: -31 + 94= 63 Bölünen Kalan = Bölüm+ olduğundan Bölen Bölen Yanıt: B 3x 15 9 =3+ dir. x 2 x 2 5 3 7. a +a +4 daima çifttir. Bu sonucun tam sayı olması için, kesirli ifadenin T+T+4=Ç (a T) tam sayı olması gerekir. 9 sayısının tam sayı Ç+Ç+4=Ç (a Ç) bölenleri B) a +a+7 daima tektir. 1, 3, 2 9 olmak üzere 6 tane olduğundan, x+2 yerine 6 tane farklı tam sayı T+T+7=T yazılır. x yerine yazılacak tam sayı değerleri; Ç+Ç+7=T x+2=-1 x=-3 C ve D şıkları tek veya çift olabilir. x+2=1 x=-1 E şıkkı ise daima çifttir. Bu soruyu a yerine x+2=-3 x=-5 herhangi bir sayı vererek de çözebilirsiniz. An- x+2=3 x=1 cak a sayısını tek ve çift vermeyi unutmama- x+2=-9 x=-11 lısınız. x+2=9 x=7 Yanıt: B x değişkeni 6 farklı değer alır. II. Yol: 8 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 8. Payda daima çift ve sonuç tam sayı olduğu B= için, pay çift olmak zorundadır. Bu durumda (n - 4 + 5) n - 4 - 5 (n + 1).(n - 8) . +1 = 2 1 2 x+7 sayısı çift ise x tek sayıdır. Yanıt: A A-B= n.(n + 1) (n + 1).(n - 8) = 180 2 2 (n+1) ortak parantezine alalım. (n + 1).(n - n + 8) = 180 2 9. 5a+4b tek sayı ise T+Ç = T eşitliğinden, a tek bir sayıdır. 2a+b çift sayı ise Ç+Ç = Ç eşitliğinden b çift bir sayıdır. (n 1).8 2 Buna göre, a+b toplamı daima tek sayıdır. 180 n+1=45 n=44 Yanıt: C Yanıt: A 10. 165 - 16 - 4 41 tane sayı 4 ile bölünür. 41 165 – 41=124 14. A=1.3+3.5+5.7+…+31.33 II. çarpanları bir arttıralım ve yeni sayı B olsun. 5 B=1.4+3.6+5.8+…+31.34 olur. 4 A=3+15+35+…+1023 1 B=4+18+40+…+1054 Yanıt: A B-A=1+3+5+…+31 B-A nın toplamı, artış miktarıdır. 31 1 31 1 B-A= . 1 16.16 256 sayı 2 2 256 artar. Yabın: B 11. x>y>z ise x=5, y=3, z=1 tek sayıları alınırsa; (5 - 3)3 + (5 - 1) 8 + 4 = =3 4 (3 - 1)2 Yanıt: C 15. 3.4+6.6+9.8+…+81.56 toplamında 3 ve 2 ortak 2 sayı olduğundan 3 ve 2 parantezine alınır. 3 12. 45.x = y 2 2 3.2(1.2+2.3+3.4+…+27.28)=6x olur. 3 3 .5.x = y Yanıt: C 3 y elde etmek için 2 4 x = 3 .5 2 2 x= 3 .5 olmalı 2 4 2 3 3 .5.3 .5 = y 6 3 3 .5 x = y 3 2 =y y= 3 .5 32.5 = 1 bulunur. 32.5 16. 5.(2x+5)=3.(5y+2) 10x+25=15y+6 Yanıt: A 2(5x+12)+1=5(3y+1)+1 2(5x+12)=5(3y+1) 13. (ilk terim + son terim) . terim sayısı Toplam = (5x+12) ve (3y+1) aralarında asal olduğundan 2 5x+12=5 (n + 1) n - 1 (n + 1).n . +1 = A= 2 1 2 3y+1=2 olur. 5x-3y = -8 bulunur. Yanıt: E 9 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. (xy)+(yx) = 143 olduğuna göre, x < y koşulu ile kaç farklı xy sayısı yazılabilir? DOĞAL SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĠ (Basamak Analizi) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 a, b, c birer rakam olmak üzere, Çözüm: (xy)+(yx) = 11(x+y) İki basamaklı bir doğal sayı: (xy)+(yx) =143 (ab) = 10a+b 11(x+y) = 143 ise x+y = 13 Üç basamaklı bir doğal sayı: x < y koşuluna uyulduğunda x+y toplamları (abc) = 100a+10b+c 4+9 = 13 Dört basamaklı bir doğal sayı: 5+8 = 13 (abcd) = 1000a+100b+10c+d şeklinde çözümlenir. 6+7 = 13 İki basamaklı bir (ab) sayısının rakamlarının yer 49, 58 ve 67 olmak üzere 3 tane yazılabilir. değiştirdiğinde elde edilen sayı (ba) dır. Yanıt: C (ab)+(ba) = (10a+b)+(10b+a) = 11(a+b) (ab)-(ba) = (10a+b)-(10b+a) = 9(a+b) Örnek: İki basamaklı (ab) sayısı rakamlarının topSonuç: İki basamaklı bir sayının rakamlarının yer- lamının 5 katına eşittir. Buna göre, (ba) doğal ra- leri değiştirilerek elde edilen sayılar için: kamları toplamının kaç katıdır? a) İlk iki sayı ile toplanırsa sonuç 11 sayısının katıdır. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 b) İlk sayı ile farkları ise 9 sayısının katıdır. c) İki basamaklı (ab) doğal sayısı, rakamlarının sayı değerlerinin toplamının x katına eşitse Çözüm 1: (ab) = 5(a+b) (ba) doğal sayısı, rakamlarının sayı değerleri- 10a+b = 5a+5b nin toplamının (11-x) katına eşit olur. 5a = 4b ise a = 4, b = 5 Bu durumda (ba) = 54 olur. (abc)-(cba) = 99. (a-c) 54 = x.(5+4) ise x = 6 bulunur. abc Çözüm 2: Verdiğimiz özelliğe göre, cba - ise, y= x+z = 9 dur. ab = x.(a+b) ise ba = (11-x).(a+b) xyz x = 5 ise 11-x = 6 bulunur. Yanıt: E Örnek: İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirdiğinde bu sayı 63 küçülüyor. En büyük sayı kaçtır? A) 92 B) 87 C) 96 D) 76 E) 97 Çözüm: İki basamaklı sayı (ab) olsun. (ab)-(ba) = 63 9(a-b) = 63 a-b = 7 dir. En küçük: 81 ve En büyük: 92 dir. Yanıt: A Örnek: (xy) ve (yx) iki basamaklı sayıdır. 10 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net Herhangi Bir Tabandan 10 luk Tabana Çevir- TABAN ARĠTMETĠĞĠ me: Herhangi bir tabandan 10 luk tabana çevirirken verilen sayı hangi tabanda ise, o tabana göre Günümüzde kullanılan sayı sistemi 10luk tabana çözümlenir. göre düzenlenmiştir. Sayı sistemleri n taban ve n > 1 olmak koşulu ile n tabanında da yazılabilir. 4 3 2 1 (abcde)n = a.n +b.n +c.n +d.n +e.n Örnek: 6 tabanında rakamları farklı 4 basamaklı 0 en küçük sayının 10 luk tabandaki değeri kaçtır? n tabanında çözümleyerek 10 tabanına çevirebiliriz. Çözüm: 6 tabanında en küçük 4 basamaklı sayı, Taban aritmetiğinde sayıyı oluşturan rakamlar dai- (1023)6’ dır. 3 2 1 0 ( 1 0 2 3 )6= 1.6 +0.6 +2.6 +3.6 ma verilen tabandan küçük olmalıdır. 3 2 1 6 6 6 6 Örnek: 5 ve 6 sayı tabanıdır. 0 (4a3)6 ve (3b2)5 iki sayı ise (a+b) toplamının en büyük değeri kaçtır? A) 9 B) 8 Onluk Tabandaki Sayıyı Herhangi Bir Tabana C) 7 D) 6 Çevirme: 10 tabanında verilen bir sayıyı n taba- E) 5 nında yazmak için; verilen sayı n sayısına ardışık olarak, bölüm tabandan küçük olana kadar bölü- Çözüm: a < 6 ise a = 5 nür. Son olarak elde edilen bölümden başlayarak b < 5 ise b = 4 kalanlar sağdan sola doğru yazılır. Yanıt: A a+b = 5+4 = 9 olur. Örnek: 187 sayısını 6 tabanında yazınız. BASAMAK DEĞERĠNĠN BULUNMASI Çözüm: 187 6 186 31 1 30 1 Aşağıdaki tablo 10, 7, 5 ve n tabanındaki sayıların sağdan sola doğru basamaklarının bulunuşunu göstermektedir. 6 5 (187)10 = (511)6 bulunur. Sağdan Sola Doğru Sayı Taban Çözümleme 3 Taban Aritmetiğinde ĠĢlemler: 2 10 (abcd)10 10 a+10 b+10c+d 7 (abcd)7 7 a+7 b+7c+d 3 2 3 2 3 2 5 (abcd)5 5 a+5 b+5c+d n (abcd)n n a+n b+nc+d a) Toplama: Örnek: (415)6+(345)6 toplamının sonucu 6 tabanında kaçtır? Örnek: (23041)5 5 tabanındaki sayının basamak değerini bulunuz. Çözüm: (415)6 + (345)6 (1204)6 Çözüm: ( 2 3 0 4 1 )5 5+5 = 10 sayısı 6 ile bölünür, kalan 4 ve 4 3 2 1 0 bölüm 1 dir. Kalan aynen yazılır, bölüm elde 5 5 5 5 5 4 2’nin basamak değeri: 2.5 = 1250 olur. 1+4 = 5 toplamına elde 1 eklenir, 6 olur. 6, 6’ya bölünür. Kalan 0 aynen yazılır, elde 1 olur. 4+3 = 7 toplamına elde 1 eklanir, 8 olur. 8, 6’ya bölünür. Kalan 2 aynen yazılır, elde 1 olur. Sola yazılır. 3 3’ün basamak değeri: 3.5 = 375 2 0’ın basamak değeri: 0.5 = 0 1 4’ün basamak değeri: 4.5 = 20 0 1’in basamak değeri: 1.5 = 1 11 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. b) Çıkarma: Taban Aritmetiğinde Tek ve Çift sayılar: Örnek: (1012)7-(456)7 çıkarma işleminin 7 taba- Sayının tabanı çift ise, sayının birler basama- nındaki değeri kaçtır? ğına bakılır. Birler basamağı tek ise sayı tektir. Çözüm: (1012)7 - (456)7 (223)7 Birler basamağı çift ise sayı çifttir. Örnek: (2135)8 sayısında taban çift, birler basa- 2 den 6 çıkmaz, komşudan bir 7 alırız, 9 dan mağı 5 olduğundan sayı tektir. O halde sayımız 6 çıkar 3 kalır. tek sayıdır. 1 yerinde 0 kaldı, komşudan 7 alırız, 5 çıktı 2 (1032)6 sayısında taban ve birler basamağı çifttir. kaldı. O halde sayımız da çifttir. 0 yerine 6 kaldı, 6 dan 2 çıkar 4 kalır. 1 yerinde 0 kaldı, 0 da yazılmaz. Taban tek ise rakamlar toplamına bakılır. Bu toplam tek ise sayı tektir. Bu toplam çift ise sayı çifttir. c) Çarpma: Örnek: (43)5.(23)5 çarpma işleminin sonucu 5 Örnek: (1471)9 taban tek, tabanında kaçtır? 1+4+7+1 = 13 tek sayı olduğundan sayı tektir. (3041)7 taban tek sayıdır. Çözüm: (43)5 x (23)5 234 +141 (2144)5 3+0+4+1 = 8 çift sayı olduğundan sayı çifttir. Örnek: (6a5b)8 sayısı tek sayı olduğuna göre, a+b’nin en büyük değeri kaçtır? Çarpma işleminde 10 luk tabanda olduğu gibidir. A) 12 Çarpımın sonucu tabana bölünür. Bölüm eldeler olur, kalan yazılır. B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 Çözüm: b < 8 ise b=7 taban çift ise birler basamağı tek sayı olacaktır. a < 8 ise a = 7 Bir Tabandan BaĢka Tabana Çevirme: Yanıt: C Örnek: 6 tabanında verilen (2134)6 sayısının 7 tabanındaki değeri kaçtır? Çözüm: (2134)6 önce 10 luk tabana çeviririz. 3 2 1 (2134)6 = 2.6 +1.6 +3.6 +4.6 ve a+b = 14 olur. 0 = 432+36+18+4 = 490 (490)10 , 7 lik tabana çevirelim. 490 7 490 70 7 0 70 10 7 0 7 1 3 (2134)6= (1300)7 12 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLÜ TEST 5. (xyz), (yzx) ve (zxy) üç basamaklı doğal sayılardır. ( xyz) + ( yzx) + ( zxy) ifadesinin değeri kaçtır? x+y+z 1. (ab) iki basamaklı doğal sayısı rakamları toplamının 7 katıdır. En küçük (ab) sayısı ile en büyük (ab) sayısının toplamı kaçtır? A) 105 B) 103 A) 1 C) 98 D) 96 B) 11 C) 37 D) 99 E) 111 E) 95 6. (ab8) ve (ba3) üç basamaklı doğal sayılardır. (ab8) – (ba3) = 455 olduğuna göre, 2 (a-b) kaçtır? 2. (abc) ve (cba) üç basamaklı iki doğal sayıdır. (abc)-(cba) = 594 olduğuna göre, bu koĢulu sağlayan kaç farklı (abc) sayısı yazılır? A) 3 B) 10 C) 20 D) 24 A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 49 E) 30 7. Her biri en az dört basamaklı 7 sayının binler basamağı 1’er arttırılır, yüzler basamağı 3. A = (6X7Y) ve B = (4X8Y) sayıları, 4 basamaklı birer doğal sayı olduğuna göre, 3’er azaltılır, onlar basamağı 2’Ģer arttırılır- A-B farkı kaçtır? sa bu sayıların toplamı ne kadar artar? A) 2100 B) 2000 D) 1970 A) 5040 C) 1990 B) 5140 D) 5240 E) 1950 E) 5300 8. (xy) ve (yx) iki basamaklı doğal sayılardır. 4. Üç basamaklı (6xy) sayısı, (xy) iki basamaklı 2 2 sayısının 16 katıdır. Buna göre, x+y toplamı x – y = 7 olduğuna göre, kaçtır? (xy) – (yx) kaçtır? A) 2 2 B) 4 C) 5 D) 6 C) 5150 A) 593 E) 7 2 B) 693 C) 792 13 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. D) 819 E) 891 9. (xyz) üç basamaklı sayısının sayı değerlerinin ÇÖZÜMLER çarpımı 12’dir. Bu koĢula uygun kaç tane üç basamaklı sayı yazılır? 1. (ab) = 7(a+b) 10a+b = 7a+7b A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13 3a = 6b a = 2b En küçük b = 1 için a = 2 21 En büyük b = 4 için a = 8 84 21+84 = 105 bulunur. Yanıt: A 10. x ve 5 taban olmak üzere, (243)5 = (201)x eĢitliğinde x kaçtır? 2. (abc)-(cba) = 594 (100a+10b+c)-(100c+10b+a) = 594 A) 4 B) 6 C)7 D) 8 E) 9 100a+10b+c-100c-10b-a = 594 99(a-c) = 594 a-c = 6 bulunur. a = 7, 8, 9 ve c = 1, 2, 3 olur. b rakamı 10 tane rakam da yazılabilir. 3x10 = 30 Yanıt: E 3 11. 10 tabanındaki 8 ün 4 tabanında yazılıĢı nedir? A) 2000 B) 10000 D) 100000 C) 20000 E) 200000 3. A = 6.1000+100.X+7.10+Y B = 4.1000+100.X+8.10+Y taraf tarafa çıkaralım. A-B = 2000-10 = 1990 Yanıt: C 12. sayı tabanı olmak üzere, 4. (6xy) = 16(xy) (33,4)5+(13,3)5 600+(xy) = 16(xy) toplamının 10 tabanındaki değeri kaçtır? 600 = 15(xy) (xy) = 40 A) 25,3 B) 25,4 C) 27,2 D) 27,3 E) 27,4 x = 4 ve y = 0 dır. 4+0 = 4 Yanıt: B 14 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 9. 3 basamaklı, rakamlarının sayı değerlerinin çar- 5. (xyz) = 100x+10y+z pımı 12 olan sayılar, (yzx) = 100y+10z+x 134, 143, 314, 341, 413, 431 (6 sayı yazılabilir.) + (zxy) = 100z+10x+y 126, 162, 216, 261, 612, 621 (6 sayı yazılabilir.) Toplam 12 sayı elde edilir. (xyz)+(yzx)+(zxy) = 111x+111y+111z Yanıt: D ( xyz ) + ( yzx ) + ( zxy ) 111( x + y + z ) = = 111 x+y+z x+y+z Yanıt: E 10. (243)5 = (201)x 6. 2 2 73 = 2x +1 100a+10b+8 - (100b+10a+3) = 455 2 x = 36 100a+10b+8-100b-10a-3 = 455 x= 6 x = -6 olamaz x = 6 dır. 90a – 90b = 450 90(a – b) =450 2 2.5 +4.5+3.1 = 2.x +0.x+1.1 (ab8) – (ba3) = 455 Yanıt: B a–b=5 2 (a – b) = 25 bulunur. Yanıt: C 11. 3 8 sayısını 4 ün kuvvetleri biçiminde yazalım. 3 3 9 8 2 4 4 (2 ) = 2 = 2 .2 = (2 ) .2 = 4 .2 (20000)4 7. Binler basamağı 1 arttırılır ise sayı 1000 artar. Yanıt: C 7.1000 = 7000 artar. Yüzler basamağı 3 azaltılırsa sayı 300 azalır. 3.100 = 300 azalır ve 7.300 = 2100 azalır. Onlar basamağı 2 arttırılırsa sayı 20 artar. 2.10 = 20 artar ve 7.20 = 140 artar. 7000 – 2100+140 = 5040 artar. Yanıt: A 12. (33,4)5 + (13,3)5 (102,2)5 2 (1 0 2, 2)5 = 1.5 +0.5+2.1+2. 1 5 8. 2 2 (xy) – (yx) = (xy+yx)(xy – yx) 2 1 5 5 5 = (11x+11y)(9x – 9y) 0 1 = 25+2+0,4 = 27,4 5 = 11(x+y)9(x –y) 2 Yanıt: E 2 = 99(x – y ) = 99.7 = 693 Yanıt: B 15 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. BÖLÜNEBĠLME KURALLARI BÖLME VE BÖLÜNEBĠLME İşlemleri daha kolay ve daha hızlı yapabilmek için bazı sayıların tam bölünebilme kurallarının iş- A, B, C, K birer tam sayı olmak üzere; A - B A: Bölünen leyeceğiz. C B: Bölen 1) 2 ile bölünebilme: K C: Bölüm Her çift sayı 2 ile tam bölünür. K: Kalan ( bölme özdeşliği) -50, -38, 0, 22, 136 gibi. a) A = B.C+K b) 0 c) K 2) 3 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 3 ve 3 K < B (kalan özelliği) sayısının katı olmalıdır. C ise bölen (B) ile bölüm (C) yer 2734 değiştirdiğinde kalan yer değiştirmez. 2+7+3+4 = 16 1+6 = 7 3k 3 ün katı değil 2734 sayısı 3’e bölünemez. 6183 6+1+8+3 = 18 1+8 = 9 3 ün katı, 6183 sayısı 3’e tam bölünür. Örnek: A doğal sayısı 43 ile bölündüğünde bölüm 25, Örnek: kalan 17 dir. A sayısı kaçtır? 7a33 dört basamaklı sayısının 3’e tam bölünmesi için a kaç değer alır? A) 1004 B) 1035 C) 1075 D) 1083 E) 1092 Çözüm: 7+a+3+3 = 13+a a = {2, 5, 8} üç değer alır. Çözüm: A - 43 A = 43.25+17 25 A = 1092 dir. Not: 1. {0, 3, 6, 9} 17 2. {1, 4, 7} CEVAP: E 3. {2, 5, 8} Örnek: 3’e bölünebilmede verilen sayının içindeki değiş- A, B ken bu üç kalıptan birini alır. N A - 8 3) 4 ile bölünebilme: B+4 Son iki basamağı 4 ve 4’ün katı olan sayılar 4 B-5 ile bölünür. Yukarıdaki bölme işleminde A nın alacağı en bü- 31132 sayısı 4’e tam bölünür. Çünkü 32 sayısı yük değer kaçtır? 4’ün katıdır. A) 35 B) 47 C) 96 D) 135 1100 sayısı 4 ile tam bölünür. 00 4’ün katıdır. E) 145 4) 5 ile bölünebilme: Birler basamağı 0 ve 5 olan sayılar 5 ile tam Çözüm: bölünür. A = 8.(B+4)+B-5 -65, -10, 135, 3240,… gibi. 8 > B-5 ise 13 > B ve B = 12 alınırsa, A = 8.16+7 = 135 bulunur. 5) 9 ile bölünebilme: Yanıt: D Verilen sayının rakamları toplamı 9 ve 9’un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir. 16 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net Örnek: Kural: (64a26) beş basamaklı sayısı 9 ile tam bölündü- A) ğüne göre, a nın alacağı kaç tane değer vardır? lünür. B) Çözüm: 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar, 12 ile tam bölünür. C) 3 ve 5 ile bölünen sayılar, 15 ile tam bö- 6+4+a+2+6 = 9k 18+a = 9k 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar, 6 ile tam bö- a = 0 veya a = 9 iki tane değer alır. lünür. D) 2 ve 9 ile tam bölünen sayılar, 18 ile tam bölünür. Örnek: E) (555…5) sayısı 25 basamaklı bir sayıdır. Bu 4 ve 5 ile tam bölünen sayılar, 20 ile tam bölünür. sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? F) Son iki basamağı 00 veya 25’in katı olan sayılar, 25 ile tam bölünür. (sayının son Çözüm: rakamı 00, 25, 50, 75 olmalıdır.) (555…5) 25 tane 5 rakamının toplamı, 25.5 = 125 dir. 1+2+5 = 8 G) 2 ve 11 ile tam bölünen sayılar, 22 ile tam bölünür. kalan 8 olur. H) 4 ve 9 ile tam bölünen sayılar, 36 ile tam 6) 10 ile bölünebilme: bölünür. Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile bölünür. İ) 10, 40, 1370,… gibi 5 ve 9 ile tam bölünen sayılar 45 ile tam bölünür. 7) 11 ile bölünebilme: abcde 5 basamaklı bir sayı ise, + - + - + a b c d e olmak üzere, (a+c+e) – (b+d) = 11k, k Z ise, bu sayı 11 ile tam bölünür. Örnek: 733b dört basamaklı sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 dir. Buna göre, 7ab sayısının 11 ile tam bölünmesi için a kaç olmalıdır? Çözüm: 733b sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 ise b=7 dir. 7a7 sayısının 11’e tam bölünmesi için, (7+7) – a = 11k (k Z) 14 – a = 11k k = 1 alınır. 14 – a = 11 a = 3 olur. 17 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 5. ÇÖZÜMLÜ TEST x - 8 n+3 n–5 Yukarıdaki bölme iĢleminde x in alabileceği 1. (7x6x) dört basamaklı sayısı 6 ile kalansız en büyük değer kaçtır? bölünüyor. x kaç farklı değer alır? A) 120 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 B) 123 C) 127 D) 131 E) 137 E) 5 6. (xy) iki basamaklı bir sayıdır. 783 xy 10 33 Yukarıdaki bölme iĢlemine göre xy kaçtır? 2. Dört basamaklı 5a2b sayısı 12 ile tam bölünüyor. Buna göre a+b nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 65 A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 B) 70 C) 75 D) 80 E) 85 E) 18 7. Aşağıdaki işlemlerde her harf farklı bir rakam belirtmektedir. 3. (47x7y) beş basamaklı sayısı 4 ile bölündüğünde 1 kalanını vermekte ayrıca 9 ile tam ABCD ABCD CD C D5 x 78 5 A y Yukarıdaki iĢlemlere göre, x+y kaçtır? bölünmektedir. - Buna göre x in alacağı değerler çarpımı kaçtır? A) 8 B) 12 C) 14 D) 15 A) 135 E) 21 4. (x42y6) beş basamaklı doğal sayı 3 ve 11 ile B) 138 8. tam bölünüyor. x - C) 140 D) 145 E) 155 y–7 y 8 Yukarıdaki bölme iĢleminde x’in en küçük Buna göre, x+y toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır? değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 148 18 B) 150 C) 152 D) 154 E) 162 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLER 4. + - + - + x 4 2 y 6 11 ile bölünmesi için, 1. 6 ile tam bölünmesi için sayı 2 ve 3 ile tam 1) (x+2+6) – (4+y) = 11k (k Z) olmalıdır. bölünmelidir. 3 ile bölünmesi için, x değeri çift rakam olmalıdır. x+4+2+y+6 = x+y+12 = 3k 7+x+6+x = 13+2x toplamı 3’ün katı olmalıdır. x+y toplamı 3 ve 3’ün katı olmalıdır. 13+2x = 3k 2) x+y = 3k (k Z) x = 2 için 13+2.2 = 17 x = 4 için 13+2.4 = 21 = 3k 1 ve 2 yi sağlayan x ve y değerlerini bulalım. x = 6 için 13+2.6 = 25 3k x – y+4 = 11k x = 8 için 13+2.8 = 29 3k x = 1 için y = 5 1+5 = 6 x = 4 için y = 8 4+8 = 12 x = 8 için y = 1 8+1 = 9 3k x sadece 4 değerini alır. Yanıt: D ve x+y = 3k x+y toplamı 3 farklı değer alır. Yanıt: C 2. 5a2b sayısının 12 ile bölünmesi için aynı anda 5. x = 8.(n+3)+(n – 5) 3 ve 4’e bölünmelidir. Ayrıca a ve b en büyük kalan bölenden küçüktür. seçilmelidir. n – 5 < 8 ise n < 13 dür. Önce 4 ile bölünebilme kuralı uygulanır. x’in en büyük değeri için n’nin en büyük değeri 2b sayısı 4’ün katı olmalıdır. olmalıdır. 2b b = 0 için 20 n = 12 ise b = 4 için 24 127 bulunur. x = 8.(12+3)+(12 – 5) = 8.15+7 = b = 8 için 28 olabilir. Yanıt: C En büyük b değeri 8 olur. 5a28 5+a+2+8 = 3k olmalı 6. 783 = 10.(xy)+33 783 – 33 = 10.(xy) 15+a = 3k a en büyük 9 değerini alır. Böylece 750 = 10.(xy) ise (xy) = 75 Yanıt: C a+b = 8+9 = 17 bulunur. Yanıt: D 7. - ABCD C D5 78 5 A işleminde A rakamı 7 veya 8’dir. C 1 olduğundan A = 8 bulunur. D = 3, C = 9 ve B = 7 olur. 3. 47x7y sayısının 4 ile bölümünden kalanın 1 8793 olması için, 7y - 72 ve 76 4’e tam bölünür. 93 94 94+51 = 145 51 Yanıt: D 72+1 = 73 y=3 76+1 = 77 y = 7 olmalıdır. 47x73 sayısının 9’a bölünmesi için, 4+7+x+7+3 = 21+x = 9k 8. Bir bölme işleminde bölen kalandan daima büyüktür. y – 7 > 8 ise y > 15 y = 16 alınırsa, x = (16 – 7).16+8 = 152 bulunur. x1 = 6 47x77 sayısının 9’a bölünmesi için, 4+7+x+7+7 = 25+x = 9k x2 = 2 Bu durumda x1.x2 = 6.2 = 12 bulunur. Yanıt: B Yanıt: C 19 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. (eğer a’nın asal çarpanlarının içinde kuvveti FAKTÖRĠYEL birden büyük olan varsa bulunan kuvvet asal çarpanın üssüne bölünür ve bölüm alınır.) 1 sayısından n sayısına kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir, n! olarak götserilir. 1.2.3.4.5.6. … .n = n! 0! = 1 1! = 1 2! = 1.2 = 2 3! = 1.2.3 = 6 4! = 1.2.3.4 = 24 5! = 1.2.3.4.5 = 120 . . . . . . n! = 1.2.3. … Faktöriyelin Bazı Özellikleri: 1. n 2 olmak üzre , n! bir çift doğal sayıdır. 2. n 5 olmak üzre , n! sayısının son rakamı sıfırdır. Yani , n! sayısının sonunda n! in içindeki 5 asal sayısı kadar 0 rakamı bulunur. 3. n!-1 sayısının sonundaki 9 rakamlarının sayısı n! in sonundaki sıfır rakamlarının sayısı kadardır. 4. x,y,n birer sayma sayısı ve a bir asal sayı olmak üzre x! an.y koşulunu sağlayan en büyük n doğal sayısını bulmak için ♦ x sayısı a asal sayısına bölünür ♦ ardışık bölme işlemine bölüm sıfır veya a dan küçük oluncaya kadar devam edilir. Elde edilen bölümler toplanır, toplamın sonucu kadar a asalı mevcuttur x! içinde. 5. x,y,n birer sayma sayısı ve a bir asal sayı değilse x! an.y koşulunu sağlayan en büyük n doğal sayısını bulmak için , ♦ a sayısı asal çarparlarına ayrılır ve her asal için (4.) durumdaki işlem tekrarlanır. 20 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLÜ TEST x 5. A.8 = 31! eĢitliğinde A’nın en küçük değeri alması için x kaç olmalıdır? 1. 9!- 8! iĢleminin sonucu kaçtır? 7!+6! A) 56 B) 58 C) 60 D) 62 A) 15 B) 14 C) 12 D) 10 E) 8 E) 64 6. 8! sayısının asal olmayan doğal sayı bölenle2. ri kaç tanedir? (n + 1)! = 132 olduğuna göre, n kaçtır? (n - 1)! A) 97 A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 B) 96 C) 95 D) 92 E) 90 E) 14 35! K bir tam sayı olduğuna göre, x+y x 3 .5 y nin en büyük değeri kaçtır? 7. K = 3. 99! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 17 A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 da 9 vardır? B) 13 C) 20 D) 21 E) 23 8. x, y, z asal sayı olmak üzere, 18! ifadesi tam sayı olduğuna göre, x.y.z 4. (65!–58!)–1 sayısının sondan kaç basamağın- A) 11 B) 19 E) 23 (x+y+z) ifadesinin en büyük değeri kaçtır? C) 14 D) 15 E) 16 A) 25 B) 30 C) 31 21 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. D) 37 E) 41 5. ÇÖZÜMLER x A.8 = 31! 1. 9!- 8! 9.8!-8! (9 - 1). 8! 8.8.7.6! = = = = 56 7!+6! 7.6!+6! (7 + 1). 6! 8.6! A= 3 31! 8x 8 = 2 , 31 sayısını 2’ye ardışık böleriz ve bölümleri toplarız. Yanıt: A 31 2 15 2 7 2 3 2. 2 1 26 tane 2 vardır. (n+1)! = (n+1).n.(n-1)! olarak yazılabilir. x 8 i oluşturalım. (n + 1)! (n + 1).n.(n - 1)! = = 132 (n - 1)! (n - 1)! 2 26 3 8 2 8 = (2 ) .2 = 8 .4 x = 8 bulunur. (n+1).n = 132 Yanıt: E 2 n +n-132 = 0 n -11 n 12 (n-11).(n+12) = 0 6. n = 11 veya n = -12 -12 negatif sayı olduğu için alınmaz çünkü 8! Sayısının asal bölenlerini bulalım. (-12)! yoktur. 8 n = 11 bulunur. 2 4 8 2 2 2 1 8! Sayısında Yanıt: B 3 2 8 5 1 8 7 1 7 tane 2 2 tane 3 1 tane 5 3. Sona gelen sıfır rakamını , içinde 2 ve 5 çarpanı 1 tane 7 var. 7 2 olan sayılar oluşturur. n! sayısının içinde kaç tane 5 8! = 2 .3 .5.7 rakamı var ise o kadar sıfır vardır. n sayısı 5’e Pozitif bölenleri = (7+1).(2+1).(1+1).(1+1) ardışık olarak bölünür. Bölenlerin toplamı bize kaç = 8.3.2.2 = 96 tane sıfır olduğunu verir. Asal olmayan bölenleri sayısı = 96 – 4 = 92 dir. Yanıt: D 99 5 19 5 3 19+3 = 22 tane 5 çarpanı vardır. O halde 22 tane sıfırı vardır. Yanıt: D 7. 35 3 11 35 3 3 3 1 5 7 5 1 x = 11+3+1 = 15 y = 7+1 = 8 4. (65! – 58!) – 1 58! sayısında kaç tane sıfır var ise, bu işlemin sonucunda, sağdan sola o kadar 9 rakamı vardır. 58 5 11 5 2 11+2 = 13 13 tane 9 rakamı vardır. Yanıt: B x+y = 15+8 = 23 olur. Yanıt: E 8. 18! içindeki en büyük asal sayılar 17, 13, 11 dir. 17+13+11 = 41 Yanıt: E 22 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net EN KÜÇÜK ORTAK KAT - EKOK (OKEK) O.K.E.K. – O.B.E.B. Sıfırdan farklı iki veya daha fazla sayıdan her birinin katı olan en küçük doğal sayıya bu sayıların en küçük ortak katı denir. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN - EBOB (OBEB) a ile b nin en küçük ortak katı x ise, e.k.o.k. (a,b) = x veya (a,b)e.k.o.k. = x biçiminde göste- En az biri sıfırdan farklı olan iki ya da daha çok sayıyı rilir. aynı anda bölen en büyük pozitif sayıya bu sayıların en büyük ortak böleni denir. Örnek: a ile b nin ortak böleni x ise, 36 ve 48 in en küçük ortak katı kaçtır? e.b.o.b. (a,b) = x veya (a,b)e.b.o.b. = x biçiminde gösterilir. Çözüm: I. yol: Örnek: 36 nın katlarının kümesi A ise, 36 ile 48 in en büyük ortak böleni kaçtır? A = ,36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, …48 in katlarının kümesi B ise, Çözüm: B = ,48, 96, 144, 192, 240, 288, …- I. yol: A∩B = ,144, 288, …- 36 nın pozitif bölenlerinin kümesi A ise, e.k.o.k.(36,48) = 144 dür. A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 48 in pozitif bölenlerinin kümesi B ise, B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} II. yol: 36 18 9 3 1 A∩B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e.b.o.b. (36,48) = 12 dir. II. yol: 36 18 9 3 1 2 2 3 3 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 3 2 2 2 3 3 48 24 12 6 3 1 2 36 = 2 .3 4 48 = 2 .3 4 2 2 2 2 2 3 2 e.k.o.k.(36,48) = 2 .3 = 144 2 36 = 2 .3 Ortak asal sayıların en büyük üslü olanları ile ortak olma- 4 48 = 2 .3 yanların çarpımı sayıların e.k.o.k. unu verir. Ortak olanların en küçük üsleri alınır, çarpılır. 2 e.b.o.b. (36,48) = 2 .3 = 12 dir. III. yol (pratik yol): 36 48 18 24 9 12 9 6 9 3 3 1 1 III. yol: 36 18 9 9 9 3 1 2 2 2 2 3 3 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 3 3 İki sayıyı aynı anda bölen sayılar işaretlenir. İşaretli Ortaklık aranmaksızın bütün sayılar çarpılır. sayıların çarpımı bize e.b.o.b. u verir. e.k.o.k.(36,48) = 2.2.2.2.3.3 = 144 e.b.o.b. (36,48) = 2.2.3 = 12 dir. 23 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. EBOB(a,b) = EBOB(-a,-b) = EBOB(-a,b) = EBOB(a,-b) Kesirli sayıların ebob ve ekok’larını bulurken; a ile –a nın tam sayı bölenleri aynı olduğundan EKOK(a,b) = EKOK(-a,-b) = EKOK(-a,b) = EKOK(a,-b) Ebob a c , b d = ebob(a.d,c.b) ekok(b,d) ekok a c , b d = ekok(a,c) ebob(b,d) A ve B doğal sayı ve A<B ise, EBOB(A,B) A B EKOK(A,B) dir. A ile B ardışık iki sayı veya aralarında asal sayılar ise, EBOB(A,B) = 1 ve EKOK(A,B) = A.B dir. Örnek: 4 9 ile sayılarının en büyük ortak böleni ile en küçük 5 4 ortak katının toplamı kaçtır? A ve B iki doğal sayı olmak üzere, EBOB(A,B) = x ise A = x.m (m ve n aralarında asal sayılar) B = x.n Çözüm: 4 9 , ebob 5 4 EKOK(A,B) = x.m.n dir. EBOB(a,b) = m EKOK(a,b) = n ise max(a+b) = m+n dir. k Z – {0} = ebob(4.4,5.9) ebob(16,45) = ekok(5,4) ekok(4,5) ebob 4 9 , 5 4 = 1 20 ekok 4 9 , 5 4 = ekok(4,9) 36 = = 36 1 ebob(5,4) EKOK (k.a,k.b) = k . EKOK(a,b) 1 721 + 36 = dir. 20 20 + Örnek: a, b Z EKOK(a,b) = 144 ve a.b = 3456 olduğuna göre, a+b en Verilen problemin ifadesinde soru kökü bütünden az kaç olabilir? parçaya ise, sayıların EBOB’u bulunur. Çözüm: a.b = EKOK(a,b) . EBOB(a,b) Örnek: 3456 = 144. EBOB(a,b) 50 kg, 60 kg ve 65 kg lık 3 çuval pirinç hiç artmayacak EBOB(a,b) = 24 biçimde eşit torbalanacaktır. En az kaç torbaya ihtiyaç vardır? a = 24.m EKOK(a,b) = 24.m.n Çözüm: b = 24.n Çuvalları bütün torbayı parça olarak kabul edersek; 50, 60 ve 65 sayılarının EBOB’unu buluruz. 144 = 24.m.n 6 = m.n m = 2, n = 3 EBOB(50, 60, 65) = 5 a = 24.2 = 48 Bir torbaya 5 kg pirinç konacak anlamına gelir. Her bir b = 24.3 = 72 çuval için gereken torba sayısı bulunur ve bunlar topla- a+b = 120 narak toplam torba sayısı elde edilir. veya 6 = m.n 50 : 5 = 10 m=1, n= 6 60 : 5 = 12 a = 24.1 = 24 65 : 5 = 13 b = 24.6 = 144 10+12+13 = 35 torbaya ihtiyaç vardır. a+b = 168 Verilen problemin ifadesinde soru kökü parçadan (a+b) nin alacağı en küçük değer 120 dir. bütüne ise sayıların EKOK’u bulunur. 24 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net Örnek: ÇÖZÜMLÜ TEST Boyutları 5, 10, 12 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutular yan yana getirilerek en küçük boyutlu 1. Bir torbada 270 ile 300 arasında bilye vardır. bilyeleri bir küp yapılacaktır. En az kaç kutuya ihtiyaç vardır? 6’şar, 8’er ve 12’şer saydığımızda her seferinde 4 bilye artıyor. Çözüm: Torbada kaç bilye vardır? Kutunun boyutu parça, küpün boyutunu bütün kabul edersek, A) 282 B) 288 C) 292 D) 296 E) 298 EKOK(5,10,12) = 60 Yapılacak küpün bir boyutu 60 cm’dir. küpün hacmi Kutu sayısı = kutunun hacmi = 60.60.60 = 360 5.10.12 2. a = 48 ve b = 120 ve EBOB(a,b) = 24 olduğuna göre, EKOK(a,b) kaçtır? 360 kutuya ihtiyaç vardır. A) 210 B) 240 C) 280 D) 480 E) 720 Örnek: a ve b doğal sayılarının ekok’u 60 dır. a+b nin en büyük değeri kaçtır? Çözüm: 3. 20, 25 ve x sayılarının EBOB’u 5 ve EKOK’u 700’dür. a+b nin en büyük değer alması için sayıların ekok’u x sayısının en büyük ve en küçük değerinin farkı verilmişse sayılar birbirine eşit alınır. kaçtır? Çünkü eşit olan iki sayının ekokları da kendilerine eşittir. A) 565 B) 615 C) 645 D) 665 E) 675 a = 60 ve b = 60 olur. a+b = 60+60 = 120 dir. Örnek: a ve b birbirinden farklı iki doğal sayıdır. 4. ekok(a,b) = 60 ise a+b nin toplamı en çok kaç olur? 6 5 12 , , sayılarına bölünebilen en küçük tam sayı 7 4 11 değeri kaçtır? Çözüm: A) 40 Sayılar birbirinden farklı dediği için en büyük olma ko- B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 şulu ilk ekok’a eşit olan sayı diğeri de o sayının katı olan en küçük sayıdır. a = 60 ve b = 30 olur. a+b = 60+30 = 90 bulunur. 5. A = 8x+13 = 10y+7 = 15z – 3 eşitliğinde A sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 357 B) 360 C) 363 25 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. D) 366 E) 369 6. 6 ve 8 ile bölünebilen iki basamaklı sayıların 11. A = 11!+10! Ve B = toplamı kaçtır? EKOK(A,B) A) 220 B) 230 C) 240 D) 250 EBOB(A,B) E) 260 A) 100 11! olduğuna göre, 10 oranı kaçtır? B) 110 C) 1200 D) 1320 E) 1500 7. Boyutları 400 cm, 80 dm ve 10 m olan bir dikdörtgenler prizması şeklindeki bir depoya hiç boşluk kalmayacak biçimde en az kaç tane eş küp kutular 4 2 2 12. EKOK(48,90,x) = 2 .3 .5 yerleştirilir? EBOB(48,90,x) = 6 A) 40 B) 42 C) 48 D) 52 olduğuna göre, en küçük x doğal sayısı kaçtır? E) 56 A) 150 8. a B) 140 C) 125 D) 75 E) 50 + N EKOK(2a+1,2a–1)–EBOB(2a+1,2a–1)=254 olduğuna göre, a kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 13. a ve b pozitif tam sayılardır. E) 8 EBOB(a,b) = 1 dir. a.b = 700 olduğuna göre, kaç farklı (a,b) ikilisi yazılabilir? A) 6 B) 8 C) 12 D) 14 E) 1 9. 1725 sayısına en küçük hangi pozitif tam sayı eklenirse bu sayı 15, 18 ve 24 ile tam bölünür? A) 65 B) 75 C) 85 D) 95 E) 105 14. x, y + N x+y = 33 EKOK(x,y) = 200 10. Dairesel bir koşu pistini I. atlet 24 sn’de, II. atlet 30 olduğuna göre, x’in alabileceği en büyük değer sn’de, III. atlet ise 48 sn’de koşabiliyor. kaçtır? Aynı noktadan üçü beraber koşuya başladıktan kaç dakika sonra başlangıç noktasından beraber geçer- A) 8 ler? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 26 B) 15 C) 25 D) 27 E) 40 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLER 5. A = 8x+13 = 10y+7 = 15z – 3 Tüm eşitliklere 3 ekleyelim. A+3 = 8x+16 = 10y+10 = 15z 1. 6, 8 ve 12 nin EKOK u bulunur. A+3 = 8(x+2) = 10(y+1) = 15z 6 3 3 3 1 8 4 2 1 12 6 3 3 1 2 2 2 3 A+3 sayısı 8, 10, 15 sayıları ile orantılıdır. 8 4 2 1 5 1 3 EKOK(6,8,12) = 2 .3 = 24 270 ile 300 arasında 24’ün katı olacak biçimde bir 10 5 5 5 5 1 15 15 15 15 5 sayı elde edelim. Sayımız 288 dir. Bilyele-rimiz 4 2 2 2 3 3 EKOK(8,10,15) = 2 .3.5 = 120 veya katlarıdır. arttığına göre 288+4 = 292 bulunur. Cevaplarda 300’lü şıklar verildiği için 120 nin 3 katı Yanıt: C 120.3 = 360 A+3 = 360 A = 357 2. a.b = EBOB(a,b) . EKOK(a,b) Yanıt: A 48.120 = 24. EKOK(a,b) EKOK(a,b) = 240 Yanıt: B 6. 6 ile 8’in EKOK’u bulunur. 6 8 2 3 4 2 3 2 2 3 1 3 1 3. 20 ve 25 sayılarındaki ortak çarpanı bulursak aynı sayı x için de geçerli olur. 20 = 5.4 25 = 5.5 x = 5.a 3 EKOK(6,8) = 2 .3 = 24 EKOK’u ortak çarpana bölersek geride kalan sonuç Sayılar 24 ve katlarıdır. bize ortak olmayan kısımları verir. 24+48+72+96 = 240 bulunur. 700 : 5 = 140 Yanıt: C 2 140 = 2 .5.7 7 çarpanı 20 ve 25 sayılarına ait olamayacağı için x = 5.a ifadesindeki a = 7 dir. x = 5.7 = 35 en küçük değerdir. x için en büyük değer EKOK’un kendisidir. Yani x = 7. 400 cm = 4 m 700 olur. 80 dm = 8 m 700 – 35 = 665 bulunur. Bütünden parçaya indiğimiz için EBOB’u buluyoruz. Yanıt: D 4. x x x , , 6 5 12 7 4 11 EBOB(4,8,10) = 2 Kübün bir boyutu 2 m’dir. Kutu sayısı = 7x 4x 11x , , 6 5 12 = Bu durumda x’in 6, 5, 12 sayılarına bölünmesi Deponun hacmi Kübün hacmi 4.8.10 = 40 bulunur. 2.2.2 gerekir. Yanıt: A EKOK(5,6,12) = 60 Yanıt: E 27 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 4 8. 2a+1 ve 2a–1 ardışık tek sayılardır ve araların-da asal 12. 48 = 2 .3 2 sayılardır. 90 = 2.3 .5 EBOB(2a+1,2a–1) = 1 dir. EKOK için sayıların ortak olan en büyük üsleri ve EKOK(2a+1,2a–1) – 1 = 254 ortak olmayan elemanları alınır ve birbirle-riyle EKOK(2a+1,2a–1) = 255 çarpılır. 2 O halde x değerinin içinde 5 olmalıdır. 255 3 85 5 17 17 1 Her sayıda 6 ortak çarpan olduğuna göre, 2 x = 6.5 = 6.25 = 150 bulunur. Yanıt: A 255 = 15. 17 2a+1 = 17 a = 8 bulunur. 13. EBOB(a,b) = 1 ise a ile b aralarında asaldır. II. yol: a.b çarpımını aralarında asal iki sayının çarpımı (2a+1).(2a–1) = 255 biçiminde yazalım. 2 4a – 1 = 255 a.b = 1.700 = 700 (1,700) a.b = 7.100 = 700 (7,100) a = 64 a.b = 28.25 = 700 (28,25) a = 8 bulunur. a.b = 175.4 = 700 (175,4) veya 2 4a = 256 2 Yanıt: E (700,1), (100,7), (25,28), (4,175) olur. (b,a) sırasıyla birlikte toplam 8 farklı (a,b) sıralı ikilisi yazılır. Yanıt: B 9. 15, 18 ve 24 sayılarının EKOK’u bulunur. EKOK(15,18,24) = 360 360 ın katları alınır. 360.5 = 1800 3 1800 – 1725 = 75 2 14. 200 = 2 .5 3 Yanıt: B 2 2 = 8 ve 5 = 25 25+8 = 33 olduğundan x = 25 bulunur. Yanıt: C 10. EKOK(24,30,48) = 240 240:60 = 4 dakika Yanıt: D 11. A = 11!+10! = 11.10!+10! = 12.10! 11.10.9 ! 11.9 ! B= 10 EKOK(12.10!,11.9!) = 12! (En küçük kat olduğu için) EBOB(12.10!,11.9!) = 9! ( ikisini de bölen en küçük ortak sayı olduğu için) EKOK(A,B) 12! 12.11.10.9! = = = 1320 olur. EBOB(A,B) 9! 9! Yanıt: D 28 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net Örnek: RASYONEL SAYILAR 3 2- işleminin sonucu kaçtır? 3 2- 2 2+ 1+ RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER 1 2 Çözüm: 3 2- 1) Toplama – Çıkarma İşlemleri: a c a.d± c.b ± = b d b.d 22+ =22) Çarpma: a c a.c . = b d b.d 3 = 2- 3 2- 2 2+ 1 1+ 2 = 2- 3 4 3 3 9 210 30 8 =11 11 Rasyonel Sayılarda Sıralama: a c , Q olsun. b d Çarpma işleminde varsa sadeleştirme yapılır. a c - >0 b d a c - <0 2) b d a c - =0 3) b d 1) 3) Bölme: a c a d a.d : = . = b d b c b.c a c > b d a c < b d a c = dir. b d Buna üç hal kuralı denir. Rasyonel sayıları bir eşitsizlik zinciri içinde sıralayabilmek için bu sayıların payları veya paydaları eşit olmalıdır. Örnek: -2 1) Payları eşit ise: 1 3 2 2 : - 3 14 -3 1 22 Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası büyük olan işleminin sonucu kaçtır? daha küçüktür. Örnek: 8 8 8 8 , , , sayılarını büyükten küçüğe doğru sırala5 7 11 9 yınız. Çözüm: -2 1 3+ 2 2 : - 3 14 -3 1 22 Çözüm: 8 8 8 8 , , , sayıları için 5 7 11 9 -2 -2 7 2 2 7 1 2 2 -3 = - = - - . : -3. : 3 3 3 2 14 3 14 2 11>9>7>5 olduğundan, 8 8 8 8 < < < olur. 11 9 7 5 2 1 -8 - 3 1 11 -2 = - : (-2) = : = - .4 3 4 12 12 4 11 = 3 Not: x, y, z negatif tamsayılar ise, sıralama pozitif sayıların tam tersi olur. 29 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. Örnek: 8 8 8 8 - ,- ,- ,- sayılarını küçükten büyüğe doğru sıra5 7 11 9 layınız. 3) Pay ve Paydalar Eşit Değil ise: Verilen rasyonel sayılarda pay ve paydalar eşit değil ise, önce pay veya paydalar eşitlenir, 1. veya 2. maddeler uygulanır. Örnek: 7 3 5 x= - ,y= - ,z= sayılarını eşitleyiniz. 6 4 12 Çözüm 1: 8 8 8 8 < < < 11 9 7 5 Negatif kesirlerde sıralama tam tersidir. 8 8 8 8 - <- <- <5 7 9 11 Çözüm: 7 3 5 - ,- ,paydaları eşitleyelim ve sayıları işaretle6 4 12 rine bakmadan sıralayalım. 14 9 5 x= ,y= ,z= 12 12 12 Çözüm 2: Negatif kesirlerde paylar eşit ise, paydası büyük olan daha büyüktür. 8 8 8 8 - <- <- <olur. 5 7 9 11 z < y < x olur. Negatif sayı sıralaması z >y > x dir. 4) Pay ve Paydası Arasındaki Fark Eşit Olan Pozitif Kesirlerde: 2) Paydalar Eşit ise: Pay ve paydasındaki sayılar büyüdükçe; basit kesirlerin Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan payı büyük değeri artar, bileşik kesirlerin değeri azalır. olan daha büyüktür. Örnek: 9 11 13 a = ,b = , c = olduğuna göre, a, b, c arasındaki 8 10 12 sıralamayı bulunuz. Örnek: 4 2 7 5 , , , sayılarını büyükten küçüğe doğru sırala-yınız. 9 9 9 9 Çözüm: Pay ve payda arasındaki fark üç kesirde de 1’dir. Kesirler Çözüm: bileşik kesir olduğu için, 7 > 5 > 4 > 2 olduğundan a > b > c dir. 7 5 4 2 > > > olur. 9 9 9 9 Örnek: 3 4 ile arasına iki rasyonel sayı yerleştiriniz. 4 5 Örnek: 4 2 7 5 - ,- ,- ,- sayılarını büyükten küçüğe doğru sıra9 9 9 9 layınız. Çözüm: 3 4 < x < y < (Paydaları eşitleyelim.) 4 5 15 16 <x<y< (Kesirleri genişletelim.) 20 20 30 32 <x<y< 40 40 60 64 <x<y< 80 80 61 62 x= ,y= olabilir. 80 80 Çözüm: Negatif kesirlerde paydalar eşit ise mutlak değerce payı büyük olan daha küçüktür. 2 4 5 7 - > - > - > - olur. 9 9 9 9 30 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net Örnek: 213-21 192 32 2,13 = = = 90 90 15 ONDALIK SAYILAR Paydası 10 ve 10 un pozitif kuvvetleri olan sayı-lara 0,7 = ondalık sayılar denir. 4 34 145 , , ,... gibi 10 100 1000 7 9 1,14 = 114 -1 113 = 99 99 Her pozitif rasyonel sayının devirli veya devirsiz bir ondalık açılımı vardır. Not: Devreden rakamı 9 ise, solundaki sayı 1 artırılır, 9 Ondalık açılımını payı paydaya bölerek buluruz. yok olur. Örnekleri İnceleyiniz: 11 = 1,1 10 9 = 0,09 100 19 = 3,8 5 3 = 0,75 4 13,69 = 1369 -136 1233 137 = = 90 90 10 Ondalık Sayıların Üslü İfadesi: 0,00…0a = a.(10) -n (a≠ 0) n tane Örnekleri inceleyiniz: 0 0,0005.10 = 5.10 -4 0 0,000012.10 = 12.10 DEVİRLİ ONDALIK SAYILAR 0 3 -6 -5 3 3 (0,00006.10 ) = (6.10 ) = 6 .10 -15 0,2222… 3,141414… Not: Dikkat edilirse, virgül nekadar sağa kayarsa 10 un 32,020202… kuvveti de o kadar AZALIYOR, Virgül ne kadar sola Şeklindeki ondalık sayılara devirli ondalık sayılar denir. kayarsa 10 un kuvveti o kadar ARTIYOR. Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayı belirtir. 1,444... =1,4 21,131313… = 21,13 Biçiminde gösterilir. Üzerinde çizgi olan sayı devirli sayıdır. REEL (GERÇEK) SAYILAR 863,193 ondalık açılımında 93 devreden sayıdır. Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimidir. R Devirli Ondalık Açılımı Verilen Rasyonel Sayıyı Bulma: ile gösterilir. N Sayının tamamı-devretmeyen Z Q R Rasyonel sayı = 99…9 00…0 Reel Sayı Aralıkları Reel sayılarda bazı işlemleri ifade etmek için aralık x kavramı geliştirilmiştir. y a, b R olmak üzere, x ve y; sayının virgülden sonraki kısmındaki sırasıy-la 1. x a £ x £ b,x Î R Þ a,b devreden rakam sayısını ve devretmeyen rakam sayısını 2. x a < x £ b, x Î R Þ a,b 3. x a £ x < b,x Î R Þ a,b 4. x a < x < b, x Î R Þ a,b göstermektedir. 31 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. ÇÖZÜMLÜ TEST 3 7 5 + + ise, 5 11 8 4 3 1ifadesinin A türünden eşiti aşağıdakiler11 8 den hangisidir? 5. A = + 1. x N olmak üzere, 3x - 4 ifadesini basit kesir yapan x değerlerinin 2x + 1 toplamı kaçtır? A) A+ A) 5 B) 7 C) 10 D) 11 B) 2 C) 3 B) A- 8 5 C) A-2 6. a = E) A 2 D) 4 223 227 231 ,b= ,c= 225 229 233 a, b, c arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir? E) 5 A) a<b<c B) a<c<b D) c<a<b 3. D) A+3 E) 12 x + 4 x -2 + 2. ifadesini basit kesir yapan x tam sayı 3 4 değeri kaç tanedir? A) 1 7 5 C) b<c<a E) b<a<c 4 5 <x< olduğuna göre, 7 7 x aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 3 14 B) 1 2 C) 5 14 D) 7. a = - 9 14 E) 11 13 15 ,b= - ,c= 13 15 17 a, b, c sıralaması aşağıdakilerden hangisinde doğru- 5 7 dur? A) a>b>c B) c>a>b D) a>c>b C) b>a>c E) c>b>a 4. x < 0 < y olmak üzere, y-x a= gerçel sayısı veriliyor. x Buna göre, a sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? 8. x = 0,38 , y = 0,38 , z = 0,38 x, y, z arasındaki sıralama aşağıdakilerin hangisinde 3 A) 2 2 B) 3 D) 1 2 C) 3 E) doğru olarak verilmiştir? 3 2 A) x>y>z B) z>x>y D) x>z>y 32 C) z>y>x E) y>z>x Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 9. 1 3 × 1- 1 13. 3 1- 0,3 2 ifadesinin sonucu kaçtır? 0,3 0, 5 0,7 + 0,33 0, 55 0,77 A) 2,2 B) 2 5 10. 4 + 4+ A) 1 D) 1,1 E) 1 A) - 3 5 B) 5 14. B) 2 C) 3 D) 4 3 1 1 - 2+ 5 5 2 15. 2 2 4+ - 45 5 11. 7 7 7+ - 710 10 5 7 işleminin sonucu kaçtır? 3 5 C) 14 5 D) 15 8 E) 3 B) işleminin sonucu kaçtır? E) 5 A)2 A) -2 ifadesinin sonucu kaçtır? 5 4+ C) 1,2 0,2 + B) 3 2 C) 1 D) 1 5 E) 1 10 0,ab + 0,ba = 11 olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? (10,9)-1 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 4 7 C) 7 4 D) 2 E) B) 6 C) 8 D) 9 E) 11 14 5 16. Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır? 12. 7,2.10-9.0,05.1010 0,33.106 + 17.104 2 -1 2 1 işleminin sonucu kaçtır? +3 : 2 2 12 13 A) 17 B) 24 C) 48 D) 66 A) 7, 2.106 B) 72.104 D) 7, 2.10-6 E) 70 E) 72.10-6 33 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. C) 7, 2.103 5. ÇÖZÜMLER A= 1. 3x - 4 ifadesi basit kesir ise, 2x + 1 3x – 4 < 2x+1 x 3 7 5 + + 5 11 8 B=1- x<5 + N , x = {1, 2, 3, 4} 4 3 11 8 A–B= 3 7 5 4 3 + + -1+ + 5 11 8 11 8 A–B= 8 5 B=A- 8 5 1+2+3+4 = 10 Yanıt: C 2. a kesrinin basit kesir olması için, b a -1 < < 1 olmalıdır. b x + 4 x -2 + -1 < <1 3 4 4x +16 + 3x - 6 -1 < <1 12 Yanıt: B 6. Pozitif basit kesirlerde pay ve payda arasındaki fark eşit ise kesirlerin değerleri arttıkça değeri artar. -12 < 7x+10 < 12 Bileşik kesirlerde ise küçülür. -22 < 7x < 2 22 2 - <x< 7 7 x a<b<c Yanıt: A Z, x = {-3, -2, -1, 0} Yanıt: D 7. Pay ve payda arasındaki fark her birinde eşit olan negatif sayılarda, pozitif yönlü sıralamanın tersidir. 3. Yanıt: A 4 5 4 5 <x< ( ile yi 2 ile genişletelim.) 7 7 7 7 8 10 <x< 14 14 9 x= olur. 14 8. Yanıt: D x = 0,3800… y = 0,3888… z = 0,3838… Birler, onda birler ve yüzde birler basamakları birbirine 4. y-x a= x eşit. Binde birler basamağı x’in 0, y’nin 8, z’nin 3’tür. y a = - 1 ve x y>z>x Yanıt: E y < 0 olduğundan, a < -1 dir. x Yanıt: A 34 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 9. 13. 2 2 = 0,3 0,5 0,7 30 50 70 + + 0,33 0,55 0,77 33 55 77 = 1 3 .1- 1 3 1- 0,3 0,2 + 2 22 2 = = = 2,2 10 10 10 10 10 + 11 11 11 11 2 3 + 3 =9 9 2 2 3 Yanıt: A 2 -2 2 1 + 9 3 (2 )-2 = 3 3 19 5 9 5 3 9 15 9 = . = . . = 2 4 9 2 4 8 3 Yanıt: D 14. 10. 5 4+ 4+ 4+ x 5 4+ = x x 2 4x+5 = x 3 1 1 3 1 5 3 1 - .2+ = - . = 5 5 2 5 5 2 5 2 (2) 6-5 1 = = 10 10 =x 5 5 (5) Yanıt: E 2 x -4x-5 = 0 15. (x-5) . (x+1) = 0 x = 5 veya x = -1 ( x = -1 olamaz.) 0,ab + 0,ba = 11 (10,9)-1 Yanıt: E ab ba + 99 99 109 - 10 9 -1 = 11 ab + ba 11(a + b) 99 = 11 Þ 99 = 11 99 -1 1 ( ) 9 11 a+b .11 = 11 Þ a + b = 9 9 11. 2 2 2 2 4+ - 44+ -4+ 5 5 5 5 = 7 7 7 7 7+ -7+ 7+ - 710 10 10 10 Yanıt: D 4 4 10 4 = 5 = . = 14 5 14 7 10 Yanıt: B 12. 2 -1 2 1 = +3 : 2 2 12 13 16. 1 2 3 + .12 1 2 3 7, 2.10 -9.0, 05.1010 72.10 -10.5.10 8 = 6 4 0.33.10 + 17.10 33.10 4 + 17.10 4 = 360.10 -2 = 7, 2.10 -6 50.10 4 Yanıt: A 1 1 1 = 6 - . 12 = 6 - .12 3 2 6 = 35 .12 = 70 6 Yanıt: E 35 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. ÇÖZÜMLÜ TEST BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM SİSTEMLERİ 1. 3x–(x+5) = 5–2(1–2x) eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir? İçinde en az bir değişken (bilinmeyen) bulunan eşitlikle- A) -4 B) -3 C) -1 D) 3 E) 4 re denklem denir. 4x – 7 = 3 x değişkenine bağlı 5m+4 = 3 m değişkenine bağlı Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir. 3x+2y = 7 a – 2b = -2 2. ax – b = cx+3 ise, x değerinin eşiti nedir? x ve y ye bağlı A) a ve b ye bağlı birinci dereceden iki b-3 a+c bilinmeyenli denklemlerdir. B) D) b+3 a-c C) b-3 a- c E) b+3 a+c b+1 a+c 5x – 3y = 2 x ve y değişkenine bağlı 2x+4y = 6 Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. 3. 3 4 = ise, x kaçtır? 2x - 5 3x + 2 A) -30 4. B) -28 C) -26 D) 26 E) 30 3-x x +1 = 1 ise, x kaçtır? 4 2 A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2 5. 2xy–3x = y+3 ise, y nin x cinsinden değeri nedir? A) 3x + 3 2x -1 B) D) 36 3x + 3 2x +1 x+3 2x -1 C) E) x +1 x -3 3x - 3 2x +1 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 6. ax+2b–3x+1 = 0 denkleminin çözüm kümesi Ø (boş 10. (2a–3)x+3x–1+a = 0 eşitliğinde x = -1 ise, küme) ise, a kaçtır? A) 3 B) 4 7 7. 6 - 3+ a kaçtır? C) 5 D) 6 E) 7 A) - 3 2 B) -1 C) - 1 2 D) 1 2 E) 1 = 5 ise, x kaçtır? 4 x -1 11. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 2 3 olduğuna göre, x kaçtır? = 1 +1 x x -1 A) 1 2 B) 2 3 C) 5 2 D) 2 E) 3 8. 2x–3y = 1 x+2y = 11 sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (5,3) B) (5,2) D) (3,5) C) (2,5) 12. 2a - b a + 2b b = -1 olduğuna göre, kaçtır? 3-1 2 a E) (1,2) A) 9. 4 3 B) 3 4 C) 3 2 D) 4 7 E) 7 4 1 1 - = -1 x y 2 3 + = 13 x y denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden 13. hangisidir? x 5 x 6 + = + ise, 5 x 6 x x aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 1 , 2 3 1 1 , 2 3 B) C) 1 1 , 2 3 D) {(2, 3)} A) 30 C) 2 15 B) 5 D) 2 10 E) {(-2, -3)} 37 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. E) 30 ÇÖZÜMLER 6. ax+2b – 3x+1 = 0 ax – 3x = -2b – 1 x(a – 3) = -2b – 1 -2b - 1 x= a-3 a–3=0 a = 3 olursa eşitlik tanımsız olur. 1. 3x–(x+5) = 5–2(1–2x) 3x–x–5 = 5–2+4x 2x–5 = 3+4x -5–3 = 4x–2x Yanıt: A 2x = -8 x = -4 dür. Yanıt: A 7 7. 6 - 3+ 2. ax–b = cx+3 4 x -1 =5 ax–cx = b+3 x(a–c) = b+3 x= 1 b+3 dir. a-c 7 Yanıt: B 3+ 4 x -1 =1 7 3. 3 4 = (içler dışlar çarpımı yapılır.) 2x - 5 3x + 2 3+ 4 =7 x -1 4 =4 x -1 x–1 = 1 4 3(3x+2) = 4(2x–5) Yanıt: C 9x+6 = 8x–20 9x–8x = -20–6 x=2 x = -26 dır. Yanıt: C 8. Bu tür denklem sistemlerini çözebilmek için değişkenlerden uygun olanı seçilir. Seçilen değişkenin her 4. 3-x x +1 =1 4 2 6–2x–(4x+4) = 8 -6x+2 = 8 iki denklemde de katsayıları eşitlenir ve zıt işaretli 2(3- x) 4(x +1) 8 = 8 8 8 hale getirilir. Sonra taraf tarafa toplanarak değişken yok edilir. 6–2x–4x–4 = 8 -6x = 6 2/ 2x – 3y = 1 x = -1 bulunur. 3/ x+2y = 11 Yanıt: D 4x – 6y = 2 3x+6y = 33 7x = 35 5. 2xy–3x = y+3 x=5 x değeri denklemin birinde yerine yazılarak, y değeri y li terimleri eşitliğin bir yanına alalım. bulunur. 2xy–y = 3x+3 2x – 3y = 1 y(2x -1) = 3x+3 3x + 3 y= olur. 2x -1 2.5 – 3y = 1 -3y = -9 y=3 Çözüm kümesi: ,(5, 3)Yanıt: A Yanıt: A 38 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 9. 3/ 1 1 - = -1 x y 2 3 + = 13 x y 12. 3 3 - = -3 x y 2 3 + = 13 x y 2a-b a+ 2b = 1 1 3 2 3(2a – b) = 2(a+2b) 6a – 3b = 2a+4b b 4 = dir. 4a = 7b a 7 Yanıt: D 5 1 = 10 Þ x = x 2 1 1 1 - = -1 Þ 2 - = -1 1 y y 2 2+1 = 1 Þ 3 = 1 Þ y = 1 y y Çözüm kümesi: 3 1 1 , 2 3 13. x x 5 6 - =- + 5 6 x x 6x - 5x -5 + 6 = 30 x Yanıt: B x 1 = Þ x2 = 30 Þ x = 30 30 x 10. (2a – 3)x+3x – 1 = 0 Yanıt: A x = -1 ise, (2a – 3)(-1)+3(-1) – 1 + a = 0 -2a+3 – 3 – 1 + a = 0 - a= 1 11. a= -1 Yanıt: B 2 3 = 1 +1 x x -1 2 3 2 3 = Þ = s 1+ x -1 x x x x -1 x -1 2x = 3x Þ 2x. x -1 = 3x x -1 . 2x - 2 = 3 Þ 2x = 5 x= 5 2 Yanıt: C 39 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. ÇÖZÜMLÜ TEST İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM ÇÖZÜMÜ 2 1. 2x –3x+1 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {1, 2} 2 ax +bx+c = 0 Bu tür denklemleri ayrılıyorsa çarpanlarına ayırarak B) {2, 1} 1 D) - ,-1 2 yaparız. 1 ,1 2 C) E) {1, 1} Çarpanlarına ayrılmıyorsa aşağıdaki formülü kullanırız: x1 = -b + Δ , 2a x2 = -b - Δ 2a 2 ∆ = b –4ac dir. ∆ > 0 ise, iki reel kök vardır. ∆ = 0 ise, kökler birbirine eşittir. Tam kare bir ifadedir. ∆ < 0 ise, reel kök yoktur. Çözüm kümesi boş kümedir. 2 2. x –x–1 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Köklerin toplamı = x1+x2 = - b a A) 1- 5,1+ 5 B) c Köklerin çarpımı = x1.x2 = dır. a D) 1- 5 1+ 5 , 2 2 2- 5 2+ 5 , 2 2 C) {1, 2} E) {-2, 1} 2 3. 2x +3x+4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x12.x 2 + x1.x 22 değeri kaçtır? A) -2 40 B) -3 C) -4 D) -6 E) -8 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLER 2 1. 2x – 3x+1 = 0 2x -1 x -1 (2x–1)(x–1) = 0 2x–1 = 0 x= x–1 = 0 x=1 1 2 1 ,1 2 Ç.K = Yanıt: A 2 2. x –x–1 = 0 çarpanlarına ayrılmaz. 2 ∆ = b – 4ac (a = 1, b = -1, c = -1) 2 ∆ = (-1) – 4.(1).(-1) ∆=5 x1 = -b + Δ 1+ 5 Þ x1 = 2a 2 x2 = -b - Δ 1- 5 Þ x2 = dir. 2a 2 Ç.K = 1- 5 1+ 5 , 2 2 Yanıt: B 2 3. 2x +3x+4 = 0 a = 2, b = 3, c = 4 x12 .x2 + x1.x22 = x1.x2 (x1 + x2 ) b 3 x1 + x 2 = - = a 2 c 4 x1 .x 2 = = = 2 olur. a 2 x12 .x2 + x1 .x22 = 2. - 3 = -3 olur. 2 Yanıt: B 41 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 7. n > 1 ve n BASİT EŞİTSİZLİKLER + Z olmak üzere, 0 < x < 1 ise, n n-1 x <x x, y R olmak üzere, 2 8. x < x ise, 0 < x < 1 dir. x < y, x = y, x > y 2 Yukarıdaki değerlerden yalnız biri doğrudur. x > x ise, x < 0 veya x > 1 dir. x Aynı yönde eşitsizlikler taraf tarafa toplanır, ancak y olması halinde eşitsizlik vardır. çıkarılamaz. Eşitsizliğin Özellikleri: Not: Aynı yönde eşitsizliklerle taraf tarafa çarpma ve bölme işlemi yapılamaz. 1. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkartılırsa eşitsizlik bozulmaz. 9. x.y > 0 ise x ile y aynı işaretli, x < y ise x+z < y+z x.y < 0 ise x ile y zıt işaretlidir. x-z < y-z dir. 2. x < y, y < z ise, x < z, geçişme özelliği vardır. 3. Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişmez. x < y ve z > 0 olsun. x.z < y.z x:z < y:z 4. Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. x < y ve z < 0 olsun. x.z > y.z x:z > y:z 5. 0 < x < y ve n n a) x < y b) + Z olmak üzere, n 1 1 < dır. y x 6. x < y < 0 ve n + Z olmak üzere, n n n n a) n çift ise, x > y n tek ise, x < y dir. b) 1 1 < x y 42 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLÜ TEST 5. x > y olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? 1. 2a-3<2-3(1-a) eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir? A) [-2,+∞) B) (-2,+∞) D) (-∞,-2) A) x+z > y+z B) x-z > y-z D) y-x < 0 C) (-∞,-2] C) x-y > 0 E) x.z > y.z E) (-2,2) 6. a, b Z olmak üzere, -3 ≤ a < 5 ve -4 < b ≤ 3 ise, 2. 3 - a 2a - 3 4 2 3a-5b ifadesinin en büyük tam sayı değeri kaçtır? a+2 16 A) 23 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi- B) 24 C) 25 D) 26 E) 27 sidir? A) a 3 2 B) a > D) a 19 13 19 13 C) a E) a < 19 13 1 13 7. a, b R olmak üzere, -3 ≤ a < 5 ve -4 < b ≤ 3 ise, 3a-5b ifadesinin en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36 3. a < 0, 1 1 1 x= ,y= ,z= olduğuna göre, 3a a 2a aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? 2 8. x < x ve y < 8 olduğuna göre, A) x > z > y B) x > y > z D) z > x > y aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? C) y > z > x E) y > x > z A) x.y > 0 B) x.y > 8 D) y > x C) x > y E) x.y < 8 9. a < 0 olmak üzere, a-5 a-9 a - 11 x= ,y= ,z= a-3 a-7 a-9 4. 4a-1 < 3+2(1+a) ≤ 4a+3 eşitsizliğinin tam sayılar kümesinde çözüm kümesi nedir? olduğuna göre; x, y, z aşağıdakilerin hangi-sinde A) [1,2) B) [1,2] D) [1,3) doğru olarak sıralanmıştır? C) *1,∞) E) {1,2} A) x > y > z B) z > y > x D) z > x > y C) x > z > y E) y > z > x 43 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. ÇÖZÜMLER 5. z değeri tanımlanmamıştır. z < 0 ise x.z < y.z olur. 1. 2a-3 < 2-3(1-a) Yanıt: E 2a-3 < 2-3+3a -3+1 < 3a-2a -2 < a 6. 3a-5b ifadesinin en büyük değer olması için, x’in en Ç.K = (-2,+∞) büyük y’nin en küçük değeri alması gerekir. Yanıt: B a = 4 ve b = -3 olmalıdır. 3.4-5.(-3) = 12-(-15) = 27 dir. Yanıt: E 2. 3- a 2a- 3 4 2 1 a+ 2 1 6 (3) (12) (2) (6) 7. -3 ≤ a < 5, 3 ile genişletiriz ve 3a elde ederiz. 9 – 3a – 12a + 18 ≥ 12 – 2a – 4 3.(-3) ≤ 3a < 3.5 19 ≥ 13a 19 ≥a 13 -9 ≤ 3a < 15 (1) -4 < b ≤ 3, -5 ile genişletiriz ve -5b elde ederiz. Yanıt: C (-5).(-4) > -5b ≥ (-5).3 20 > -5b ≥ -15 (2) 3. 1 ile 2’yi taraf tarafa toplarız. a = -1 alınırsa, 1 1 x = - , y = -1, z = 3 2 -9 ≤ 3a < 15 + x > z > y olur. Yanıt: A -15 ≤ -5b < 20 -24 ≤ 3a-5b < 35 En büyük tam sayı değeri 34 olur. 4. Yanıt: D B 4a-1 < 3+2(1+a) ≤ 4a+3 8. 2 x < x ise 0 < x < 1 dir. A x.y nin değeri daima 8’den küçük olur. Yanıt: E A) 4a-1 < 3+2(1+a) 4a-1 < 3+2+2a 9. 4a-2a < 5+1 a < 0 olduğu için a = -1 alalım. -6 6 3 = = x= -4 4 2 2a < 6 a<3 B) 3+2(1+a) ≤ 4a+3 y= -10 10 5 = = -8 8 4 z= -12 12 6 = = -10 10 5 3+2+2a ≤ 4a+3 5-3 ≤ 4a-2a 2 ≤ 2a 1≤a x, y, z bileşik kesirlerdir ve pay ile payda arasında 1 fark vardır. mutlak değerce payı büyük olan daha küçüktür. A∩B çözüm kümesi olur. x > y > z dir. 1 ≤ a < 3 Ç.K = ,1,2- Yanıt: A Yanıt: E 44 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net Çözüm. MUTLAK DEĞER Mutlak değer içindeki ifadeler 0’a eşit veya 0’dan büyük olacağı için iki ifadenin toplamının 0 olabilmesi demek iki ifadenin de 0’a eşit olması demektir. 3 2a-3 = 0 a= 2a- 3 = 0 2 Sayı doğrusu üzerindeki x sayısının sıfıra olan uzaklığına x’in mutlak değeri denir ve x ile gösterilir. -x 0 x 4 -2b =0 +x 4-2b = 0 b=2 3 7 +2 = bulunur. 2 2 x x, x ≥ 0 ise x= Mutlak Değerin Özellikleri: Her a,b R için -x, x < 0 ise olarak tanımlanır. a2n = a ve a ≥ 0 1. 2n 2. a = -a x bir uzunluk gösterdiğinden x ≥ 0 olur. Buna göre, 3 = -3 = 3 a-b = b - a 3. - a ≤ a ≤ a Örnek: 4. a.b = a . b 5. a a = ,b 0 b b 6. a - b ≤ a + b ≤ a + b üçgen eşitsizliği x < 0 < y olmak üzere, x - y +2 x - y - 3x ifadesinin eşiti nedir? Çözüm: x = -x y > 0 için y = y x-y < 0 2 x - y = -2 (x-y) = 2y-2x olduğuna göre, x < 0 için + 7. n N an = a n x - y +2 x - y - 3x -x-y+2y-2x-(-3x) = -x-y+2y-2x+3x = y olur. Mutlak Değerli Denklemler: 1. Örnek: f(x) = 0 f(x) = 0 4a - 28 ifadesinin en küçük değeri için x kaçtır? Örnek: x-3 = 0 Çözüm: x - 3= 0 x = 3 dir. Mutlak değer içindeki bir fonksiyonun en küçük değeri her zaman için 0 dır. Yani, f(x) = 0 + 2. x R olmak üzere, f(x) = 0 olur. 4a - 28 = 0 f(a) = x 4a-28 = 0 ise f(a) = x veya f(a) = - x a = 7 bulunur. Örnek: Örnek: 2x - 3 = 5 denkleminin çözüm kümesi 2a- 3 + 4 -2b = 0 olduğuna göre, 2x-3 = 5 veya a+b toplamı kaçtır? x=4 -2x+3 = 5 x = -1 Ç.K = , -1, 4} 45 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 3. ax +b = k denkleminin kökler toplamı: -2b dır. a Örnek: 2a- 3 ≤ 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi: -5 ≤ 2a-3 ≤ 5 Örnek: 2x + 5 = 6 denkleminin kökler toplamı: -2 ≤ 2a ≤ 8 -1 ≤ a ≤ 4 Ç.K = * -1, 3 ] -2.5 = - 5 dir. 2 Not: x R ise f(a) ≤ x eşitliğinin çözüm kümesi: Ç.K = Ø 4. ax +b + ax + c = d denkleminin kökler toplamı: b+c dir. -a + 2. a R olmak üzere, f(x) ≥ a Örnek: f(x) ≥ a veya f(x) ≤ -a dır. Not: a R olmak üzere, f(x) > a ise çözüm kümesi: 2-4 2 = 3a+ 2 + 3a- 4 = 8 denkleminin kökler toplamı: -3 3 dür. Ç.K = R Örnek: 5. a - 3 > 6 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. f(x) = p(x) ise, f(x) = p(x) veya f(x) = -p(x) Çözüm: a-3 > 6 Örnek: a – 3 > 6 veya a – 3 < -6 a > 9 veya a < -3 x + 4 = 2x + 5 denkleminin çözüm kümesi: x+4 = 2x+5 x = -1 Ç.K = (-∞, -3 ) x = -3 3. a, b x+4 = -(2x+5) x+4 = -2x-5 ( 9, ∞) + R olmak üzere, a < f(x) < b Ç.K = , -1, 3} dir. a <f(x)< b veya a < -f(x) < b Örnek: 6. f(x) = p(x) 1 ≤ a + 3 < 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi: f(x) = p(x) veya f(x) = -p(x) 1 ≤ a+3 < 5 Bu denklemlerin köklerinden f(x) = p(x) denklemini 1 ≤ a+3 < 5 veya 1 ≤ -a-3 < 5 -2 ≤ a < 2 veya -8 < a ≤ -4 sağlayanlar alınır. Örnek: 3a- 6 = 9 - 2a denkleminin çözüm kümesi: 3a-6 = 9-2a 3a-6 = -9+2a 2 2 4. f(x) < p(x) [f(x)] < [p(x)] 5. f(x) < p(x) -p(x) < f(x) < p(x) a=3 Örnek: a = -3 3a < 4a – 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi: 3a < 4a – 2 Bulunan değerlerin verilen denklemi sağlayıp sağlamadı- -(4a – 2) < 3a < 4a – 2 -4a+2 < 3a ve 3a < 4a – 2 2 < a ve 2 < a olup 7 ğı kontrol edilerek her ikisinin sağladığı görülür. Ç.K = , -3, 3 } Ç.K = ( 2, ∞ ) olur. Mutlak Değer İçeren Eşitsizlik Çözümü: + 1. b R olmak üzere, f(x) ≤ b -b ≤ f(x) ≤ b 46 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLÜ TEST 6. 3a+1 ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan kaç tane a tam sayı değeri vardır? 1. a < b < 0 olduğuna göre, ifadesinin eşiti aşağıdakilerden a+b - a-b - b A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) hangisidir? A) a B) –a C) b D) –b E) a – b 7. 2. -2 < a < 3 olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? ifadesinin en sade biçimi a+ 3 -2 a- 3 - 3a+ 3 nedir? A) 0 3. A) 2 B) –a - -15 + -9 - -6 C) –2a D) 2a B) -2 C) 0 D) 2 B) 7 2 C) 8 3 D) 10 3 E) 4 E) 3a 8. işleminin sonucu kaçtır? - -5 + -1 A) -3 3a- 4 + 2b - 5 = 0 olduğuna göre, a - 2 -1 = 7 denklemini sağlayan a değerlerinin toplamı kaçtır? A) -4 E) 3 B) 0 C) 4 D) 6 E) 16 4. a < 0 olduğuna göre, -a + 1 - a 2 + 4a ifadesinin değeri aşağıdakilerden han- 9. a2 - 8a+16 = 5 çözüm kümesi nedir? gisidir? A) {-1} A) -1 B) 1 2 C) 1 D) 2a a2 + 2ab + b2 + b - a + 10. a, b b2 9 2 B) -4 =8 C) - E) {0} R olmak üzere, a+1 < 3 için 2a – b+6 = 0 vardır? A) 7 3 2 D) {0, 1} denklemini sağlayan kaç tane b tam sayı değeri olduğuna göre, a kaçtır? A) - C) {9} E) 3a 5. a < b < 0 olmak üzere, b B) {-1, 9} D) 4 E) B) 8 C) 9 9 2 47 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. D) 10 E) 11 ÇÖZÜMLER 7. 3a- 4 + 2b - 5 = 0 olması için 1. Mutlak değerin için negatif ise, eksi parante-zinde 3a- 4 = 0 ve 2b - 5 = 0 olmalı mutlak değerden kurtarırız. 3a – 4 =0 a+b - a-b - b = -(a+b) – (-(a – b)) – (-b) a= 4 3 = -a – b + a – b + b 2b – 5 = 0 = -b bulunur. Yanıt: D a.b = b= 5 2 4 5 10 . = olur. 3 2 3 Yanıt: D 2. -2 ve 3 aralığındaki değerler için a+3 > 0 ve a – 3 < 0 olur. a+ 3 -2 a- 3 - 3a+ 3 = a+3+2a – 6 – 3a+3 = 0 olur. 8. Yanıt: A a - 2 -1 = 7 a - 2 =8 a - 2 -1 = -7 a - 2 = -6 a - 2 -1 = 7 3. - -15 + -9 - -6 - -5 + -1 a - 2 = -6 -15 + 9 - 6 -12 = =3 = -5 +1 -4 Ç.K. = Ø ( Çünkü hiçbir zaman mutlak değer dışına çıkan değer negatif olamaz.) Yanıt: E a–2=8 a = 10 a – 2 = -8 a = -6 a-2 = 8 Ç.K. = , -6, 10 } -6 + 10 = 4 bulunur. 4. -a + 1 - a 2 + 4a -a + 1 - a 1 - 2a Yanıt: C 1 - 2a 1 = = = = 2 - 4a 2 - 4a 2 - 4a 2 Yanıt: B 9. 5. a2 + 2ab + b2 + b - a + b b 2 a2 - 8a+16 = 5 a–4=5 =8 a=9 a- 4 = 5 b (a+b) + b - a + = 8 b a – 4 = -5 2 a+b + b - a + (a - 4)2 = 5 a = -1 Ç.K. = ,-1, 9} b =8 b Yanıt: B -a – b+b – a – 1 = 8 -2a = 9 a= - 9 2 10. a+1 < 3 Yanıt: A 6. 3a+1 ≤ 7 -7 ≤ 3a+1 ≤ 7 -8 ≤ 3a ≤ 6 - -3 < a+1 < 3 -4 < a < 2 olur. b-6 2a – b+6 = 0 a= ifadesi eşitsizlikte a yerine 2 yazılırsa, b-6 -4 < <2 -8 < b – 6 < 4 2 8 ≤a≤2 3 -2 < b < 10 olur. b tam sayı değerleri = ,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Ç.K. = ,-2, -1, 0, 1, 2 } Yanıt: E Yanıt: D 48 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net + 5. x R ve m, n Z için ÜSLÜ İFADELER n m m.n (x ) = x dir. Örnek: Tanım: x bir reel sayı ve m 4 5 4.5 20 -n 1 (3 ) = 3 = 3 + Z olmak üzere, m tane x in -m m 6. x .x = çarpımı x.x.x…x = x biçiminde gösterilir. x 3 2 = 2.2.2 = 8 -m b x -m 8. x -n Örnek: 5 4 6 1 x n 1 = m x .x n = 1 x m+n = x -(m+n) -m a+b 1. x .x = x 3 .3 = 3 -m 7. (x.y) = x .y Özellikler: a . m = x -m+n 9 5 6 5 11 -x .x = (-1).x .x = -x 9. ( x -m ) -n = x m.n a a 2. x .y = (x.y) a 10. axm + bxm - cx m = (a + b - c)x m Örnek: 10 10 10 Örnek: 5 .2 = 10 5 5 5 5 5 5 8x +4x +3x – 5x = (8+4+3 – 5)x = 10x + xa =x xb {-1, 0, 1} ve x m = x n ise m = n dir. 11. x 3. x R-{0}, a,b Z için a-b Örnek: 5 2x-3 = 125 ise x kaçtır? Örnek: 3 12 12-7 =3 37 (a b) 7 (a b) 9 =3 Çözüm: 5 5 (a b) 7-9 (a b) -2 2x-3 =5 3 2x-3 = 3 1 (a b)2 x = 3 bulunur. Örnek: 82x + 4. x R, y R-{0}, n Z için 4 1 eşitliğini sağlayan kaç tane x değeri vardır? n x Çözüm: x n dir. yn 82x y 4 2x-4=0 Örnek: 1 82x 2x=4 4 80 x=2 4 164 44 16 44 4 x 1 25x 1 5x 1 25 5x 1 5 49 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. ÇÖZÜMLÜ TEST 1. 5. a, b , Z olmak üzere, 3 2a-b+1 =5 a+b+5 ise; a.b nin değeri nedir? 2a 27 3 + 3 2a-3 - 9 a-1 = 675 ise; a’nın değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15 E) 5 0,6 6. x = 8 ise; x’in değeri aşağıdakilerden hangisidir? 2. m 5 3 = n ise 5m 2 5m A) 2 1 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32 3m 1 3m-1 işleminin sonucunu bulunuz? A) n B) 5n C) 9n D) 14n E) 19n a 5 1 eşitsizliğini sağlayan a nın en büyük 4 tam sayı değeri kaçtır? 2a-3 7. 2 < A) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 3 2x 3. 3 = 9 y 3 = 2 ise; 2y-x+1 3 A) 4 ifadesinin değeri kaçtır? B) 8 C) 12 D) 16 8. (a–3) E) 20 = 1 eşitliğini sağlayan a değerlerinin topla- mı kaçtır? A) 4 3 a+2 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 3 4. (2x) = (x+4) ise; x’in değeri aşağıdakilerden hangisidir? 9. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 4.8x -3 1 = olduğuna göre x kaçtır? 16x -1 32 E) 4 A)1 50 B)2 C)3 D) 7 2 E) 4 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLER 6. 3 0,6 1. 35 . 3. x 5 = 23 Þ x 5 3 = 2 x =8 5 3 Þ x = 25 x = 32 bulunur. 2a (3 3 ) 3 Yanıt: E + 3 2a-3 - (3 2 ) a-1 = 675 3 2a + 3 -3.3 2a - 3 -2.3 2a = 675 7. 1 1 2a - ). 3 = 675 27 9 (1 + 2 25 2a .3 = 675 27 2a-3 1 4 < a 5 2a-3 2 2a-3 < -2a-10 32a 272 32a 36 2a = 6 a = 3 bulunur. <2 -2a-10 a< - 4a < -7 7 tür. 4 Buna göre en büyük a tam sayısı -2 olur. Yanıt: C Yanıt: B 2. 5 m+2 + 5 m+1 = 3 m+1 + 3 m-1 8. 5 2.5 m + 5.5 m 3.3 m -1 + 3 .3 Eşitliğin sağlanması için a–3 0 iken a+2 = 0 a – 3 = 1 iken a+2 R, a – 3 = -1 iken a+2 çift tam sayı olmalıdır. m 5 3 = m (25 + 5).5 m 30.5 m = = 1 10 m (3 + ).3 m .3 3 3 .9 = 9n bulunur. Yanıt: C a+2 = 0 a = -2 dir ve a – 3 a–3=1 a = 4 ve a+2 R olur. a – 3 = -1 0 olur. a = 2 ve a+2 çift tam sayı olur. -2+4+2 = 4 bulunur. Yanıt: A 3. 2x 3 =3 2 -1 y y 2 3 =2 2y-x+1 3 1 3 2y 3 =4 x = 1 ve 3 = (3 ) = 2 2y 2 -x = 3 .3 .3 = 4. 1 .3 = 4 bulunur. 3 9. Yanıt: A 4.8 x 3 16 x 1 1 32 Sayılar 2 nin kuvvetine çevrilir 4. 3 (2x) = (x+4) 3 2x = x+4 x = 4 bulunur. 22.23.( x 3) 24.( x 1) 1 25 23x 2 22 3x 9 24x 4 2 Yanıt: E 5. 7 4x 4 x 3 5 5 x 2 Verilen eşitliğin sağlanması için üslerin 0 a eşit olması gerekir. Çünkü üslerin sıfır olmasıyla iki ifade de 1 Yanıt: B bulunur ve iki ifade birbirine eşit çıkar. 2a-b+1 = 0 a+b+5 = 0 2a-b = -1 a+b = -5 a = -2 ve b = -3 bulunur. a.b = -2.-3 = 6 olur. Yanıt: B 51 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 5 3. Paydası rasyonel olmayan bir köklü ifadenin payda- KÖKLÜ İFADELER sını rasyonel yapabilmek için paydadaki köklü ifadenin eşleniği ile pay ve payda çarpılır. Tanım: Bir reel sayının karesinin karekökü o reel sayının Örnek: mutlak değerine eşittir. x R için x 2 = x tir. 4 4.( 5 2) 5- 2 ( 5- 2).( 5 4 5 4 2 3 2) Örnek: x < 2 ise x 2 - 4x + 4 ifadesi neye eşittir? 4. a 0 ve b 0 olmak üzere, a,b R için a . b = a . b dir. Çözüm: x 2 - 4x + 4 = ( x - 2) 2 = x - 2 Örnek: x < 2 ise x–2 < 0 olur. Bu durumda 5 . 10. 12 = 5.10.12 = 600 = 10 6 dir. x - 2 = -(x-2) = -x+2 bulunur. Örnek: x < 0 < y ise x 2 + y 2 - (x - y) 2 işleminin sonucunu 5. a ≥ 0 ve b > 0 olmak üzere, a,b R için bulunuz. a b = dir. Çözüm: Örnek: x 2 = x , y 2 = y ve (x - y) 2 = x - y dir. 21 x = -x x<0 0<y y =y x<y x–y<0 7 21 = 3 7 = x - y = -(x – y) = -x+y x 2 + y 2 - (x - y) 2 = -x+y – (-x+y) + + 6. x R ve n Z olmak üzere, = -x+y+x – y = 0 bulunur. ( x )n = x n olur. Örnek: ( 3 ) 3 .( 6 ) 4 = 3 3.3 4.2 4 = 3 7.2 4 ÖZELLİKLER = 3 3.2 2. 3 = 108 3 bulunur. 1. a b - c b + d b = (a - c + d) b Örnek: m xn 7. 5 5 + 2 5 - 3 5 = (5 + 2 - 3) 5 = 4 5 a n x a ve n am a n dir. Örnek: 2. a+ b nin eşleniği a- b dir. Bunların 1 çarpımı, 4 ( a + b ).( a - b ) = a – b dir. a3 = 1 3 =a - 3 4 a4 Örnek: 1 n 8. ( n a )m ( 7 + 2 3 ).( 7 - 2 3 ) a m ve nm a n.m a a7 4 .2 a7 a n.m = 7. 7 - 7.2 3 + 2 3. 7 - 2 3.2 3 Örnek: = 7 – 12 = -5 bulunur. 4 52 a3 a 7 4 a3.2.a 4 8 a7 a8 a b Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net n 9. a n a n a... n-1 + + 15. a,b R ve n N ise a n a. n b = n a.b dir. Örnek: Örnek: 6 32 6 3 32 6 5 32... 5 32 25 3 3 2a . 4a 2 = 2a.4a 2 = 3 ( 2a) 3 = 2a dır. 2 n 16. a,b R+ ve n N+ ise 10. n a: n a: n a... n 1 n a b n a dir. b a Örnek: 3 Örnek: 6 128 : 11. 6 128 : 6 7 7 3 7 128... = 128 = 2 = 2 a + a + a + ... = x ise x = 54a 4 b 5 2ab 2 =3 54a 4 b 5 2ab 2 3 = 27a 3 b 3 = 3ab 1 + 1 + 4a 2 Örnek: 6 + 6 + 6... = 12. 1 + 1 + 4.6 1 + 25 6 = = =2 2 2 3 n.(n + 1) + n.(n + 1) + n.(n + 1) + ... = n + 1 Örnek: 56 + 56 + 56 + ... = 7.8 + 7.8 + ... = 8 13. n.(n + 1) - n.(n + 1) - n.(n + 1) - ... = n Örnek: 132 - 132 - 132 - ... = 11.12 - 11.12 - ... = 11 14. a ± 2 b ifadesinde b nin çarpanları m ve n olsun. m+n = a ise (m>n) a ± 2 b = m ± n olur. Örnek: 5 - 2 6 ifadesinde çarpımları 6 toplamları 5 olan 3 ve 2 vardır. 5 - 2 6 = 3 - 2 bulunur. 53 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. ÇÖZÜMLÜ TEST 6. ( 6,4 + 0,4 ) : ( 0,8 - 0,2 ) işleminin sonucu kaçtır? 1. 0,16 + 0,04 0,36 + 0,04 A) 1 2. B) 1 2 54 - 24 96 A) 1 B) işleminin sonucu kaçtır? A) 5 2 C) 3 4 5 6 D) E) C) 1 4 1 6 D) C) 4 2 D) 3 2 E) 3 2 5 2 3 7. (0,04) 2 + 0,0009 işleminin sonucu aşağıdakiler- işleminin sonucu kaçtır? 1 2 10 2 B) den hangisidir? E) A) 83.10 1 8 -2 B) 162.10 D) 19.10 -3 -3 C) 32.10 E) 316.10 -3 -4 -3 8. 2,5.10 sayısının karekökü aşağıdakilerden hangi3. 21+ 13 + 11 - 4 sidir? işleminin sonucu kaçtır? A) 5.10 A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 B) 5.10 D) 5.10 E) 1 9. 4. -4 2x + 3y + 2y + 4 = 0 ise 1 3-2 2 - 1 3+ 8 -2 -5 C) 25.10 E) 5.10 -3 -7 işleminin sonucu kaçtır? x+y aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 2 A) 6 5. B) 5 C) 3 D) 1 B) 5 2 C) 4 2 D) 3 2 E) 2 E) -1 (-4) 2 - 3 - 27 + 25 10. işleminin sonucu kaçtır? x+4 5 3 x+4 = (0,2) eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) -2 B) -12 C) 12 D) 15 E) 17 A) -1 54 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLER 7. (0,04) 2 + 0,0009 = ( 4.10 -2 ) 2 + 9.10 -4 -4 0,16 + 0,04 1. 0,36 + 0,04 = -2 -4 = 16.10 +3.10 = 16.10 +300.10 -4 =316.10 0,4 + 0,2 0,6 3 = = 0,6 + 0,2 0,8 4 -4 Yanıt: E Yanıt: C -3 25.10 -4 = 5.10-2 -4 8. 2,5.10 = 25.10 = 54 - 24 2. 96 = 3 6 -2 6 4 6 = 1 4 Yanıt: D Yanıt: C 9. 3. 21+ 13 + 11 - 4 = 21 + 13 + 11 - 2 = 21+ 13 + 3 = 21+ 4 = 25 = 5 1 3-2 2 = Yanıt: A - 1 3+ 8 = 1 3-2 2 - 1 3+2 2 3+2 2 3-2 2 =3+2 2 -3+2 2 1 1 =4 2 Yanıt: C 4. 2x + 3 y + 2y + 4 = 0 Her iki değer de negatif olamayacağı için her iki köklü değer de 0 olmak zorundadır. 2y+4 = 0 10. y = -2 2x+3y = 0 2x+3.(-2) = 0 2x – 6 = 0 x=3 x+4 5 3 x +4 3 X+4 5 X+4 = (0,2) 1 = 5 3x+4 = -x – 4 x+y = 3+(-2) = 1 Yanıt: D 3 X+4 5 X+4 3 X+4 5 X+4 = 2 10 = 5 -1 4x = -8 3x + 4 = -1 x+4 x = -2 Yanıt: B (-4) 2 - 3 - 27 + 25 = 5. 16 - 3 (-3) 3 + 25 = 4 – (-3)+5 = 4+3+5 = 12 Yanıt: C 6. ( 6,4 + 0,4 ) : ( 0,8 - 0,2 ) = ( 64.0,1 + 4.0,1) : ( 4.0,2 - 0,2 ) = (8 0,1 + 2 0,1) : (2 0,2 - 0,2 ) = 10 0,1 0,2 = 10. 0,1 1 10 2 = 10. = =5 2 0,2 2 2 Yanıt: A 55 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. Örnekler : ÖZDEŞLİK – ÇARPANLARA AYIRMA 1) 2x 3 2 2 2) 3x 2 İçindeki değişken veya değişkenlerin alabilecekleri her 4x 2 12x 9 9x 2 12x 2 değer için aynı sonucu veren eşitliklere özdeşlik denir. 3)16x 2 1 (4x 1).(4x 1) ax+bx = x (a+b) 1 a2 4)a2 a = 3, b = -1, x =2 için 3.2+(-1).2 = 2 ( 3+(-1)) 6 – 2 = 2.2 4=4 a2 1 a2 5)8x 3 (a (a y6 1 ) 2 a 12 ) a 2 (2x y 2 ).(4x 2 2xy 2 ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER 2 2 1. (x+y) = x +2xy+y 2 6)27x 3 1 (3x 1).(9x 2 2 2 2. (x – y) = x – 2xy+y 2 2 2 3. (x+y) =(x – y) +4xy 2 2 4. (x – y) =(x+y) -4xy 2 2 5. x – y = (x+y).(x – y) 2 2 2 2 3 3 2 6. x +y = (x+y) – 2xy 2 x +y = (x – y) +2xy 2 2 7. x +y = (x+y).(x – xy+y ) 3 3 2 2 8. x – y = (x – y).(x +xy+y ) 2 2 2 2 9. (a+b+c) = a +b +c +2(ab+bc+ac) 2 2 2 2 10. a +b +c = (a+b+c) – 2(ab+bc+ac) Uyarı: 2n (x – y) = (y – x) (x – y) 2n+1 2n = -(y – x) 2n+1 56 3x 1) y4 ) Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net A) ÇÖZÜMLÜ TEST 19 B) C) 4 17 D) 15 E) 3 5. x.y = 2, x – y = 4 ise, 3 3 x – y ifadesinin sonucu kaçtır? + 1. a, b Z 2 a oranı kaçtır? b 2 a – b = 37 ise, A) 4 5 19 18 B) C) 3 2 A) 64 D) 2 E) B) 70 C) 76 D) 82 E) 88 19 5 2. a = 3 - 2 , b = 3 + 2 ise, 2 2 6. x – 7x+1 = 0 ise, 1 x 2 + 2 değeri kaçtır? x 2 a – b değeri kaçtır? A) - 12 2 B) - 8 2 C) 0 D) 8 2 E) 12 2 A) 47 3. x- B) 45 C) 44 D) 43 E) 39 D) 47 E) 51 1 = 4 ise, x 1 + x değeri aşağıdakilerden hangisidir? x A) B) 19 20 C) 22 D) 2 6 E) 5 + 7. x, y Z 3 3 x – y = 61, x – y = 1 ise, 2 2 x +y kaçtır? A) 31 4. 4x 2 + 2x - 1 4x 2 B) 41 C) 43 = 17 ise, 1 değeri aşağıdakilerden hangisidir? 2x 57 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. ÇÖZÜMLER 5. x.y = 2, x – y = 4 ise, 3 3 2 2 x – y = (x – y).(x +xy+y ) 2 2 2 1. a – b = 37 ( 37 asal sayı) 2 = 4.(x +y +2) 2 (a – b).(a+b) = 1.37 = 4.[(x – y) +2xy+2] 2 a–b=1 = 4.(4 +2.2+2) 3 a+b = 37 3 x – y = 88 bulunur. Yanıt: E 2a = 38 a = 19 ve b = 18 dir. a 19 = dir. b 18 Yanıt: B 2 6. x 2– 7x+1 = 0 ise, tüm eşitliğin terimlerini x e böleriz. x 7x 1 - 2 x 1x x 2 2 ( )( = 3 - 2 - 3 - 2 .3 - 2 +3+ 2 1 x x 2 7 olur. x 7 Her iki tarafın karesini alalım. x 1 1 x 2 + 2.x. + 2 = 49 x 1 x x 2 + 2 = 47 olur. x Yanıt: A 2. a = 3 - 2 ve b = 3 + 2 ise, a – b = (a – b).(a+b) 0 ) = - 2 2.6 = -12 2 bulunur. Yanıt: A 3. x- 1 = 4 her iki tarafın karesini alalım. x 2 1 xx 1 2 x + x 4 1 1 x 18 = x x+ 2 4x 2 1 1 4x 2 17 = 2 x 2x + 1 2x 2 2 2 61 = 1.(x +xy+y ) 2 2 1 x 61 = 1+3xy 1 - 2.x. x xy = 20 2 -2 x 2x - 1 2x 2 (x – y) = x – 2xy+y 2 1 x 2 2 2 2 1 = x +y – 40 20 2 2 x +y = 41 olur. Yanıt: B = 17 ise, 4x2 3 2 1 = 20 bulunur. x 4x2 + 3 x – y = (x – y).(x +xy+y ) Yanıt: B 4. 3 61 = [(x – y) +2xy+xy] x x2 3 x – y = 61 ve x – y = 1 1 1 x - 2.x. + 2 = 16 x x 2 = 18 x2 2 + 7. x,y Z 2 2.2x. 1 2x 2 2 1 = 15 2x Yanıt: D 58 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net HARFLİ İFADELERİ ÇARPANLARINA AYIRMA 3) Özdeşliklerden Faydalanarak Çarpanlara Ayırma: a) Tam Kare Özdeşliği (x y)2 = x 2 1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma: 2xy I. terimin karesi y2 + I.ve II terimlerin çarpımının iki katı Her terimde ortak çarpanlar bulunup parantezin II. terimin karesi önüne yazılır. Terimler ortak çarpana bölünür, bölümler parantez içine yazılır. Örnek: Örnek: 2 2 2 1. 16a – 40ab+25b = (4a – 5b) 4a 1. ax+bx = x(a+b) 2 5b 2 2 2. 12a b – 9ab = 3ab(4a – 3b) a = 1 4 2. 1+a+ 3. a(x – y)+(y – x)b = a(x – y) – b(x – y) 2 a 2 = (x – y)(a – b) 4. 12xy – 18y – 24x = 6(2xy – 3y – 4x) 3 2 a 2 1 2 5. a – a – a = a(a – a – 1) 2 3. 0,04 – 0,4x+x = (0,2 – x) 0,2 2 x 2) Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma: Gruplandırma yapabilmemiz için terim sayısı en az b) İki Kare Farkı Özdeşliği dört ve terim sayısı çift olmalıdır. Ortak terim olan x – y = (x – y).(x+y) 2 2 elemanları gruplayarak, arka arkaya ortak çarpan özelliği kullanılır. Örnek: 4 4 2 2 2 2 3x - 5y . 3x 4 1. x – y = (x – y ).(x +y ) 2 2 = (x – y).(x+y).(x +y ) Örnek: 1. ax+by+ay+bx = ax+ay+bx+by 2. 9x 2 - = a(x+y)+b(x+y) 25 2 y 4 5y 4 = (x+y).(a+b) 3 2 2 2 3. 12x – 27xy = 3x(4x – 9y ) = 3x(2x – 3y).(2x+3y) 2. 2ce+df – de – 2cf = 2ce – de+df – 2cf = e(2c – d)+f(d – 2c) 4. = e(2c – d) – f(2c – d) = (2c – d).(e – f) 4x2 - 25 2 4x - 20x + 25 = (2x - 5)(2x + 5) (2x - 5)2 = 2x + 5 2x - 5 59 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 2 c) İki Küp Toplam ve Fark Özdeşliği 3 3 2 e) Ax +Bx+C Üç Terimlisinin Çarpanlara Ayrılması 2 a +b = (a+b)(a – ab+b ) 3 3 2 A = a1.a2 a – b = (a – b)(a +ab+b ) 2 a 2x Örnek: 3 2 1. 27a +1 = (3a+1)(9a – 3a+1) 1 x - 5y 2 2 4 c2 2 1. 6x – 13x+5 = (2x – 1)(3x – 5) 2x -1 1 3 x - 125y6 8 = B= a1.c2+a2.c1 Ax +Bx+C = (a1x+c1)(a2x+c2) a 1x c1 Örnek: 2. C = c1.c2 2 3x 1 2 x 4 5 2 y x 25y 4 2 4 3 2 2. 5b +4b – 12 = (b+2)(5b – 6) b +2 5b -6 3 3. 16a b – 54ab = 2ab(8a – 27b ) 2 -5 2 = 2ab(2a–3b)(4a +6ab+9b ) 2 2 2 2 3. 30a +25ab – 30b = 5(6a +5ab – 6b ) =5(3a – 2b)(2a+3b) 2 d) x +Bx+C Üç Terimlisinin Çarpanlara Ayrılması Bu tür ifadeleri çarpanlara ayırırken üçüncü terim olan C’den faydalanırız. Örnek: 2 1. x – 7x+12 = (x – 3)(x – 4) x -4 x -3 2 2. x – x – 12 = (x – 4)(x+3) x -4 x +3 2 3. x – 4x – 12 = (x – 6)(x+2) x -6 x +2 2 4. x +8x+12 = (x+2)(x+6) x +2 x +6 60 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 5. ÇÖZÜMLÜ TEST 1. 9abc 2 2. x 2 - ax + bx - ab : B) b C) c D) 1 a E) 2 A) x-a x-b D) c2 6. x = 4 x a C) E) x+a x-a bx a 5 + 1 olduğuna göre, 4 3 A) C) m x+a x-b 2 x – 4x +6x – 4x+1 ifadesinin değeri kaçtır? aşağıdakilerden hangisidir? m2 B) n B) 1 mn2 - mn n 2 + 2n + 1 ifadesinin sadeleşmiş hali . mn + m n2 - 1 m A) n ifadesinin en sade şekli aşağı- dakilerden hangisidir? 3c 2 ifadesinin en sade şekli aşağıda12a 2bc 3 4ac kilerden hangisine eşittir? A) a x 2 + ax + bx + ab 5 B) 5 C) 2 5 D) 15 E) 25 2 D) n E) n 2 2 7. x +y – 4x – 6y+13 = 0 olduğuna göre, 2 3. 4x +mx+9 ifadesi bir tam kare ise m nin negatif x+y toplamı kaçtır? değeri kaçtır? A) -12 B) -10 C) -8 D) -6 E) -4 B) 12 C) 16 D) 20 B) 2 2 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. 16x +10xy=9y eşitliğinde x değeri aşağıdakilerden 4. 1002.998 – 1004.996 işleminin sonucu kaçtır? A) 8 A) 1 hangisi olabilir? E) 24 A) - 8 9 B) 8 9 C) 7 9 61 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. D) - 9 8 E) 9 8 9. a3 + 8 a2 - 9 3a2 - 6a + 12 . 2 : 2a - 6 a + 3a + 2 5a + 5 ifadesinin en 4 ve a2 b2 13. (a b)2 sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? 6 olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır? a+2 A) 3 b+4 B) 5 7a + 4 3 D) 5a + 15 C) 6 E) A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) 4 4b + a 6 14. a R olmak üzre; 2 10. m +mn – 3m – 3n = 9 denklemini sağlayan kaç tane 5.a a2 ).( 5 a) (5 (m,n) ikilisi vardır? 5 5 27 olduğuna göre; a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 A) 3 p 11. 1+ p r r - 1- . r p B) 2 D) -2 E) -3 p2 - r 2 ifadesinin en sade biçimi p.r 15. m3 m 3 n 3 : m 2 aşağıdakilerden hangisidir? olduğuna göre; A) -2r C) 1 B) -2p C) 2r D) 2p E) p.r A) 4 B) 3 4 m2 mn n2 4 5 n kaçtır ? m C) 1 4 D) 1 4 E) 4 12. x > 0 olmak üzere, x2 - 4 x2 . x x2 + 2 = olduğuna göre, 3x + 2 x 16. x2 2x 6 0 denkleminin bir kökü a olduğuna göre; (a 2)(a 1)2 (a 4) çarpımı kaçtır? x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 A) 14 E) 1 62 B)12 C)-8 D)-12 E) -14 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 2 ÇÖZÜMLER 2 9abc 2 2 12a bc 2 x – 4x+4+y – 6y+9 = 0 2 3 : 2 (x – 2) +(y – 3) = 0 3 1. 2 7.x +y – 4x – 6y+13 = 0 Üssü çift olan ifadeler negatif değer alamaya-cağı 1 3c 2 9abc 2 4ac = = 2 . 4ac c 12a 2bc 3 3c 2 3 Yanıt: E için bu iki tam kare ifade de 0 a eşittir. x – 2 = 0 ve y – 3 = 0 x=2 ve y = 3 bulunur. x+y = 2+3 = 5 olur. Yanıt: E mn2 - mn n 2 + 2n + 1 . mn + m n2 - 1 2. = mn(n - 1) (n + 1) 2 = n bulunur. . (n - 1)(n + 1) m(n + 1) Yanıt: D 2 2 2 2 8.16x +10xy = 9y 16x +10xy – 9y = 0 8x +9 2x -1 2 3.4x +mx+9 ifadesinin tam sayı belirtebilmesi ve m nin negatif olabilmesi için 9’un negatif tam kare (8x+9)(2x – 1) = 0 1 9 x= ve x = bulunur. 8 2 çarpanı bulunur. Yanıt: D 2 4x +mx+9 2x -3 2x -3 2x.(-3) + 2x.(-3) = -12x m = -12 9. Yanıt: A a3 + 8 a2 - 9 3a2 - 6a + 12 . 2 : 2a - 6 a + 3a + 2 5a + 5 a 3 + 2 3 (a - 3)(a + 3) 5(a + 1) . . 2(a - 3) (a + 2)( a + 1) 3(a 2 - 2a + 4) 4.1002.998 – 1004.996 (1000+2).(1000 – 2) – (1000+4).(1000 – 4) 2 2 (1000 – 4) – (1000 – 16) 2 2 1000 – 1000 – 4+16 = 12 bulunur. = Yanıt: B = 5. (a + 2)(a 2 - 2a + 4) (a + 3) 2 . 5 . (a + 2) 3(a 2 - 2a + 4) 5a + 15 5a + 15 = olur. 2.3 6 Yanıt: C x 2 + ax + bx + ab x 2 - ax + bx - ab x ( x b ) a( x b ) = x( x b) - a(x b) ( x a)(x b) ( x - a)(x b) x a x-a 2 10. m +mn – 3m – 3n =9 m(m+n) – 3(m+n) = 9 (m+n)(m – 3) = 9 9 u çarpanlarına ayırırsak; 9, 3, 1, -1, -3, -9. 6 farklı değer aldığı için (m, n) ikilisi 6 farklı değer alır denir. Yanıt: E Yanıt: C 6.x = 4 4 5 +1 3 2 x – 4x +6x – 4x+1 = (x – 1)4 ( 4 5 + 1 - 1) 4 = (4 5 )4 = 5 bulunur. Yanıt: B 63 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. p 11. 1 = r - . p r 1r p p 5 a2 ).( 5 a) 14. (5 p2 -r 2 p.r 5 5 27 sol tarafa çarpma işlemi yapalım r (p-r)(p r) . r p p-r p.r r p - 5 5 5a 5 5 3 3 a a p.r p.r (p-r)(p r) . = p r p-r p.r 5a2 5a a 5 5 5a2 5 5 27 27 27 3 Yanıt: E 1 1 (p-r)(p r) . = p.r p r p-r p.r = a3 p-r-(p r) (p-r)(p r) . (p-r)(p r) 1 = p – r – p – r = -2r olur. 15. Yanıt: A m3 m x2 - 12. 4 . x2 x x2 + 2 = 3x + 2 x m m n m 2 1 : m (m n) (m x2 - 2 x2 + 2 x x2 + 2 . . = x x 3x + 2 x x2 -2 3x 2 n 2 m2 mn n2 2 m3 2 x x2 + 2 x+ = x 3x + 2 x 2 xx 3 x – 2 = 3x+2 4n 2 4 5 2 4 5 . (m2 mn n2 ) mn n ) 5m n m 4m 4n 1 4 2 Yanıt: C x – 3x – 4 = 0 x -4 x +1 m 2 (x – 4)(x+1) = 0 x = 4 ve x = -1 16. x2 2x 6 0 denkleminin bir kökü a ise; a2 2a 6 0 x > 0 olduğu için x = 4 bulunur. Yanıt: B a2 13. (a b)2 4 ve a2 b2 a2 2ab b2 4 a2 b2 4 2ab 6 2ab 2ab ab 2a 6 (a 2)(a 1)2 (a 4) 6 (a 2).(a 4).(a 1)2 çarpma ve tam kare alma yapalım, (a2 4a 2a 8).(a2 2a 1) (a2 2a 8).(a2 2a 1) (6 8).(6 1) ( 2).7 14 E Yanıt: 4 2 1 Yanıt: B 64 4 5 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 5. ORAN – ORANTI x y z = = = k ise, a b c x = a.k, y = b.k, z = c.k Tanım: x, y reel sayılardan en az birinin sıfırdan farklı olmak koşulu ile x ifadesine, x in y ye göre oranı denir. y a c = =k b d 7. a c = =k b d 8. a c e = = =k b d f x ve y aynı birim olmalıdır. ORANTI a2 c2 = = k2 b2 d2 6. a.c = k2 b.d Tanım: İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. a c = = k eşitliğine ikili orantı, b d a c e = = = k eşitliğine üçlü orantı denir. b d f a+c+e =k b+d+ f k değeri sabi orantıdır. a. c . e 3 =k b. d . f ORANTININ ÖZELLİKLERİ ORANTILI ÇOKLUKLAR 1. Bir orantıda içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir. a c = b d a.d = c.b A) Doğru Orantılı Çokluklar İki çokluktan biri artarken veya azalırken, diğeri de orantılı biçimde artıyor veya azalıyorsa bu iki çokluğa doğru 2. Bir orantıda içler ve dışlar yer değiştirebilir. a c = b d d c = b a a c = b d a b = c d orantılı çokluk denir. y =k x y = k.x şeklinde ifade edilir. Grafiği bir doğru belirtir. _ a c 3. = b d _ _ _ I I I I I I I I I _I I I I I I I I I I I _ -5 5 -2 _ _ _ _ a c +1 = +1 b d 2 a+b c +d dir. = b c 4. a 0, b 0 olmak üzere, x z = =k y t x, y, z sayıları sırası ile a, b, c ile doğru orantılı ise, ax + bz =k ay + bt x y z = = = k dır. a b c 65 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. B) Ters Orantılı Çokluklar Geometrik Ortalama İki çokluktan biri artarken diğeri ona bağlı olarak orantılı n tane sayının çarpımının n. kuvvetten köküne bu şekilde azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri orantılı şekil- sayıların geometrik ortalaması denir. de artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir. a1, a2, a3, … ,an x ile y ters orantılı ise, G.O = k x.y =k veya y = x Grafiği bir eğri belirtir. x, y, z sayıları sırası ile a, b, c ile ters orantılı ise, a.x = b.y = c.z = k veya x y z = = = k dır. 1 1 1 a b c C) Bileşik Orantı İkiden fazla çokluğun bulunduğu orantılara bileşik orantı denir. Bileşik orantıda aynı anda doğru ve ters orantılı çokluklar olabilir. a sayısı b ile doğru c ile ters orantılı ise, b .k a= dir. c Aritmetik Ortalama n tane sayının toplamının n sayısına bölünmesi, bu sayıların aritmetik ortalamasını verir. a1, a2, a3, … ,an A.O = a1 + a 2 + a 3 + ... + a n dir. n 66 n a1 .a2 .a3 . ... .an dir. Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLÜ TEST 1 1 1 1 + + = olduğuna göre, x y z 8 5. ax=by=cz = 120 ve 1. Yaşları 3, 4 ve 6 olan üç kardeşe 52 TL yaşları ile a+b+c toplamı kaçtır? orantılı olarak dağıtılıyor. En fazla alan kardeş kaç TL almıştır? A) 9 2. A) 13 B) 15 C) 18 D) 20 B) 15 C) 17 D) 19 E) 21 E) 24 6. x, y, z negatif tamsayılardır. x y z = = olduğuna göre, 4 3 5 x 4 y 2 = , = iken, y 5 z 3 aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? x+y+z = 66 ise; y+z toplamı kaçtır? A) 30 3. B) 35 C) 36 D) 50 A) y > x > z E) 52 B) y > z > x D) z > x > y a c = b = ve 3a+2b – c = 40 olduğuna göre, a+b – c 2 3 7. C) x > y > z E) z > y > x x y = = 4 , x = y+60 olduğuna göre; x kaçtır? y z toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 A) 70 E) 4 B) 75 C) 80 D) 85 E) 90 8. x, y, z pozitif tamsayılar 4. 5x = 4y = z olduğuna göre, a 4 3a + b = olduğuna göre, oranı kaçtır? b 7 2a A) 19 8 B) 3 C) 21 8 D) 5 x+y+z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? E) A) 29 29 8 B) 30 C) 31 67 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. D) 32 E) 33 9. İki basamaklı xy, yz ve zx sayılarının aritmetik 13. 5 traktör 15 dönüm toprağı 3 günde sürerse, 4 ortalaması 33 dür. traktör 20 dönüm toprağı kaç günde sürer? Buna göre, x+y+z toplamı kaçtır? A) 1 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 E) 12 10. 700 gramı 3,85 TL olan zeytinin 400 gramı kaç 14. x sayısı y+1 ile doğru, 2y ile ters orantılıdır. TL’dir? x = 2 iken y = 3 tür. x = 6 iken y değeri kaçtır? A)1,2 B) 1,5 C) 1,8 D) 2 E) 2,2 A) 11. Bir dağcı kampında 30 günlük yiyecek vardır. Kamp- 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 5 E) 1 15. x ile y’nin aritmetik ortalaması 15, y ile z’nin aritme- tan 4 kişi ayrılınca yiyecek 45 gün yetecektir. tik ortalaması 12, x ile z’nin aritmetik ortalaması 9 Buna göre kampta kaç kişi vardır? ise, x, y, z nin aritmetik ortalaması kaçtır? A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 A) 4 12. 25 kişilik bir sınıfın not ortalaması 3’tür. 10 kişinin not ortalaması 2, 5, 9 kişinin not ortalaması 4 olduğuna göre, geri kalanın not ortalaması kaçtır? A) 1 B) 4 3 C) 5 3 D) 2 E) 7 3 68 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 5. ax = by = cz = 120 ÇÖZÜMLER a b c = = = 120 1 1 1 x y z 1. Üç kardeş x, y, z ise, x y z = = =k 3 4 6 a+b+c = 120 1 1 1 + + x y z x = 3k, y = 4k, z = 6k x+y+z = 52 3k+4k+6k = 52 z = 6k 13k = 52 k=4 a+b+c = 120. z = 6.4 = 24 TL bulunur. 1 8 a+b+c = 120 1 8 a+b+c = 15 bulunur. Yanıt: B Yanıt: E - 6. x, y, z Z 2. x 4 y 2 = , = y 5 z 3 x y z = = = -k 4 3 5 y’ler ortak olduğu için y değerini eşitleyelim. y > x > z bulunur. x 4 2 = . y 5 2 x 8 = y 10 y 2 5 = . z 3 5 y 10 = z 15 x = -4k, y = -3k, z = -5k Yanıt: A Not: Negatif sıralama, pozitif sıralamanın tam tersidir. x = 8k, y = 10k, z = 15k x+y+z = 66 7. 8k+10k+15k = 66 33k = 66 k=2 x 4 y 4 = , = iki eşitlikteki y’leri eşitlersek, y 1 z 1 x 16 y 4 = , = y 4 z 1 y = 20 ve z = 30 y+z = 20+30 = 50 bulunur. x = 16k, y = 4k, z = k olur. Yanıt: D x = y+60 16k = 4k+60 12k = 60 k=5 3. a c = b = = k ise, 2 3 x = 16k = 16.5 = 80 bulunur. Yanıt: C a = 2k, b = k, c = 3k 3a+2b – c = 40 3.2k+2.k – 3k = 40 + 5k = 40 8. x, y, z Z k=8 5x = 4y = z = k a = 16, b= 8, c = 24 k k x = , y = , z = k olur. 5 4 a+b – c = 16+8 – 24 = 0 bulunur. Yanıt: A x+y+z = k k 29k + +k = bulunur. 5 4 20 En küçük değer alması için k = 20 olmalı 4. a 4 = b 7 a = 4k, b = 7k x+y+z = 29 olur. Yanıt: A 3a+b 3.4k + 7k 19k 19 = = = bulunur. 2a 2.4k 8k 8 Yanıt: A 69 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 9. xy + yz + zx = 33 3 13. 11(x+y+z) = 99 15 dak 20 dak 5 tak 4 tak 10x+y+10y+z+10z+x = 99 3 gün x gün x+y+z = 9 bulunur. Yanıt: B I II III I. yi kapatalım II ve III’ü karşılaştıralım. 15 dönüm 20 dönüm 3 gün x gün T.O II.yi kapatalım I ve IIIü karşılaştıralım. 10. 700 gram 400 gram x= 3,85 TL x TL 400.3,85 700 5 traktör 4 traktör 3 gün x gün x = 2,2 TL D.O x.4.15 = 20.3.5 x = 5 gün (Biri azalırken diğeri de azaldığı için doğru orantı vardır.) Yanıt: E Yanıt: E 14. x = 11. x kişi x – 4 kişi 30 gün 45 gün k.( 3 1) x = 6 ve k = 3 yazılarak y değeri bulunur 2.3 4k = 12 k=3 2= 30.x = 45.(x – 4) 30x = 45x – 180 15x = 180 k.( y 1) x =2 ve y = 3 yazılarak k değeri bulunur 2y 6 x = 12 bulunur. (Kişi sayısı azalırken gün sayısı artmıştır. Bu yüzden ters 3.(y 1) 2y 9y = 3 orantı kullanılmıştır.) y= 12y 3y 3 1 bulunur. 3 Yanıt: B Yanıt: B x+y = 15 x+y = 30 2 y+z = 12 y+z = 24 2 x+z =9 x+z = 18 2 Taraf tarafa toplarsak; 15. 12. Not toplamı = Not ortalaması Sinif Mevcudu 10.(2,5)+ 9.4 + 6.x =3 25 25+36+6x = 75 6x = 14 2x+2y+2z = 72 x+y+z = 36 7 x= bulunur. 3 x + y + z 36 = = 12 bulunur. 3 3 Yanıt: E Yanıt: E 70 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLÜ TEST SAYI VE KESİR PROBLEMLERİ 1. Hangi sayının Sayı problemlerini çözerken, denklemin doğru kurulması 2 3 ünün inin 6 fazlası, o sayının 2 ka3 5 tından 90 eksiktir. gerekir. Bu sayı kaçtır? Matematik Diline Çevirme A) 60 B) 56 C) 50 D) 45 E) 40 Herhangi bir sayı x olsun. 4 4x 4 = x Bir sayının katı : 5 5 5 Bir sayının 3 katının 5 fazlası : 3x+5 3 3(x + 7) Bir sayının 7 fazlasının ü : 4 4 Herhangi iki sayı x ve y olsun. 2. Deniz ile Nazım’ın paraları toplamı 90 TL’dir. Deniz’in İki sayının toplamı : x+y 2 İki sayının kareleri farkı : x – y parası Nazım’ın parasının 2 katından 30 TL eksiktir. 2 Nazım’ın parası kaç TL’dir? İki sayıdan I.nin üç katı ile II.sinin 2 katı farkı : 3x – 2y A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 biçiminde matematik diline çevirerek denklem kuru-lur ve problem çözülür. Örnek: 3 i 48 olan sayı kaçtır ? 5 3. Bir adamın 25 Kr, 50 Kr ve 1 TL’den oluşun 47 tane 3 x. = 48 Þ 3x = 240 Þ x = 80 5 madeni parası vardır. 50 Kr’nin sayısı 25 Kr’nin sayısının yarısıdır. Toplam para 23 TL ise, kaç tane 1 TL vardır? Örnek: A) 9 Hangi sayının 3 katının 5 fazlasının yarısı 16 dır? 3x 5 2 3x 16 27 3x 5 x 1 6 D) 12 E) 13 9 4. 37 kişilik bir sınıftan 2 erkek, 3 kız öğrenci ayrıldığın- 2 1 Hangi sayının ile sinin farkı 6 dır? 3 2 x. C) 11 32 Örnek: 2 x 3 B) 10 1 x 2 6 6 x 2 x.( 3 (2) 1 ) 2 da, kızların sayısı erkeklerin sayısının 3 katı oluyor. Başlangıçta bu sınıfta kaç kız öğrenci vardır? 6 A) 19 (3) B) 23 C) 25 36 71 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. D) 26 E) 27 da, her sorunun değeri 4 puandır. Tüm soruları ya- 2 ini, 5 nıtlayan bir öğrenci toplam 280 puan aldığına göre, sonra günde 12 km yol yürüyerek kalan kısmı bu öğrencinin kaç sorusu doğrudur? bitiriyor. 5. 3 yanlışın 1 doğruyu götürdüğü 90 soruluk bir sınav- 9. Ulaş günde 10 km yol yürüyerek bir yolun Ulaş, yolun tamamını 36 günde bitirdiğine göre, A) 65 B) 70 C) 72 D) 75 6. Yeşim bir sınavdaki soruların doğru, E) 80 yolun 3 ü kaç km’dir? 4 A) 300 B) 320 C) 350 D) 400 E) 420 2 inin 10 fazlasını 5 1 ünün 4 eksiğini yanlış yapmış ve 10 soruyu 3 10. 3 5 i su dolu bir bidonun ağırlığı 22 kg’dır. Suyun u 5 9 boş bırakmıştır. döküldüğünde bidonun ağırlığı 12 kg gelmektedir. Bu sınavda kaç soru sorulmuştur? Buna göre, boş bidonun ağırlığı kaç kg gelmektedir? A) 60 B) 64 C) 68 D) 70 A) 2 E) 72 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 7. 5 adım ileri, 2 adım geri atarak yürüyen bir adam 11. 20 kişilik bir öğrenci grubu geziye gidecekleridir. toplam 160 adım atmıştır. Aralarından 5 kişi geziye katılamayınca, geri kalanları Bu kişi başladığı noktadan kaç adım ileri gitmiştir? 10 TL daha ücret ödüyorlar. A) 60 B) 70 C) 75 D) 80 Buna göre, geziye ödenen ücret kaç TL’dir? E) 85 A) 500 8. bir öğretmen maaşının nın B) 600 C) 650 D) 675 E) 750 3 ini ev kirasına, kalan para8 3 ünü mutfak masrafına, kalan paranın yarısını 4 12. Bir parça telin ucundan da taksitlere vermiştir. Cebinde 100 TL kaldığına göre, bu öğretmenin 1 i kesilince orta nokta 4 cm 8 kayıyor. Telin uzunluğu kaç cm’dir? maaşı kaç TL’dir? A) 1080 B) 1180 D) 1400 A) 56 C) 1280 E) 1420 72 B) 58 C) 60 D) 62 E) 64 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLER 4. 37 kişinin x tanesi kız ise, 37 – x tanesi erkektir. 2 erkek ayrılırsa: 37 – x – 2 = 35 – x 1. Sayı x olsun. 2 2 2 3 2x Sayının ünün i , x. . = 3 5 3 5 5 6 fazlası: 3 kız ayrılırsa: x – 3 3(35 – x) = x – 3 105 – 3x = x – 3 108 = 4x x = 27 tane kız öğrenci bulunur. 2x +6 5 Yanıt: E Sayının 2 katının 90 eksiği: 2x – 90 2x + 6 = 2x – 90 5 2x+30 = 10x – 450 480 = 8x 5. 90 sorunun x tanesi doğru ise, 90 – x tanesi yanlıştır. 90 - x 3 yanlış 1 doğruyu götürürse, net sayısı x 3 x = 60 bulunur. Yanıt: A olur. Her doğru soru 4 puan ise, 4. x - 90 - x =280 3 2. Nazım’ın parası: x ise, Deniz’in parası: 90 – x’tir. N D x 90 –x x- 90 - x = 70 3 3x – 90 + x = 210 4x = 300 x = 75 olur. Deniz’in parası Nazım’ın parasının 2 katından 30 Yanıt: D eksik ise, Deniz’in parası: 2x–30 dur. 2x – 30 = 90 – x 3x = 120 x = 40 bulunur. Yanıt: D 6. Soru sayısına x dersek, 2x + 10 Doğru cevap: 5 Yanlış cevap: 3. x tane 50 Kr varsa, x -4 3 Boş soru: 10 2x tane 25 Kr vardır. 47 – 3x tane 1 TL = 100 Kr vardır. Hepsinin toplamı soru sayısı olan x’ e eşitlenir. x.50+2x.25+(47 – 3x)100 = 2300 2x x + 10 + - 4 +10 = x 5 3 50x+50x+4700 – 300x = 2300 4700 – 2300 = 200x 2400 = 200x x = 12 6x +150+5x – 60+150 = 15x 47 – 3.12 = 11 tane 1 TL vardır. 240 = 4x x = 60 olur. Yanıt: C Yanıt: A 73 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 10. 7. 5 adım ileri, 2 adım geri toplam 7 adım atıyor. 7 adımda 3 adım ilerliyor. 3x 5 160 adımda kaç tane 7 adım var bulmak için 160’ı 7’ye böleriz. 160 -14 20 -14 6 7 22 3x + y = 22 kg ( 1 ) 5 3x 5 in u dökülüyor. 5 9 3x 5 x . = dökülen su 5 9 3 3x x 9x - 5x 4x - = = kalan su 5 3 15 15 4x + y = 12 ( 2 ) 15 7x22 = 154 7 adımda 3 adım ileri giderse 154 adımda 3.154 x= = 66 7 x adım ileri gider 4x m y = -12 15 3x + y = 22 5 160’ı 6’ya böldüğümüzde 6 kalmıştı. Bunun anlamı 6 - adım arttığıdır. 6 adımda 5 adım ileri gitti 1 adım geri geldi. Yani 4 adım ilerlemiş oldu. 66+4 = 70 adım ilerlemiş oldu. Yanıt: B 1 ve 2 yi ortak çözelim (y’yi yok edelim) 3x 4x = 10 Þ 9x - 4x = 150 5 15 8. Paydamız 8 olduğu için bir bütünü 8 eş parçaya 5x = 150 x = 30 kg bölelim. x x Ev kirası x x x y y Mutfak masrafı Her kalan yeni bir bütündür. x x 3.30 + y = 22 5 x y 5x = 4y Yanıt: C z z 11. Kişi başına x TL ödeniyorsa, toplam 20x TL ödenir. 5 kişi ayrılınca 15 kişi, 15.(x+10) TL ödenir. y = 2.100 = 200 TL 5x = 4.200 y = 4 kg bulunur. y z = 100 TL cebinde kalan para y = 2z y suyun ağırlığına x, bidonun ağırlığına y diyelim. 20x = 15(x+10) x = 160 TL 20x = 15x+150 Başlangıçtaki parası 8x olduğuna göre, 5x 150 Yanıt: B Yanıt: C 9. Yolun tamamı x km olsun. 2x km’yi günde 10 saat gidecek, 5 2x 3x 5 = y günde, 5 = 36–y günde yürümüş olur. 10 12 2x 1 x y= . = 5 10 25 y= 30 Toplam ödenecek para: 20.30 = 600 TL 8.160 = 1280 TL bulunur. 36 – y = x 12. Bir telin sa, telin 1 i kesildiğinde orta nokta a kadar kayıyorx 1 i 2a birim kadardır. x 1 i 2.4 = 8 cm ise tamamı 8x8 = 64 cm’dir. 8 3x 1 x . Þ = 36 - y 5 12 20 Yanıt: E x x , y = 36 25 20 x x x x = 36 Þ 36 = + 25 20 25 20 Denklemini çözersek, x = 400 km bulunur. Yanıt: D 74 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 3. Anne ile oğlunu yaşları toplamı 70’tir. Anne oğlu- YAŞ PROBLEMLERİ nun yaşında iken oğlu 5 yaşındaydı. Buna göre annenin bugünkü yaşı kaçtır? Yaş problemlerini de sayı problemleri gibi düşünebiliriz. A) 45 B) 47 C) 48 D) 50 E) 52 Yaş Problemlerinde Dikkat Edilecek Noktalar 1) İki kişinin yaşları farkı sabittir. 2) Herkes aynı sayıda yaşlanır. 3) Yaşların oranı veya toplamı yıllara göre değişir. 4. Baba ve annenin yaşları 4 ve 3 ile doğru, çocukları- 4) n kişinin yaşları toplamı x ise, nın yaşı 2 ile ters orantılıdır. Üçünün yaşları topla- t yıl sonra x+n.t olur. mı 60 ise, çocuk bugün kaç yaşındadır? t yıl önce x – n.t olur. 5) A doğduğunda B’nin yaşı denilince B–A verilmiş A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 demektir. 5. Yeşim annesinin ÇÖZÜMLÜ TEST 1 4 ü , ablasının i yaşındadır. Ablası 4 5 doğduğunda annesi 33 yaşında olduğuna göre, Ye1. Baba ile oğlunu yaşları toplamı 60’tır. 5 yıl önce ba- şim bugün kaç yaşındadır? banın yaşı oğlunu yaşının 3 katından 2 eksiktir. Babanın bugünkü yaşı kaçtır? A) 38 B) 40 C) 42 A) 9 D) 44 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 E) 45 6. Dedenin yaşı xy iki basamaklı sayısıdır. Torununun yaşı ise, dedenin yaşının rakamları toplamıdır. Dede torununun yaşının 6 katı ise, dede bugün kaç yaşındadır? 2. Bir annenin yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının 3 A) 72 katından 5 fazladır. B) 63 C) 60 D) 54 E) 50 5 yıl sonra annenin yaşı çocukların yaşları toplamının 2 katı ise, anne ile çocukların yaşları toplamının farkı kaçtır? A) 25 B) 27 C) 28 D) 30 7. Bugünkü yaşları 3 ve 4 ile orantılı olan iki kişinin 6 E) 32 yıl sonra yaşları 4 ve 5 ile orantılı olacaktır. Buna göre, bu kişilerin yaşları farkı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 75 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. D) 3 E) 2 4. Kişilerin yaşları sıra ile a, b, c olsun. ÇÖZÜMLER b a c = = = k , a+b+c = 60 4 3 1 2 1. Babanın yaşı: x 5 yıl öce yaşları; a+b+c 60 =kÞ =k 1 15 3+ 4 + 2 2 BABA OĞLU (x – 5) k = 8 bulunur. Oğlunun yaşı: 60–x’tir. (60–x)–5 a = 3k = 3.8 = 24 b = 4k = 4.8 = 32 x–5 = 3(55–x)–2 x–5 = 165–3x–2 4x = 168 c= x = 42 bulunur. k 8 = = 4 yaşındadır. 2 2 Yanıt: C Yanıt: B x 4 4y Ablasının yaşı y ise, yeşim’in yaşı: dir. 5 x 4y 16y x= = dir. 5 4 5 Anne abladan 33 yaş büyük ise, x = y+33 16y = y + 33 Þ 16y = 5y + 165 5 11y = 165 y = 15 ablanın yaşı 4y 4.15 = = 12 bulunur. Yeşim: 5 5 5. Annenin yaşı x ise, Yeşim’in yaşı: 2. Çocukların yaşları toplamı: x Annenin yaşı: 3x+5 5 yıl sonra; Çocukların yaşları toplamı: x+10 Annenin yaşı: 3x+5+5 = 3x+10 2(x+10) = 3x+10 2x+20 = 3x+10 x = 10 olur. Yanıt: D Annenin yaşı: 3.10+5 = 35 Yaşları farkı: 35 – 10 = 25 bulunur. Yanıt: A 6. Dedenin yaşı xy ise, Torunun yaşı: x+y dir. xy = 6(x+y) 10x+y = 6x+6y 4x = 5y x = 5 ve y = 4 dır. Dede 54 yaşında, torun 4+5 = 9 yaşındadır 3. Anne x Oğlu 70 – x 70 – x 5 Yanıt: D Bugünkü yaşları Anne oğlunun Yaşında iken 7. I. kişi x, II. Kişi y yaşında olsun. x 3 x+6 4 = , 6 yıl sonra = dır. y 4 y+6 5 4x = 3y 5x+30 = 4y+24 x = 3k 5.3k+30 = 4.4k+24 y = 4k k = 30 – 24 = 6 Yaşları farkı sabittir. Geçen zamanlar eşittir. x–(70–x) = (70–x)–5 x–70+x = 70–x–5 2x–70 = 65–x 3x = 135 x = 45 olur. x = 3.6 = 18 y = 4.6 = 24 Yaşları farkı: 24 – 18 = 6 olur. Yanıt: A Yanıt: A 76 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 3. Bir x sayısı y sayısının %25’ine eşit ise, y sayısı x YÜZDE PROBLEMLERİ sayısının yüzde kaçına eşittir? A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500 Yüzde Kavramı Bir A sayısının %x’ini bulmak için, A. x A.x = işlemi 100 100 yapılır. Örnek: 40’ın %30’u nedir? 30 40. = 12 dir. 100 4. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları %20 azaltıldığında hacmi yüzde kaç azalır? Hangi sayının %30’u 12’dir? 30 x. = 12 30.x = 1200 x = 40 olur. 100 A) 42,2 B) 44,3 C) 45,6 D) 47,8 E) 48,8 40 sayısının yüzde kaçı 12’dir? 40. x = 12Þ 100 40x = 1200 x = 30 bulunur. 5. Ali elindeki bilyelerin %30’unu Nazım’a verirse, kalan bilyeleri Nazım’ın bilyelerinin yarısına eşit oluyor. Başlangıçta Nazım’ın bilyeleri Ali’nin bilyelerinden yüzde kaç fazladır? ÇÖZÜMLÜ TEST A) 10 1. %40’ı 48 olan sayının %3’ü kaçtır? A) 3,6 B) 3,8 C) 4 D) 4,2 C) 21 D) 24 D) 25 E) 30 6. Hangi sayının %30’unun 24 fazlası, o sayının ise, gözlüklü erkek öğrenciler sınıfın yüzde kaçıdır? B) 18 C) 20 E) 4,4 2. Bir sınıfın %60’ı erkektir. Erkeklerin %30’u gözlüklü A) 15 B) 15 %15’inin 60 fazlasına eşittir? E) 27 A) 210 B) 230 C) 240 77 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. D) 300 E) 320 ÇÖZÜMLER 4. Dikdörtgenler prizmasının tüm boyutlarını 10 br olarak alalım. Hacim = H = a.b.c 1. Sayı x olsun. 40 x. = 48 100 120. 3 Hacim = 10.10.10 = 1000 br x = 120 bulunur. Boyutlarını %20 azaltırsak yeni boyutlar: 20 10. = 2 br, 10 – 2 = 8 br olur. 100 3 = 3,6 olur. 100 Yeni hacim = H1 = 8.8.8 = 512 br Yanıt: A 3 H – H1 = 1000 – 512 = 488 br3 azalır. 488 48,8 = = %48,8 bulunur. 1000 100 Yanıt: E 2. Sınıf mevcudu verilmemiş. Sınıf mevcudunu 100 5. Ali’nin bilye sayısı 100 ve Nazım’ın bilye sayısı x kabul ettiğimizde, erkek öğrenci sayısı 60 olur. bu 60 olsun. kişinin %30’u gözlüklü olduğuna göre, 30 60. = 18 erkek öğrenci gözlüklüdür. 100 100 – 30 = 70 Ali’nin kalan bilye sayısı Nazım’ın son bilye sayısı x+30 olur. 1 70 = (x + 30). 2 Sınıftaki öğrenci sayısı 100 gözlüklü erkek öğrenci sayısı da 18 olduğuna göre, gözlüklü öğrenciler, 140 = x+30 sınıfın %18’ini oluşturur. x = 110 (Nazım’ın bilye sayısı) Nazım’ın bilye sayısı, Ali’nin bilye sayısının %10 Yanıt: B fazlasıdır. Yanıt: A 25 100 a y = x. 100 3. x = y. 100.4x = a.x x= y 4 y = 4x 6. Sayıya x dersek, 30 15 x. + 24 = x. + 60 100 100 100y = x.a a = 400 30x+2400 = 15x+6000 y sayısı x sayısının %400’üne eşittir. 15x = 3600 Yanıt: D x = 240 olur. Yanıt: C 78 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 4. Bir malın etiket fiyatı üzerinden %20 indirim yapılıp, KAR-ZARAR PROBLEMLERİ daha sonra bu fiyat üzerinden %20 zam yapıldığında, bu malın yeni etiket fiyatı için ne söylenebilir? Bir malın alış fiyatı ile satış fiyatı arasındaki fark pozitif ise A) %4 kar kar, negatif ise zarar olur. B) %4 zarar D) %2 zarar Kar problemleri Zarar problemleri Maliyet=100x Maliyet=100x Kar yüzdesi =%y Zarar yüzdesi=%y ise 100x.%y=x.y 100x.%y=x.y Satış fiatı= 100x+x.y Satış fiatı = 100x-x.y C) ne kar ne zarar E) %2 kar 5. Bir satıcı 10 düzine bardak almış ve bunların %20’sini kırmıştır. Geri kalan bardakları % kaç kar ile satarsa, %20 kar elde edilir? A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 ÇÖZÜMLÜ TEST 1. %30 zararla 630 TL’ye satılan bir mal, %30 kar ile kaç TL’ye satılır? A) 900 B) 1070 C) 1170 D) 1250 6. %20 zararla satılan bir maldan %20 kar elde etmek E) 1275 için satış fiyatına yüzde kaç zam yapılmalıdır? A) 40 B) 50 C) 55 D) 60 E) 64 2. %30 kar ile satılan bir mal, etiket fiyatı üzerinden 7. Bir satıcı elindeki bardakların tanesini 2,5 TL ye sa- 175 TL indirim yapılırsa %5 zarar ediyor. Bu malın tarsa 40 TL zarar, 5 TL’ ye satarsa 260 TL kar elde maliyet fiyatı nedir? ediliyor. Buna göre satıcı elindeki bardakları %20 A) 450 B) 500 C) 550 D) 600 kar ile satarsa, kaç TL kar elde eder? E) 650 A) 48 B) 58 C) 68 D) 78 E) 88 8. Etiket fiyatı üzerinden %30 indirimle satılan bir mal, bu fiyata %10’luk ikinci bir indirim daha uygulayarak 3. Bir malın etiket fiyatı üzerinden %30 indirim yapıldığı halde %12 kar elde ediliyor. Etiket fiyatı üzerinden malı 126 TL’ye satıyor. yüzde kaç kar elde ediliyor? Bu malın etiket fiyatı kaç TL’dir? A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 A) 150 E) 90 B) 180 C) 190 79 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. D) 200 E) 25 ÇÖZÜMLER 5. 10x12 = 120 tane bardak almış. 20 120. = 24 tanesi kırılmış. 100 1. Malın maliyeti 100x olsun. %30 zararla 70x satılır. 120 – 24 = 96 tane bardak kalmış Tanesini 10 Kr almış olsak, 100x TL mal 70x satılırsa Kaç TL mal (A) 630 TL’ye satılır. 120.10 = 1200 maliyet 20 1200. = 240 kar elde etmeli bardaklar kırıl100 masaydı. 630.100x = 70x.A 1200+240 = 1440 Kr satılacaktı. 1440 = 15 Kr 96 A = 900 TL (Malın maliyeti) 900x%30 = 270 Tanesi 15 Kr satılırsa %50 kar ile satılmalıdır. 900+270=1.170 TL’dir. Yanıt: C Yanıt: D 6. Malın maliyet fiyatı 100x ise, 100x – 20x = 80x satılır. 2. Malın maliyeti 100x olsun. %20 zamlı fiyatı: 100x +20x = 120x %30 kar ile 130x’e satılır. 175 TL indirimle %5 zarar ediyor. 95x’e satılır. 130x – 175 = 95x 35x = 175 x=5 Maliyet 100x idi. 100.5 = 500 TL’dir. 80x TL mal 120xTL satılırsa 100x TL mal kaça (A) satılır. 80x.A = 120x.100 Yanıt: B A = 150 TL %50 zam yapılmalıdır. Yanıt: B 3. Bu tür soruları şıklardan giderek çözmek daha kolay olur. 7. Satıcı x tane bardak almış olsun. maliyeti bulalım. Malın maliyetini 100 TL kabul edelim. 2,5.x+40 = 5.x – 260 %50 kar ile 150 TL’ye satılır. 30 150. = 45 TL kar. 100 150 – 45 = 105 300 = 2,5x x = 120 tane bardak almış Maliyet: 2,5.120 +40 = 340 TL’dir. 20 340. = 68 TL kar elde edilir. 100 %5 kar (yanlış) %60 kar ile 160 TL’ye satılır. 30 160. = 48 160 – 48 = 112 100 Yanıt: C %12 kar elde edilmiştir. Doğru cevap %60 olur. 8. Etiket fiyatı 100 olsun. Yanıt: B %30 indirim, 100 – 30 = 70 olur. Tekrar %10’luk indirim yapılırsa, 10 70. =7 100 4. Malın etiket fiyatı 100x olsun. %20 indirim 100x – 20x = 80x 70 – 7 = 63 TL satılır. 80x’e %20 zam yapılırsa, 20 80x. = 16x zam yapılır. 100 100 TL mal (A) kaç TL mal 80x+16x = 96x satılır. 63 TL satılırsa 126 TL’ye satılır. 100.126 = 63.A 100x – 96x = 4x zarar A = 200 TL bulunur. %4 zarar olur. Yanıt: D Yanıt: B 80 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net II. YOL: FAİZ PROBLEMLERİ A+F = A. 1 + n 100 1800+F = 1800. 1 + Bankaya yatırılan bir miktar paraya bir süre sonra ödenen fazla paraya faiz denir. 1800+F = 1800. A = Anapara 13 10 t 30 100 2 2 1800.169 100 1800+F = 3042 F = 1242 TL’dir. 1800+F = F = Faiz t = Zaman n = Faiz oranı 100 A 1 yıl t n F A.n.t (yıllık faiz) 100 A.n.t F= (aylık faiz) 1200 A.n.t F= (haftalık faiz) 5200 A.n.t F= (günlük faiz) 36000 F= Bileşik Faiz: Faize yatırılan para, her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar faize yatırılması ile elde edilen toplam faize bileşik faiz denir. Bileşik faiz: A+F = A. 1+ n 100 t formülü ile bulabiliriz. Örnek: 1800 TL yıllık %30’dan bileşik faiz ile bankaya yatırılıyor. İki yılın sonunda toplam ne kadar faiz alınır? Çözüm: I. YOL: 1800.30.1 = 540 100 1800+540 = 2340 TL 2340.30.1 = 702 TL II. yıl gelen faiz: F = 100 Toplam faiz: 540+702 = 1242 TL’dir. I. yıl gelen faiz: F = 81 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. ÇÖZÜMLÜ TEST 4. İlknur elindeki parasını %25’den basit faize yatırmıştır. Bu parayı yıllık %35’den basit faize yatırsaydı bir yılda 1200 TL fazla para alacaktı. 1. 700 TL yıllık %25 den basit faize 3 yıllığına yatırılıyor. Buna göre İlknur’un bankaya yatırdığı para kaç 3 yıl sonra toplam para kaç TL’dir? A)1000 B) 1150 D) 1225 TL’dir? C) 1175 A) 12000 E) 1250 B) 12500 D) 14000 C) 13000 E) 16000 5. Arzu 3600 YTL’sini 8 ay bankaya yatırarak 720 TL faiz almıştır. Arzu parasını % kaç faizden bankaya yatırmıştır? 2. 3000 TL’nin bir kısmı %30’dan 8 ay, kalan kısmı %40’dan 9 ay faize yatırılıyor ve toplam 800 TL faiz A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40 alınıyor. %30’dan faize verilen para kaç TL’dir? A) 1000 B) 1500 D) 2000 C) 1750 E) 2250 6. Bankaya basit faiz ile yatırılan bir miktar paranın 25 ay sonra kendisinin 4 ü kadar faiz getirmesi için, 3 yıllık faiz oranı yüzde kaç olmalıdır? A) 48 B) 50 C) 64 D) 70 E) 72 3 i %20’den 4 ay bankaya yatırı5 lıyor ve 100 TL faiz alınıyor. 3. Bir miktar paranın Buna göre paranın tamamı kaç TL’dir? A) 1500 B) 2000 D) 2400 7. 4500 TL’nin bir kısmı %30 faiz oranı ile bankaya C) 2200 yatırılıyor. 8. ayın sonunda paranın kalan kısmı kadar E) 2500 faiz alınıyor. Buna göre alının faiz kaç TL’dir? A) 750 82 B) 700 C) 650 D) 600 E) 500 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 4. İlknur’un parası A’dır. ÇÖZÜMLER A.25.1 5A F1 = 100 20 A.35.1 7A = F2 = 100 20 7A 5A = 1200 F2 – F1 = 1200 20 20 F1 = A.n.t 1. F = (yıllık faiz) 100 700.25.3 = 525 TL F= 100 700+525 = 1225 TL bulunur. 2A = 24000 Yanıt: D A = 12000 TL’dir. Yanıt: A 5. A = 3600 TL t = 8 F = 7200, n = ? A.n.t F= 1200 2. 3000 YTL’nin bir kısmı x ise, kalan kısmı 3000 –x ’dir. x.30.8 (3000 - x).40.9 F1 = , F2 = 1200 1200 7200 = 3600.n.8 1200 n = 30 Para %30’dan bankaya yatırılmıştır. F1+F2 = 800 24x (3000 - x).36 + = 800 120 120 Yanıt: D 24x+108000 – 36x = 96000 12x = 12000 x = 1000 TL’dir. Yanıt: A 6. Bir miktar para A 4A Faiz = , t = 25 ay, n = ? 3 F= A.n.t 1200 4A A.n.25 4 n = = 3 1200 3 48 n = 64 Para %64 ise faize verilmiştir. 3. Bir miktar para A olsun. A.n.t F= (aylık faiz) 1200 3 A.20.4 = 100 F= 5 1200 Yanıt: C 48A = 120000 7. 4500 TL’nin x kısmı bankaya yatırılıyor. F = 4500 – x x.30.8 = 4500 - x F= 1200 A = 2500 TL olur. Yanıt: E x = 4500 - x x = 22500 - 5x 5 6x = 22500 x = 3750 TL Alınan faiz: 4500 – 3750 = 750 TL’dir. Yanıt: A 83 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. KARIŞIM PROBLEMLERİ 1. Şeker oranı %20 olan 50 gr şekerli suyun şeker oranını %50 yapmak için ne kadar şeker ilave ederiz? Karışım: İki veya daha fazla çözeltilerin homojen olarak karıştırılması ile elde edilen yeni çözeltidir. A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 Karışım problemlerinde de yüzde problemlerinde kullanılan formüller kullanılır. Saf madde miktarı Karışım oranı = Karışım miktarı Tuz miktarı: x Su miktarı: y 2. Tuz oranı %25 olan 400 gr tuzlu suya tuz oranı %50 x x+y y Karışımın su oranı = x+y Karışımın tuz oranı = olan bir miktar tuzlu su karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz oranı %40 olduğuna göre, kaç gr tuzlu su karıştırılmıştır? Saf madde seçimi probleme göre değişir. A) 600 Tuz oranı %a olan x gramlı tuzlu su ile tuz oranı %b olan B) 550 C) 500 D) 450 E) 420 y gram tuzlu su karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz oranı %c ise, %a x + %b y = %c (x+y) 3. Şeker oranı %20 olan 900 gr şekerli sudan ne kadar x. buharlaştıralım ki şeker oranı %60 olsun? a b c + y. = (x + y). 100 100 100 ax+by = (x+y).c eşitliği ile tüm karışım problemi çözülür. A) 500 B) 580 C) 600 D) 620 E) 650 4. Hacimce %25i alkol olan 600 gramlık alkollü suyun %20si dökülüyor. Yerine aynı miktarda su ilave ediliyor. Yeni karışımın alkol oranı yüzde kaçtır? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 5. 440 gramlık una ne kadar şeker karıştıralım ki yeni karışımın şeker oranı %12 olsun? ÇÖZÜMLÜ TEST 84 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 1. Saf maddeyi şeker olarak alalım. %20 50 %100 x + %50 (50+x) = 20.50+100.x = 40(50+x) 1000+100x = 2500+50x 6. Şeker oranı %30 olan 350 gr un-şeker karışımına 70 50x = 1500 x = 30 gr gr daha un karıştırılıyor. Yanıt: B Yeni karışımın un oranı yüzde kaçtır? A) 65 B) 70 C) 75 D) 80 E) 85 2. Saf madde tuz olsun. 25.400+50.x = 40.(400+x) 10000+50x = 16000+40x 10x = 6000 x = 600 gr 7. Alkol oranı %30 olan x gr karışım ile alkol oranı %50 Yanıt: A olan y gr karışım karıştırılarak alkol oranı %40 olan yeni karışım elde ediliyor. x Buna göre oranı kaçtır? y A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Saf madde şeker olsun. %20 900 _ %0 x = %60 (900–x) 18000 = 54000 – 60x 8. %40 şeker olan 800 gramlık karışımın bir miktarı 60x = 36000 dökülüyor, yerine aynı miktarda şeker ilave edilerek x = 600 gr. şeker oranı %76 olan bir karışım elde ediliyor. Yanıt: C Buna göre, dökülen miktar kaç gramdır? A) 380 B) 400 C) 420 D) 450 E) 480 ÇÖZÜMLER 4. Saf madde alkol olsun. 85 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 400 gramlık karışımın %20si dökülüyor., %80i kalıyor. %30 80 600. = 480 gr kalan 100 x %50 + y %40 = x+y 120 gr dökülüyor, yerine 120 gr su ilave ediliyor. 30.x+50.y = 40.(x+y) %25 %0 480 + %x 120 = 50y – 40y = 40x – 30x 10y = 10x y = x bulunur. 600 x = 1 olur. y Yanıt: A 12000 = 600x x = 20 Yeni karışımın alkol oranı %20’dir. Yanıt: D 8. Şeker saf madde olsun. 800 gramlık karışımdan x gram dökülünce 5. Saf madde şeker x olsun. %100 x 800–x gram kalır. %0 + 440 = %x %40 440+x 800-x %100 + x %76 = 800 100x = 12(440+x) 100x = 5280+12x 40.(800–x)+100x = 76.800 88x = 5280 32000 – 40x+100x = 60800 x = 60 gr şeker katılmalıdır. 60x = 28800 Yanıt: E Yanıt: E 6. Saf madde un olsun. %30 şeker ise %70 i undur. %70 350 %100 + 70 %x = x = 480 gr bulunur. 420 70.350+100.70 = 420x x = 75 olur. un oranı %75 bulunur. Yanıt: C 7. Alkol saf madde olsun. 86 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net Dairesel bir pist üzerinde ve bir A noktasından V1 ve V2 hızları ile iki hareketli a) Ters yönde hareket ediyor ve t zamanda B’de karşılaşıyorsa, dairenin çevresi “Ç” olmak üzere; Ç = V1.t+V2.t = t(V1+V2) dir. HAREKET PROBLEMLERİ Sabit bir V hızı ile t zamanda X kadar yol alan bir hareketli için; b) Aynı yönde hareket ediyor ve hızlı olanı bir tur attıktan sonra diğerine t zamanda yetişiyor ise, V1 > V2 ve dairenin çevresi “Ç” olmak üzere; Ç = V1.t – V2.t = t(V1 – V2) dir. Yol = Hız x Zaman X= V.t bağıntısı vardır. Hareket problemlerinin çözümü için bazı kurallar vereceğiz. ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1. Kural (Karşılıklı Hareket) A ve B noktalarından karşılıklı hareket ediliyor ve C noktasında karşılaşılıyor ise, 1. V1 V2 A C V1 A V1 noktasında yakalıyor. A) A B C V2 D Şekildeki A ve C noktalarından aynı anda karşılıklı hareket ederlerse 3 saat sonra B noktasında karşılaşıyorlar. Aynı yönde hareket ederlerse, A’dan hareket eden C’den hareket edeni 8 saat sonra D 2. Kural (Aynı Yönde Hareket) V1 > V2 olmak üzere, iki araç A ve B noktalarından aynı anda, aynı yönde hareket ederler ve hızlı olan t zaman sonra C noktasında yakalar ise, V2 B B AB = V1.t+V2.t = t.(V1+V2) dir. V1 V2 11 5 B) 5 11 C) V1 oranı kaçtır? V2 8 11 D) 11 8 E) 3 8 C AB = AC - BC AB = V1.t – V2.t = t.(V1 – V2) dir. 2. Bir otomobil A kentinden B kentine 80 km hızla gidip, 70 km hızla dönmüştür. Toplam 9 saatte gidip döndüğüne göre, AB kaç km’dir? 3. Kural (Ortalama Hız) Bir araç x 1 km yolu V1 hızı ile t1 zamanda, x 2 km yolu V2 hızı ile t2 zamanda alıyorsa, x 1+ x 2 kmlik yolun ortalama hızı; toplam yol x x2 A) Vort = = 1 toplam zaman t1 t 2 B) Vort = A) 320 B) 336 C) 340 D) 360 E) 380 2.V1.V2 formülü ile de bulunabilir. V1 V2 4. Kural (Tren–Tünel) x birim uzunluğundaki bir tren, y birim uzunluğundaki bir tüneli veya bir köprüyü t zamanda geçiyorsa, x+y = V.t 3. Saatteki hızı 60 km/sa olan 300 m uzunluğundaki bir tren 2700 m uzunluğundaki bir köprüyü kaç dakikada geçer? 5. Kural (Bağıl Hız) Bir hareketlinin hızını, olumlu veya olumsuz yönde etkileyen güçtür. Bir nehrin akıntı hızı, rüzgarın esme hızı gibi. Nehirde hareket eden bir hareketlinin (hareketli V1, nehrin hızı V2 ise) a) Akıntı yönünde: V1+V2 b) Akıntıya karşı: V1 – V2 dir. A) 1 B) 2 C) 2,5 6. Kural (Dairesel Hareketler) 87 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. D) 3 E) 3,5 4. Bir geminin durgun sudaki hız saatte 30 mildir. Akıntı hızı saatte 5 mil olan bir nehirde, 3 saatte en çok kaç mil gidilip gelinebilir? ÇÖZÜMLER 1. V1 A) 43,5 B) 43,75 C) 44 D) 44,25 E) 44,5 V2 A V1 5. K L 50 km M 40 km B) 320 C) 340 B) 50 C) 52 D (karşılıklı hareket) AC = 3.(V1+V2) (aynı yönde hareket) AC = 8.(V1 – V2) Alınan yollar eşit olduğu için; 3.(V1+V2) = 8.(V1 – V2) x km D) 360 3V1+3V2 = 8V1 – 8V2 V1 11 = dir. V2 5 11V2 = 5V1 Yanıt: A E) 380 2. Toplam gidiş-dönüş 9 saat ise, AB yolunu t saatte giderse, AB yolunu (9 – t) saatte döner. AB =80.t AB = 70.(9 – t) 80t = 630 – 70t 150t = 630 t = 4,2 saatte gitmiş. AB = 80.4,2 = 336 km’dir. Yanıt: B 6. Bir hareketli A noktasından B noktasına saatte 60 km hızla gidip, B’den A’ya saatte 40 km hızla geri dönüyor. Bu hareketlinin ortalama hızı saatte kaç km’dir? A) 48 C V2 N KL = 50 km, LM = 40 km, MN = x km K ve M kentinden aynı anda karşılıklı hareket eden iki hareketli L kentinde, aynı anda aynı yönde hareket ettiklerinde k’dan hareket eden M’den hareket edeni N kentinde yakalıyor. Buna göre MN kaç km’dir? A) 300 B D) 54 E) 56 3. TREN 300 m KÖPRÜ 2700 m Alınan toplam yol = 2700+300 = 3000 m 1 saat 60 dakika 7. Bir kenarı 100 m olan kare şeklindeki bir pistte hızları V ve 3V olan iki hareketli, aynı anda, ayı noktadan, aynı yöne hareket ediyor. Buna göre, hızlı giden yavaş gideni 3. kez yakaladığında kaç metre yol koşmuş olur? A) 1200 B) 1250 D) 1350 60 dakikada 1 dakikada 60000 m yol alırsa x m yol alır. 60000.1 =1000 m yol alır. 60 3000 : 1000 = 3 dakikada köprüyü geçer. Yanıt: D x= C) 1300 E) 1400 Not: Tren problemlerinde saati dakika veya saniyeye, kilometreyi de metreye çevirmek gerekir. 4. Akıntı yönündeki hızı = 30+5 = 35 m Ters yöndeki hızı = 30 – 5 = 25 m Toplam 3 saatte gidip gelecekti. x saat akıntı yönünde, 3 – x saat de ters yönde giderse, alınan yollar eşit. AB = 35.x , AB = 25.(3 - x) 8. Bir araç saatteki V hızı ile A-B arasını 8 saatte alıyor. V Bu araç, yolun yarısını hızı ile diğer yarısını da 2 2V hızı ile giderse yolun tamamını kaç saatte alır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 35x = 75 – 25x 75 5 x= = saat. 60 4 E) 11 AB = 35. 5 175 = = 43,75 km’dir. 4 4 Yanıt: B 88 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 5. Kullanılan zamanlar birbirine eşit V1 V2 K 50 km L 40 km KL V1.t ML 50 V1 KL t V2 .t t x km N 50 V1 V1 V1 V2 40 V2 M ML Aynı zaman birimde, V = 100 m yol alır. 3V = 300 m yol alır. 50 dır. 40 Sabit hızlarla hareket eden iki hareketlinin eşit sürede aldıkları yolların oranı, hızlarının oranına eşittir. 90+x = V1.t1 KN = V1.t1 90 + x t1 = V1 t1 = 90 x V1 V1 V2 x V2 I. karşılaşmada V = 200 m yol aldığında 3V = 600 m yol alır ve C noktasında karşılaşılır II. karşılaşma aynı şekilde A noktasında meydana gelir III. karşılaşmada C noktasında olur ve 600 = 1800 m yol almış olur. Yanıt: D x V2 90 x olur. x ve nin eşitliğinden 50 90 x 5x 360 4x 40 x 8. x= 360 km t1 AB 60 x 60 AB x 40 40 2x Vort = x x x x t1 t 2 60 40 Vort = 2x 2x. 120 48 km olur. 5x 5x 120 AB 40.t 2 t2 V B AB = 40.8 = 320 km olsun. 160 = 8 saatte. Yarısını (160 km’yi) t = 20 160 = 2 saatte alır. (2V hız ile 80 km) kalan yarısı ise t = 80 Toplam zaman = 8+2 = 10 saat bulunur. Toplamyol Ortalama hız = Toplamzaman 60.t1 C I. Yol: Aracı normal V hızı ile AB = 8.V yol alır. Bu tür sorularda hız belli olmadığı için hıza kendimiz değer verelim. V V = 40 km olsun. ( = 20 km olur.) 2 I. Yol AB V 2 A Yanıt: D 6. B V 3V 40 V2 V2 MN = V2.t1 100 m V A II. Yol: AB =8.V idi. II. Yol: AC V .t1 2 AC BC t1 2V.t 2 2 AC V t2 Vort = 2.V1.V2 2 AC AC t1 + t 2 = + V 2V Vort = 2.60.40 = 48 km bulunur. 60 + 40 t1 + t 2 = V1 + V2 Yanıt: A BC 2V 5 AC 2V AB 8 V = = 4 V dir. 2 2 5.4V t1+t2 = = 10 saat olur. 2V AC = Yanıt: D 7. D C 89 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 5. Bir işi üç usta 12 günde, aynı işi iki kalfa 48 günde bitiriyor. 5 Aynı işin ini bir usta ile bir kalfa beraber 8 çalışarak kaç günde bitirebilir? İŞÇİ – HAVUZ PROBLEMLERİ İşçi-havuz problemleri ters orantılı problemlerdir. Daima birim zamanda yapılan iş bulunur. A) Bir işçi bir işi x zamanda yaparsa birim zamanda 1 iş 180 11 B) 90 11 C) 93 11 D) 90 11 E) 80 11 x yapar. Bir musluk bir havuzu y zamanda dolduruyorsa, bir birim zamanda 1 birimini doldurur. 1 ünü bitiryor. 4 Yurdakul hızını yüzde kaç arttırırsa, işi 16 günde bitirir? y 6. Yurdakul 12 gün çalışarak bir işin Birinci işçi bir işi x zamanda, ikinci işçi aynı işi y zamanda ve ikisi beraber aynı işi t zamanda yapıyorsa 1 + 1 = 1 eşitliği kurulur. x y t A) 40 B) 50 C) 55 D) 60 E) 70 ÇÖZÜMLÜ SORULAR 2 1 ünü 12 saatte, Şule aynı işin ünü 3 4 3 saatte yapabilmektedir. Serap tek başına 6 saat çalıştıktan sonra kalan işin ikisi birlikte kaç saatte yaparlar? 7. Aynı kapasitede 12 musluk boş bir havuzu dolduracaktır. Muslukların hepsi aynı anda açılıyor. 2 saat sonra musluklardan 4 ü, 3 saat sonra ise 3 tanesi daha kapatılıyor. Açık kalan musluklar havuzu 6 saatte doldurduğuna göre, hepsi birlikte bu havuzu kaç saatte doldurur? 1. Serap bir işin A) 3,2 B) 3,6 C) 4,2 D) 4,8 E) 5,2 A) 7,5 B) 30 7 C) 15 4 D) 8 3 B) 8 C) 10 D) 12 A) 3 B) 3,4 C) 3,6 D) 4 E) 5 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 9. Boş bir havuzu %20lik tuzlu su akıtan A havuzu 4 saatte, %40lık tuzlu su akıtan B musluğu 6 saatte dolduruyor. İki musluk aynı anda açılıyor. Havuz dolduğunda tuz oranı yüzde kaç olur? A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28 E) 14 10. Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanmaya başlıyor. Mumlardan biri 8 saatte, diğeri 12 saatte tamamen yandığına göre, kaç saat sonra boylarının 3 oranı olur? 4 4. Aynı nitelikte iki işçi bir işi 4 saatte yapıyor. I. işçi hızını yarıya düşürür, II. İşçi hızını 2 katına çıkarırsa, bu iş kaç saatte biter? A) 3,2 D) 5,5 E) 2 3. Ali bir işi yalnız başına, Kamil’den 4 saat daha az sürede bitiriyor. İkisi beraber bu işi 3 saat 45 dakikada bitirdiklerine göre, Kamil tek başına bu işi kaç saatte bitirir? A) 6 C) 6 8. Aynı nitelikte çalışan 8 işçi bir işi 10 günde bitiriyor. Bu işçiler 6 gün beraber çalıştıktan sonra bir kısmı işten ayrılıyor. Kalan iş 8 günde bittiğine göre, kaç işçi işten ayrılmıştır? 2. Eş kapasiteli üç musluk boş bir havuzu 4 saatte dolduruyorlar. Birinci musluğun akan su miktarı %40 azaltılır, ikinci musluğun akan su miktarı %20 arttırılırsa, bu üç musluk boş havuzu kaç saatte doldurur? A) 5 B) 6,5 E) 4,2 A) 1 90 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 3. Ali işi x saatte, Kamil işi x+4 saatte bitiriyor. 15 3 saat 45 dakika saat olur. 4 ÇÖZÜMLER 1. Serap işin 2 x 3 12 2 3 x ünü 12 saatte yaparsa, tamamını: 1 1 1 + = x x + 4 15 4 x 4 x 4 x 2 4x 15 18 günde 1 Şule ünü 3 günde yaptığına göre, tamamını 12 4 2x 4 x 2 4x 4 15 2 4x +16x = 30x+60 günde yapar. Serap 6 gün çalışarak işin 2 2 4x –14x–60 = 0 1 ünü bitiriyor. Kalan işi 3 2x –7x–30 = 0 (2x+5)(x–6) = 0 2 12 günde yapar. Şule kalan işi, 12. = 8 günde 3 x 1 1 5 yapar. İkisi beraber bir günde işin; ünü + = 12 8 24 Kamil işi 6+4 = 10 saatte bitirir. - 5 , 2 x=6 yaparlar. Yanıt: C Tamamını ise, 24 5 4,8 günde yaparlar. Yanıt: D 4. Aynı nitelikte iki işçi işi 4 saatte bitirir. I. işçi hızını yarıya düşürürse, işi 16 saatte II. işçi hızını 2 katına çıkarırsa, işi 4 saatte bitirir. İkisi 2. 3 musluk 4 saatte doldurursa, 1 musluk 4.3 = 12 saatte doldurur. Bir musluk saatte 10 lt su akıtır. 40 = 4 , 10–4 = 6 lt su akıtır. I. musluk 10. 100 20 = 2 , 10+2 = 12 lt akıtır. II. musluk 10. 100 I. 10 lt su akıtarak 6 lt su akıtarak 10.12 = 6.x beraber, 1 16 1 4 1 x 5 16 1 x x x = 3,2 saat olur. Yanıt: A 12 saatte doldurursa x saatte doldurur. x = 20 saatte doldurur. II. 10 lt su akıtarak 12 lt su akıtarak 12 saatte doldurursa x saatte doldurur 10.12 = 12.x x = 10 saatte doldurur. 5. 3 usta 12 günde yaparsa, 1 usta: 3.12 = 36 günde yapar. 2 kalfa 48 günde yaparsa, 1 20 1 10 28x = 120 1 12 1 x x= 1 x 1 kalfa: 2.48 = 96 günde yapar. 1 96 28 120 30 saatte doldurur. 7 Yanıt: B x= 1 36 1 x 1 x 11 288 288 5 olur. işin i ise, 8 11 288 5 180 gün olur. . = 11 8 11 Yanıt: A 91 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 16 saat 5 9. Havuzun hacmi 4 ve 6 nın ortak katı olan 60 lt olarak 1 ü biterse, tamamı 4 6. 12 günde işin alalım. 4.12 = 48 günde biter. 48 – 12 = 36 günlük iş kaldı. Normal çalışma hızına V dersek, A musluğu saatte 60 = 15 lt su akıtır. 4 B musluğu saatte 60 = 10 lt su akıtır. 6 V hızla 36 günde yaparsa İkisi beraber havuzu, x.V hızla 24 günde biter 1 6 V.36 = x.V.24 36 3 150 x= 24 2 100 %50 arttırılır. Yanıt: B 1 4 1 x x 12 saatte doldurur. 5 A musluğu 12 .15 = 36 lt su akıtır. 5 B musluğu 12 .10 = 24 lt su akıtır. 5 720+960 = 60x 60x = 1680 x = 28 Havuzun tuz oranı %28’dir. 7. Bir musluk birim zamanda x kadar su doldurursa, 12 Yanıt: E musluk birim zamanda 12x su doldurur. 2 saat beraber akarsa 2.12x = 24x 12 – 4 = 8 musluk kaldı. 8 musluk 3 saatte 3.8x = 24x 8 – 3 = 5 musluk kaldı. 5 musluk 6 saatte 6.5x = 30x Toplam = 24x+24x+30x = 78x 10. I. mum 8 saatte tamamen yanarsa, 1 saate Havuz 78x su ile doldu. 12 musluk = 78x 12x 6,5 saatte doldurur. saatte Yanıt: B 8. 8 işçi 10 günde bitiriyor. 6 gün çalışınca geriye 10–6 = 4 günlük iş kaldı. 4 günde bitirirse 8 – x işçi kalan işi 8 günde bitirir. 4.8 = (8 – x).8 32 = 64 – 8x x=4 4 işçi ayrılıyor. t yanar. 12 t t ve 1 dir. 8 12 t 8 t 112 3 4 4- 4t 8 4–3= 2t t 4 4 t 4 saat sonra boylarının oranı 1= 8x = 32 ise t 4 3- 3t 12 olur. Yanıt: D Yanıt: B 92 1 ,t 12 Kalan kısım 1 - 1- 8 işçi kalan işi t yanar. 8 II. mum 12 saatte tamamen yanarsa, 1 saatte saatte 1 , t 8 3 4 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net I. kutuya 0 gelemeyeceği için 6 rakam, II. kutuya, bir tanesi birinci kutuda olmak üzere, 0 dahil toplam 6 rakam yazılabilir. III. kutuya da 2 rakam kullanıldığı için geriye kalan 5 rakam kullanılır. PERMÜTASYONKOMBİNASYON-OLASILIK PERMÜTASYON e) 1) Genel Çarpma Kuralı 3 A Ø, B Ø olmak üzere, s(AxB) = s(A).s(B) özelliğinden yararlanılarak yapılan saymadır. B = 3.6.5 = 90 tane 5 400 den büyük bir sayı oluşturmak için I. kutuya ,4, 5, 6rakamları getirilir. II. kutuya 6 rakam, III. kutuya da kalan 5 rakamı kullanırız. Örnek: A kentinden B kentine 3, B kentinden C kentine 4 farklı yol vardır. A’dan C’ye, B’ye uğramak koşulu ile kaç farklı yoldan gidilebilir? Çözüm: A 6 f) Birler basamağıne ,0, 2, 4, 6- rakamları gelir. 0 hem çift rakam hem de başa gelemez. I. Yol: Tüm çift ( 0 dahil) sayılardan, yüzler basamağı 0 olan sayıları çıkartırsak, 0 ile başlamayan çift sayıları elde ederiz. C s(AxB) = 3.4 = 12 farklı yolla gidilir. 6 Örnek: Ali 5 pantolon, 4 gömlek ve 3 kravatı kaç farklı biçimde kullanabilir? Çözüm: s(P) = 5, s(G) = 4, s(K) = 3 s(PxGxK) = 5.4.3 = 60 farklı şekilde kullanabilir. 5 - 4 1 5 3 = 120 – 15 = 105 tane çift sayı elde edilr. II. Yol: Önce birler basamağı 0 olan sayıları bulalım. = 30 6 5 1 Örnek: A = ,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6- kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı, a) Kaç farklı sayı yazılabilir? b) Kaç farklı 5e bölünebilen sayı yazılabilir? c) Kaç farklı çift sayı yazılabilr? d) Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? e) Rakamları farklı 400 den büyük kaç sayı yazılır? f) Rakamları farklı kaç çift sayı yazılır? g) Rakamları farklı, 5 e bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir? Çözüm: a) Rakamları farklı demiyor. Kutu yöntemi le çözelim. Birici kutuya 0 rakamı gelmez, geriye kalan 6 rakamın hepsi gelebilir. II. ve III. kutuya 0 da gelebilir. = 6.7.7 = 294 tane 6 7 7 Birler basamağı 2,4,6 olan çift sayılar = 75 5 5 3 75+30 = 105 tane çift sayı elde edilir. g) Birler basamağı 0 veya 5 olmalı I. Yol: Birler basamağı 0 olsun. = 30 tane birler basamağı 5 olan 6 5 1 5 5 1 = 25 tane (0 başa gelmeyen) 30+25 = 55 tane sayı elde edilir. II. Yol: 6 5 b) 5 e bölünmesi için birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır. = 6.7.2 = 84 tane 6 7 2 2 - 1 5 1 60 – 5 = 55 bulunur. 3 basamaklı 5 e bölünebilen tüm sayılardan (0 dahil), 0 ile başlayıp 5 ile biten sayılar çıkartılıncı 5 e bölünebilen 3 basamaklı sayılar bulunur. c) Birler basamağına ,0, 2, 4, 6- rakamları gelir. = 6.7.4 = 168 tane 6 7 4 d) rakamları birbirinden farklı dediği için = 6.6.5 = 180 tane 6 6 5 PERMÜTASYON 93 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. n ≥ r ve n,r N için, n elemanlı bir kümenin r tane elemanının r li sıralanışlarının her birine n elemalı r li permütasyon denir. n! P(n,r) = formülü ile bulunur. (n - r)! + 1. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} rakamları bir kez kullanılarak 1 ve 7 nin bulunduğu 3 basamaklı kaç farklı sayı elde edilir? A) 30 Örnek: 7 kişilik bir yarışma grubunda birinci, ikinci ve üçüncü kç farklı şekilde oluşur? Çözüm: n = 7, r = 3 n! 7! p(n, r) = p(7,3) (n-r)! (7-3)! 7.6.5.4! = 210 biçimde oluşur. p(n, r) = 4! 6 5 C) 40 D) 45 E) 50 2. 4 matematik, 3 fizik, 2 biyoloji kitabı, matematikler yan yana olmak koşuluyla bir rafa kaç farklı şekilde dizilir? Bu problem kutu yöntemi ile de çözülebilir. 7 B) 35 A) 16790 B) 16900 C) 17280 D) 18970 E) 19450 = 7.6.5 = 210 farklı biçimde Tekrarlı Permütasyon n tane elemanın, r elemanlı permütasyonları alınırken, r1 tane aynı tür eleman r2 tane aynı tür eleman r3 tane aynı tür eleman r1+r2+r3+… = n olmak üzere, 3. 0, 1, 2, 4, 5, 7 rakamları bir kez kullanarak 5 basamaklı kaç tane 3 ile başlayıp 5 ile biten sayı elde edilir? n! farklı biçimde sıralanır. r1!. r2 !. r3 !... A) 32 Örnek: MARMARAM sözcüğünden 8 harfli anlamlı anlamsız kaç sözcük elde edilir? Çözüm: 3 tane M 3 tane A 2 tane R harfi bulunuyor. 8! = 140 tane sözcük elde edilir. 3!.3!.2! B) 28 C) 24 D) 20 E) 16 4. 6 kişilik bir ailede, anne ile baba yan yana gelmemek koşulu ile yuvarlak bir masaya kaç farklı biçimde oturulabilir? Dönel Permütasyon Birbirinden farklı n tane elemanın kapalı eğri etrafındaki sıralanışıdır. A) 72 B) 86 C) 90 D) 96 E) 102 1) Kapalı eğri üzerinde bir eleman sabit tutulur. n elemanın sıralanış sayısı: (n–1)! dir. 2) Halka biçimindeki anahtarlık üzerinde n tane anahta(n - 1)! rın sıralanışı: (Anahtarlık ters çevrilebilir.) 2 5. Rakamlarının sayı değerlerinin çarpımı 420 olan 4 basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılır? A) 32 ÇÖZÜMLÜ TEST 94 B) 36 C) 40 D) 44 E) 48 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLER KOMBİNASYON n, r 1. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 1 ve 7 nin içinde bulunduğu 3 basamaklı sayı {1, 7, 3}, {1, 7, 2}, {1, 7, 4}, {1, 7, 5}, {1, 7, 6} 5 farklı kümemizden 3! 3! = =6 n = 3, r = 3 p(3, 3) = (3 - 3)! 0! N ve 0 r n olmak üzere, n elemanlı bir küme-nin r elemanlı alt kümelerinin her birine, n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonu denir. C(n, r) veya 5.6 = 30 bulunur. n r n! (n-r)!.r! Uyarı: Kombinasyon gruplama (alt küme) demektir. Yanıt: A (Sıralama önemli değildir.) Permütasyon seçilen grupların sıralanışıdır. 2. 4 matematik, 3 fizik, 2 biyoloji Matematik kitapları yan yana olacağı için onu bir kabul ederiz. 4m = 1 1+3+2 = 6 kitap var. p(6, 6) . 4! = 720.24 = 17280 dır. Yanıt: C (Sıralama önemlidir.) Örnek: 7 kişilik bir gruptan 3 kişilik çalışma grubu kaç değişik şekilde seçilir? 4!, matematik kitaplarının kendi aralarındaki diziliş sayısı. Çözüm: n = 7, r = 3 C(n, r) = 3. 0, 1, 2, 4, ,5 ,7 Kutu yöntemi le bu problemi çözelim. 1 4 3 2 3 1 C(7, 3) = 7 3 n! (n - r)!.r! 7! (7-3)!.3! 7. 6 .5. 4! 4!.3! = 4.3.2 = 24 olur. 35 farklı biçimde seçilir. 5 Yanıt: C 4. 6 kişi yuvarlak masaya (6–1)! = 120 farklı biçimde oturur. Anne ve babayı yanyan düşünelim. A.B = 1 ve 4 kişi daha 1+4 = 5 (5–1)!.2! = 4!.2 = 48 anne ve babanın yan yana oturma sayısı 120–48 = 72 anne ve babanın yan yana olmama durumu. Yanıt: A 5. 420 yi asal çarpanlarına ayıralım. 420 = 22.3.5.7 Rakamları çarpımı 420 olan, 2, 6, 5, 7 n = 4, r = 4 ve 4, 3, 5, 7 dir. n = 4, r = 4 2.p(4, 4) = 2.4! = 48 tane sayı elde edilir. Yanıt: E 95 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 35 ÇÖZÜMLÜ TEST ÇÖZÜMLER 1. 10 erkek arasından 2 kişi 10! 10.9 = = 45 farklı, C(10, 2) = 8!.2! 2 12 kız arasından 2 kişi 12! 12.11 C(12, 2) = = = 66 farklı kişi seçilir. 10!.2! 2 C(10,2).C(12, 2) = 45.66 = 2970 farklı biçimde seçilir. Yanıt: A 1. Bir sınıfta 10 erkek, 12 kız öğrenci arasından 2 kız, 3 erkek öğrenci kaç farklı biçimde seçilir? A) 2970 B) 2880 D) 2780 C) 2780 E) 2680 2. 8 kişi, 4 sandalyeye kaç farklı biçimde oturur? A) 1500 B) 1560 D) 1620 2. Önce 8 kişiden kaç tane 4 kişilik grup oluşur onu bulalım. 8 8! 8.7.6.5. 4! 1680 70 4 (8-4)!.4! 24 4!. 4! C) 1600 E) 1680 4 kişi 4 sandalyeye p(4, 4) farklı biçimde oturur. 70.p(4, 4) = 70.4! = 70.24 = 1680 bulunur. Yanıt: E 3. 8 elemanlı bir kümenin 2 ve 2 den az elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 37 B) 36 C) 35 D) 33 E) 32 3. 8 elemanlı kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı: 8! 8.7 = = 28 C(8, 2) = 6!.2! 2 Bir elemalı alt küme sayısı: c(8, 1) = 8 Boş küme: C(8, 0) = 1 28+8+1 = 37 bulunur. Yanıt: A 4. Bir çember üzerindeki 8 noktadan kaç üçgen geçer? A) 48 B) 56 C) 58 D) 60 E) 62 4. Üç nokta bir üçgen belirtir. 8! 8.7.6 = = 56 tane üçgen olur. C(8, 3) = 5!.3! 3.2 Yanıt: B 5. 12 kişilik bir gruptan 2 kişisi belli olan 6 kişilik kaç farklı çalışma grubu seçilir? A) 150 B) 160 C) 200 D) 210 5. 12 kişiden 2 kişi belli ise, geriye 10 kişi kalır. 10 kişiden 4 kişi seçilir. E) 220 C(10, 4) = 10! 10.9.8.7 = = 210 farklı çalışma 6!.4! 4 . 3 .2 grubu seçilir. Yanıt: D 96 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net OLASILIK P(A∩B) = P(A).P(B) dir. Olasılık kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Bir olayın olabilme durumunu hesaplar. Olasılıkta iki temel unsur vardır. Bunlar deney ve olaydır. Bir parayı havaya atmak deney, yazı veya tura gelmesi olaydır. Yapılan bir deneyde muhtemel bütün olayları gösteren bir kümeye örnek uzay (evrensel küme) denir ve E ile gösterilir. Bir A olayının olasılığı P(A) ile ifade edilir. Bir olayın olasılığı 0 ≤ P(A) ≤ 1 arasındadır. P(A) = 1 ise, olay kesin olur, P(A) = 0 ise, olay imkansızdır. Bir olayda, olayın eleman sayısının evrensel kümenin (örnek uzayın) eleman sayısına oranına, o olayın olasılığı denir. s(A) istenilen durumların sayısı P(A) = = s(E) Tüm durumların sayısı Örnek: Aynı anda havaya atılan hilesiz bir zar ve bir paradan zarın üstündeki sayının 4 ve 4 den küçük, paranın tura gelme olasılığı nedir? Çözüm: Zar ve paranın havaya atılması ile her ikisinin tüm durumlarının olma durumu evrensel kümeyi (örnek uzayı) oluşturur. E = {(1,y), (2,y), (3,y), (4,y), (5,y), (6,y), (1,t), (2,t), (3,t), (4,t), (5,t), (6,t)} A = {(1,t), (2,t), (3,t), (4,t)} s(E) = 2.6 = 12 s(A) = 4 s( A ) 4 1 = = dür. P(A) = s(E ) 12 3 Uyarı: P(A) = 1 – P'(A) Ayrık İki Olayın Olasılığı A veya B olayının olasılığı, A∩B = Ø ise, P(AUB) = P(A)+P(B) dir. Bir olayın olma olasılığı 1- Örnek: Bir torbada 4 kırmızı, 5 mavi, 3 sarı bilye vardır. Torbadan çekilen bir bilyenin sarı veya mavi olma olasılığı nedir? 2 3 = dir. 5 5 Örnek: 3 matematik ve 4 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir. Bu dizilişte 3 matematik kitabının yan yana olma olasılığı kaçtır? Çözüm: E = , 4 kırmızı, 5 mavi, 3 sarıs(E) = 12 , s(K) = 4 , s(S) = 3 P(K U S) = P(K)+P(S) 4 3 7 + = P(K U S) = dir. 12 12 12 Çözüm: kitaplar yan yana koşulsun 7! Biçimde yerleştirilir. Ohalde s(E)=7! dir. 3 matematik kitabının yan yana olduğu diziliş sayısı 5! . 3! olur. Ayrık Olmayan İki Olayın Olasılığı A∩B P(A 2 ise, olmama olasılığı: 5 P(A) s(A) s(E) P(A) 5!.3! 7! 5! . 3! 7. 6 . 5! 1 dir. 7 Ø, A ve B ayrık olmayan iki küme olsun. B) = P(A)+P(B) – P(A∩B) dir. Örnek: Bir torbada 1 den 12 ye kadar numaralanmış toplar vardır. torbadan çekilen bir topun çift sayı veya 6 dan büyük olma olasılığı nedir? Çözüm: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7, ,8, 9, 10, 11, 12} A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} B = {7, 8, 9, 10, 11, 12} A∩B = {8, 10, 12} P(A B) = P(A)+P(B) – P(A∩B) P(A B) = 6 6 3 9 3 dür. + = = 12 12 12 12 4 ÇÖZÜMLÜ TEST A ve B Olayının Olasılığı 97 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. Seçilen bir ekibin içinde 1 doktor, 2 hemşire bulunma olasılığı nedir? 1. Bir kutuda 4 kırmızı, 3 mavi top vardır. Çekilen top geri atılmamak şartıyla ard arda çekilen iki topun aynı renkte olma olasılığı kaçtır? A) 2 7 B) 3 7 C) 4 7 5 7 D) E) A) 5 14 B) 3 7 C) 5 13 D) 5 7 E) 11 14 6 7 2 dir. 7 3 Hasan’ın aynı yarışmayı kazanamama olasılığı dir. 5 Bu yarışı sadece birinin kazanma olaslığı nedir? 6. Ali’nin bir yarışmayı kazanma olasılığı 2. Bir sınıfta 17 kız öğrenciden 5 tanesi gözlüklü, 18 erkek öğrenciden 7 si gözlüklüdür. Seçilen bir öğrencinin kız veya gözlüklü olma olasılığı nedir? A) A) 12 35 B) 16 35 20 35 C) D) 24 35 E) 28 35 5 18 B) 7 18 C) 1 2 D) 7 9 E) A) 20 8 9 2 11 B) 3 11 C) 4 11 D) 5 11 E) 3 7 C) 16 35 D) 19 35 E) 4 7 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 8. Bir A torbasında 3 beyaz, 4 mavi, B torasında 4 beyaz, 3 mavi bilye vardır. A dan çekilen bir bilye B ye konuyor. B den çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı nedir? 4. Havaya atılan iki hilesiz zardan birinin üstünün 2 geldiği biliniyor. İki zarın üstlerinin toplamının tek sayı olma olasılığı nedir? A) B) 7. Bir grubun %60 ı İngilizce, %70 i Türkçe bilmektedir. Gruptan seçilen birinin sadece Türkçe bilme olasılığı yüzde kaçtır? 3. Havaya atılan iki hilesiz zarın üstlerinin toplamının 9 ve 9 dan büyük olma olasılığı nedir? A) 1 7 6 11 A) 5. 4 hemşire, 5 doktor arasından 3 kişilik bir çalışma ekibi kuruluyor. 1 4 B) ÇÖZÜMLER 98 2 7 C) 19 56 D) 25 56 E) 15 28 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net 1. Kutuda toplam 7 top vardır. s(E) = 7 art arda 2 top çekiliyor. Buradan kaç farklı ikili top oluşur onu bulalım. C(7, 2) = 7! (7-2)!.2! 7.6. 5! 5! .2! 7.6 2 6. Ali’nin sınavı kazanma olasılığı P(A) = kazanamama olasılığı P(A') = 21 1!.2! İkisinin aynı renkte olma olasılığı: Yanıt: B Yanıt: C 2. Sınıf mevcudu s(E) = 35 dir. s(K) = 17, s(E) = 18, s(G) = 12, s(K∩G) = 5 P(K G) = P(K)+P(G) – P(K∩G) 17 12 5 24 + P(K G) = = dir. 35 35 35 35 Yanıt: D 7. Grubu 100 kişi olarak düşünürsek, 70+60 = 130 130 – 100 = 30, %30 u her iki dili biliyor. s(E) = 100, s(T∩İ) = 30 T 3. Havaya 2 zar atıldığında oluşan evrensel kümenin eleman sayısı s(E) = 6.6 = 36 A olayı ise, üstlerinin toplamı 9 ve 9 dan büyük olan ikililerdir. A = {(3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)} s( A ) 10 5 = = P(A) = dir. s(E) 36 18 40 S(T \ İ) = 40 sT P(T \ İ) = Yanıt: A 3 (9 - 6)!.3! 3.2 s(E) = 84 A olayı 1 doktor, 2 hemşire; 5 4 . 1 2 5. 4.3 2 30 40 = %40 dur. 100 8. A torbasından çekilen bilyenin rengi belli değil. 4 A torbasından mavi gelme olasılığı dir. Bu bilye B 7 torbasına atılıyor. 4 B torbasından mavi gelme olasılığı dir. 8 3 A torbasından beyaz gelme olasılığı dir. Bu bilye 7 B torbasına atılıyor. 3 B torbsından mavi gelme olasılığı dir. 8 O halde; 4 4 3 3 16 + 9 25 . + . = = dır. 7 8 7 8 56 56 84 farklı biçimde seçilir. 30 farklı biçimde seçilir. s( A ) 30 5 olur. = = s(E) 84 14 30 Yanıt: C s(A) = 30 P(A) = İ Sadece Türkçe bilme olasılığı %40 tır. 4. Zarlardan birinin 2 geldiği biliniyor. Yeni örnek uzayımız: E = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)} A olayımızın elemanları ise, A = {(1,2), (3,2), (5,2), (2,1), (2,3), (2,5)} s( A ) 6 = P(A) = dir. Yanıt: E s(E) 11 5. Toplam 9 kişilik ekipten, 9 9! 9.8.7 2 5 Sadece sınavı birinin kazanması; P(A).P(H')+P(A').P(H) 2 3 5 2 6 10 + = . + . = 7 5 7 5 35 35 16 = dir. 35 Mavi olanlar, C(3, 2) = 3! = 3 6 3 9 3 + = = dir. 21 21 21 7 ise 5 , 7 Hasan’ın kazanma olasılığı ise, P(H) = Bunlardan kaç tanesi kırmızı ikili toptur, 4! C(4, 2) = =6 2!.2! 2 7 Yanıt: A Yanıt: D 99 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. Çözüm: I. B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı olduğundan, A kümesi B kümesini kapsar. A B ifadesi doğrudur. II. C kümesi, B kümesini kapsamadığından B C ifadesi doğrudur. III. C kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı olduğundan, C A ifadesi doğrudur. IV. C kümesinin her elemanı B kümesinde bulunmadığı için C B ifadesi yanlıştır. Yanıt: B KÜMELER Tanım: Küme bir nesneler topluluğudur. KÜMELERİN GÖSTERİLMESİ 1. Liste Yöntemi ile Gösterme: B = {a, b, c, d} 2. Ortak Özellik Yöntemi ile Gösterme: B=,x I x alfabenin ilk dört harfi- İKİ KÜMENİN EŞİTLİĞİ Tanım: A ve B kümeleri için A B ve B A ise A ve B kümeleri eşit kümelerdir. Örneğin; A=,a,b,c- ve B=,c,b,a- kümeleri için A B ve B A olduğundan A = B dir. 3. Şema (Venn Diagramı) ile Gösterme: A a b Tanım: A ve B kümeleri eşit değil ancak eleman sayıları eşit ise denk kümelerdir. Örneğin; B = {1, a, 4} ve A = {a, b, c} kümeleri eşit kümeler değildir fakat eleman sayıları birbirine eşit olduğu için A ≡ B dir. c d SONLU VE SONSUZ KÜMELER Tanım: Eleman sayısı bir doğal sayı olarak belirtilebilen kümelere sonlu küme denir. Örneğin; A={1,2,3} ALT KÜMENİN ÖZELLİKLERİ 1. Tanım: Eleman sayısı sonlu olmayan kümelere sonsuz kümeler denir. Örneğin; N={0,1,2,3,…- 2. 3. 4. 5. BOŞ KÜME Tanım: Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Ø veya , - sembolleri ile gösterilir. Örneğin; B = { } ,Türkçede S ile başlayan aylar- Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her A kümesi için Ø A dır. Her küme kendisinin alt kümesidir. Her A kümesi için A A dır. A,B ve C kümeleri için A B ve B C ise A C dir. A ve B kümeleri için A B ve B A ise A=B dir. n s(A) = n ise A kümesinin alt küme sayısı 2 dir. ÖZALT KÜME Tanım: Bir kümenin kendisi hariç tüm alt kümelerine o kümenin özalt kümesi denir. Özalt küme sayısı s(A) = n n ise 2 – 1 dir. n elemanlı bir C kümesinin r elemanlı (n ≥ r) alt kümeleri, n nin r li kombinasyonlarıdır. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümeleri sayısı, n P(n,r) n! C(n,r) dir. r r! (n-r)!.r! n elemanlı bir küme için en çok r elemanlı alt küme sayısı; n n n n ... ve en az r+1 elemanlı alt küme 0 1 2 r ALT KÜME Tanım: Bir A kümesinde bulunan her eleman aynı zamanda B kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. A B ile gösterilir. A alt küme B diye okunur ya da B A şeklinde gösterilip B kapsar A diye okunur. Örnek: A=,1,2,a,b,4-, B=,1,a,4-, C=,2,a,4- kümeleri verilsin. Aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur? A) A B B) B C C) C A D) C B A) I-II B) II-IV C) II-IV D) I-III E) I-IV sayıları n a 100 n r 1 n b n r 2 n ... n ifadesi ile hesaplanır. n a b veya a=b olur. Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net Örnek: A= {a, b{c, d},1,2,3} kümesi veriliyor. A kümesinin; a. Kaç tane alt kümesi ve özalt kümesi vardır? b. 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? c. 3 ten az elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? d. İçinde a elemanı olmayan kaç tane 4 elemanlı alt kümesi vardır? e. İçinde 2 eleman bulunan kaç tane 4 elemanlı alt kümesi vardır? Çözüm: 6 6 a. s(A) = 6, 2 = 2.2.2.2.2.2 = 64 tane alt kümesi vardır. 2 -1 = 64-1 = 63 tane özalt kümesi vardır. b. Alt küme sayısını veren C (n,r) = KÜMELERDE İŞLEMLER KÜMELERİN BİRLEŞİMİ Tanım: a ve B herhangi iki küme olmak üzere; A ile B kümelerinin bütün elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin birleşimi denir. A B biçiminde gösterilir. A B = {x I x A veya x B- biçiminde tanımlanır. n! (n - r )!.r! 6 2 6 1 6 6.5 6 = + + 1= 15+6+1 = 22 tanedir. 2 .1 1 0 e f A B A d. a elemanını yok kabul edersek geriye 5 eleman kalır. İçinde a elemanı bulunmayan 4 elemanlı alt küme sayısı 5 5 5 olur. 4 1 e. 2 elemanını yok kabul edersek 3 elemanlı alt küme sayısını buluruz. 3 elemanlı alt kümelere “2” eleman olarak eklenirse “2”nin olduğu 4 elemanlı alt küme sayısı; C (5,3) = c d a b formülü n=6, r=3 için kullanılırsa, 6! 6.5.4.3! 6! C (6,3) = = = = 20 bulunur. (6 - 3)!.3! 3!. 3! 3!.3! c. B A B ={a,b,c,d,e,f} BİRLEŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. A A = A 2. A B = B A 3. A (B C) = (A B) C 4. A Ø = Ø A = A dır. 5! 3!.5.4 = = 10 olur. (5 - 3)!. 3! 3!.2.1 Örnek: A= {x I -3 < x ≤ 3 , x Z}, B=,x I 1≤ x < 6 , x Z- kümeleri veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi A B kümesidir? A) A B ={-2,-1,0,1,2,3,4,5} B) A B ={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6} C) A B ={0,1,2,3,4,5,6} D) A B ={-3,-2,-1,0,1,2,3} E) A B ={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6} Örnek: A= {0,1,2,3,4,5} veriliyor. A kümesinin tüm alt kümelerinin kaç tanesinde; a. 4 ve 5 elemanlarından hiçbiri bulunmaz. b. 4 ve 5 elemanlarından biri veya ikisi bulunur. c. 4 ve 5 elemanlarından yalnız biri bulunur. d. 4 ve 5 elemanlarından her ikisi de bulunur. Çözüm: a. A kümesinin 4 ve 5 elemanlarının bulunmadığı küme4 ler, {0,1,2,3} kümesinin alt kümeleri olup 2 =16 tanedir. A ={-2,-1,0,1,2,3}, B ={1,2,3,4,5} dir. A B ={-2,-1,0,1,2,3,4,5} dir. 6 b. A kümesinin 2 =64 alt kümesi vardır. a şıkkında bulduğumuz 16 çıkarılırsa istenilen sayı 48 olur. Yanıt: A Örnek: A [B (B Ø)+ ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? c. Kümede 4 ve 5 elemanları aynı anda bulunmayacağı için a şıkkında bulduğumuz 16 tane alt kümenin her birine 5 i eleman olarak eklersek, 5 in eleman olarak bulunduğu alt kümeleri, 4 ü eleman olarak eklersek 4 ün bulunduğu alt kümeleri elde ederiz. Bu durumda yalnız 5 elemanının bulunduğu alt küme sayısı 16, yalnız 4 elemanının bulunduğu alt küme sayısı 16 olduğundan 4 ve 5 elemanlarından birinin bulunduğu alt küme sayısı 16 +16 =32 olur. A) A B) B C) A B D) Ø E) A Ø Çözüm: A [B (B Ø)+ ifadesinde sadeleştirme yapmak için içten dışa doğru bir yol izleyelim. İlk önce köşeli parantezin içindeki parantezin içinde olan ifadeden başlayalım. B Ø = B dir. İfadeyi tekrar yazarsak; A [B B+ oldu. Parantezin içindeki ifadeyi sadeleştirelim B B= B dir. İfademizin son hali; A B dir. Yanıt: C d. a şıkkında bulduğumuz bütün alt kümelere 5 ve 4 ü eleman olarak eklersek 4 ve 5 in eleman olarak bulunduğu alt kümelerinin sayısı 16 olur. 101 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. KÜMELERİN KESİŞİMİ Örnek: 45 kişilik bir sınıfta her öğrencinin voleybol ya da basketbol oynadığı biliniyor. Bu sınıfta voleybol oynayanların sayısı, basketbol oynayanların sayısının 2 katından 3 fazladır. Her iki oyunu da oynayan 6 kişi olduğuna göre basketbol oynayan kaç kişi vardır? Tanım: A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A ile B nin ortak elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişimi denir. A∩B biçiminde gösterilir. A ile B nin kesişimi A∩B = {x I x A ve x B- biçiminde tanımlanır. A) 35 B A 1 2 5 3 6 4 7 B) 21 C) 19 D) 16 E) 10 Çözüm: Sınıf mevcudu: s(B V)=45 Basketbol oynayanların sayısı: s(B)=x Voleybol oynayanların sayısı: s(V)=2x+3 Her iki oyunu da oynayanların sayısı: s(B∩V)=6 45=x + 2x + 3 – 6 45=3x – 3 48=3x x=16 Yanıt: D A∩B A∩B ={3,4} TÜMLEME KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. A∩A = A E evrensel kümesi ile bunun bir alt kümesi A olmak üzere, evrensel kümede olan fakat A kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye A nın tümleyeni 2. A∩B = B∩A 3. A∩(B∩C) = (A∩B) ∩C denir ve A´ veya A ile gösterilir. A´=, xx E ve x A- biçiminde yazılır. 4. A∩Ø = Ø∩A = A 5. A B) ∩(A (B∩C) = (A 6. A∩(B C) = (A∩B) B) (A∩C) A 1 BİRLEŞİM KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI 1.A ve b kümeleri için A∩B s(A E 2 c Ø ise a B)= s(A) + s(B) – s(A∩B) b 2. A, B, C kümeleri için; s(A B A´=,1,a,c- olur. C)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A∩B)-s(B∩C)- s(A∩B) + s(A∩B∩C) TÜMLEMENİN ÖZELLİKLERİ 1. A∩A´ = Ø 2. A B B´ A´ 3. A∩E=A 4. E´=Ø 5. A E=E 6. Ø´=E 7. A´ A=E 8. (A´) A´=A 9. (A´B)´=A´∩B´ 10. (A∩B)´=A´ B´ Örnek: Bir sınıfta her öğrencinin Türkçe ya da Almanca bildiği varsayılıyor. Türkçe bilenlerin sayısı 24, Almanca bilenlerin sayısı 16, her iki dili bilenlerin sayısı 5’tir. Sınıfın mevcudu kaçtır? A) 45 B) 35 C) 40 D) 30 E) 32 Çözüm: Türkçe bilenlerin sayısı s(T)= 24 Almanca bilenlerin sayısı s(A)= 16 Her iki dili bilenlerin sayısı s(T∩A)= 5 Sınıf mevcudu s(T A)= ? s(T A)= s(T) + s(A) – s(T∩A) Örnek: E=,1,2,3,4,5,6,7,8- olmak üzere A=,xx çift doğal sayı ve x E} veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi A´ kümesidir? A) A’ =,1,2,3B) A’ =,2,4,5,6C) A’ =,1,3,5,6D) A’ =,1,2,4,5,6,7E) A’ =,1,3,5,7- = 24 +16 – 5 =35 olur. veya; A T 19 5 11 Çözüm: A E ve A=,2,4,6,8- olduğundan A´=,1,3,5,7- olur. Yanıt: E s(TUA)= 19 + 5 + 11 = 35 olur. 102 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net Çözüm: FARK İŞLEMİ B A Tanım: A ve B herhangi iki küme olsun. A da olup B de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A nın B den farkı denir ve A\B ya da A-B biçiminde gösterilir. A-B ={ xx A ve x B} dir. a B A 1 2 4 3 6 5 7 s(A)= 2.s(B) ise a + b= 2 (b + c) s(A\B)=10 ise a =10 ve A∩B kümesinin alt küme sayısı 16 olduğu için s(A∩B)=4 ve b=4 olur. a + b= 2 (b + c) eşitliğinde yerine koyulursa; 14=2. (4 + c) ise c = 3 bulunur. Buradan s(A B)= a + b + c=10 + 4 + 3= 17 olur. Yanıt: E Örnek: Doktorlar ve avukatlardan oluşan 60 kişilik bir toplulukta bayanların sayısı 36, avukatların sayısı 27, erkek doktorların sayısı 15 dir. Buna göre toplu-lukta kaç bayan avukat vardır? B\A A\B FARKLA İLGİLİ ÖZELLİKLER 1. A\B = A∩B´ 2. E\A=A´ 3. A\A=Ø 4. A\Ø=A 5. Ø\A=Ø 6. A \B=Ø 7. A\B=A\(A∩B) 8. (A\B)´=A´ B 9. (A\B) B=A B 10. (A\B)\C=A\(B C) 11. A\B ≠ B\A A) 15 B) B C) A∩B B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 Çözüm: D doktorlar kümesini, A avukatlar kümesini göster-sin. D A D) B´ Erkek 15 c Bayan a b a + b = 36, c + b =27 a +b+c+15=60 36+c+15 = 60 c=9 olur. c+b=27 9+b =27 b= 18 dir. Avukat bayanların sayısı 18 dir. Yanıt: D Örnek: E evrensel kümesinin iki alt kümesi A ile B dir. *A´\(A B)] [A\(B Ø)+ kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) A c b E) Ø Çözüm: *A´\(A B)] [A\(B Ø)+ =*A’∩(A B)´+ [A∩B´+ =*(A´∩(A´∩B´)+ (A∩B´) =[(A∩A´)∩B´+ (A∩B´) =(A´∩B´) (A∩B´) =(A´ A)∩B´ =E∩B´ =B´ Örnek: A B C Yanıt: D Örnek: A ve B iki kümedir. s(A)= 2.s(B), s(A\B)=10 ve A∩B kümesinin alt küme sayısı 16 olduğuna göre A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 Yukarıdaki şekilde taralı ifadeyi gösteren ifade hangisidir? A) B) C) D) E) E) 17 [(A∩B) (A\C)]∩(B (C\A) [(A∩B)\C] A∩B∩C (A∩B)\(A C) [(A B)∩C]∩B C) Yanıt: B 103 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. Çözüm: İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK İŞLEM Tanım: A boş olmayan bir küme ve A B olsun. A A nın boş olmayan herhangi alt kümesinden B’ye tanımlanan alt fonksiyona A’da ikili işlem veya kısaca işlem denir. İşlem tanımlanırken;,,∆, gibi semboller kulla-nılır. Fonksiyonlar f, g, h gibi harflerle gösterilmektedir. ∆ : A A işlemi verildiğinde; İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ x, y A için xy A ise A kümesi “” işlemine göre kapalıdır denir. 2. x,y A için x∆y=y∆x oluyorsa “∆” işleminin değişme özelliği vardır denir. 3. x,y,z A için x(yz)=(xy)z ise “” işleminin birleşme özelliği vardır denir. 4. d) 5. x A için x∆e=e∆x=x koşulunu sağlayan bir e A varsa, e’ye “∆” işleminin birim (etkisiz) elemanı denir. 6. x∆y=y∆x=e koşulunu sağlayan y A varsa, y’ye ∆ -1 işlemine göre x’in tersi denir. x ya da –x ile gösterilir. Örnek: A=,a,b,c,d,e- kümesi üzerinde tanımlanan işlemi aşağıdaki tabloda veriliyor. a b c d e a e a b c d b a b c d e c b c d e a d c d e a b e d e a b c Tabloya göre, a) ac = ca doğru mudur? b) işleminin etkisiz elemanını bulunuz. c) işlemine göre b ve c nin terslerini bulunuz. d) Her x A için fx fonksiyonu -1 fx (y)=x y ; y A biçiminde tanımlanıyor. Buna göre fe fb a a e b a b c d b a b c d e c d e c b c d e a d c d e a b e d e a b c nin değerini bulunuz. 104 fe (b 1 a) fe fb a fe a x,y,z A için x∆(yz)=(x∆y)(y∆z), (yz)∆x=(y∆x)(z∆x) oluyorsa ∆ işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir. a a) (ac) = b (ca) = b olduğuna göre, (ac) = (ca) dır. İşlemin değişme özelliği vardır. b) Tablodan etkisiz elemanı bulmak için yatay ve dikey durumda verilen elemanların düzgün sıralı ları bulunur. Bunların kesiştiği eleman etkisiz (birim) elemandır. Bu tabloya göre etkisiz (birim) eleman “b” dir. c) Tabloda elemanların terslerini bulmak için önce dikey konumdaki sütundan tersi bulunacak olan eleman bulunur. Elemanın bulunduğu satır takip edilerek, o satır üstündeki etkisiz elemana karşılık gelen üst satırdaki elemana bakılır ve ters eleman bulunur. -1 b elemanının tersi b = b dir. -1 c elemanının tersi c = a dır. (x,y) A A sıralı çifti bir tek z A öğesine eşlenecektir. Bunu (x,y) x∆y = z sembolleri ile yazarak “x işlem y eşittir z” diye okuruz. 1. fe (b a) e a) =da=c dir. 1 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLÜ TEST ÇÖZÜMLER 1. Tanımlana işlem x∆y = 2x–3y+xy–1 dir. 2∆a = 5 x = 2 ve y = a işlemde yerine yazılır ve 5 e eşitlenir. 2∆a = 2.2–3.a+2.a–1 = 5 3–a=5 a = -2 bulunur. Yanıt: A 1. Tamsayılar kümesi üzerindeki “∆” işlemi; x∆y = 2x – 3y+xy – 1 biçiminde tanımlanıyor. 2∆a = 5 olduğuna göre, a kaçtır? A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 2. Verilen değerleri tanımlana işlemde uygulayalım. Önce parantez içi yapılır. 11 = 2.1+2.1–3 = 4–3 = 1 11 = 1 dir. 1 2 2∆1 = 2 –1 +1 = 2 2∆(11) = 2 olur. Yanıt: B 2. ve 3. soruları aşağıdaki bilgilere göre yanıtlayınız. Tamsayılar kümesinde, y 2 x∆y = x – y +1 ve xy = 2x+2y – 3 işlemleri tanımlanıyor. 2. 2∆(11) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1 2 3. p∆1 = p –1 +1 = p 2(-1) = 2.2+2.(-1)–3 = 4–5 = -1 p∆1 = 2(-1) p = -1 dir. Yanıt: C 3. p∆1 = 2(-1) olduğuna göre, p değeri kaçtır? A) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 1 4. 2 a b 1 a 1 şeklinde tanımlana işlemde, b a = 2 ve b = 4 değerleri yerine yazılır. 2 1 1 = + 2⊕4 2 4 4. R de ⊕ işlemi 2 1 1 = + olarak tanımlanıyor. a ⊕b a b Buna göre, 2 ⊕ 4 ün değeri kaçtır? A) 1 B) 2 3 C) 5 3 D) 2 2 2 4 3 4 2 4 8 dür. 3 Yanıt: E E) 8 3 105 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. MODÜLER ARİTMETİK ÇÖZÜMLÜ TEST x,y Z ve a>1 pozitif tam sayı olsun. x-y ifadesi a ile tam olarak bölünüyorsa, modülü a’ya göre x, y’ye denktir denir. x y (mod a) biçiminde yazılır. 1. 2008 2009 A) 0 sayısının birler basamağı kaçtır? B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 Modüler bir bölme işlemidir. x; bölünen, a; bölen, y kalandır. Z/a kümesine, a’nın kalan sınıflar kümesi denir. Z/4={ 0 , 1 , 2 , 3 } Z/5={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } 2. “EBİMKPSEBİMKPS…” sıralamasında 135. harf hangisi olur? Z/a={ 0 , 1 , 2 … a 1 -’dir. A) S ÖZELLİKLERİ 1. x m C) E D) İ E) M y (mod a), n (mod a) olsun. a) x m y n (mod a) b) x.m y.n (mod a) 2. 3. Bir doktor, 5 günde bir nöbet tutuyor. İlk nöbetini Çarşamba günü tuttuğuna göre, 12. nöbetini hangi gün tutar? x y (mod a) ise n n x y (mod a) olur. 3. Z /n de x,y,a,b x B) B Z A) Pazar C) Salı a(modn) y b(modn) ise ♦ x y a b(modn) ♦ x y a b(modn) ♦ x.y a.b(modn) ♦ xm am (modn) m Z ♦ x.m a.m(modn) m Z ♦ a b 0(modn) x y B) Pazartesi D) Cuma E) Cumartesi 4. Saat şu anda 14:00 ise, 1525 saat sonra kaç olur? 0(modn) A) 02:00 B) 03:00 C) 09:00 D) 11:00 E) 12:00 5. Z/5’te 2x + 3 = 2 eşitliğinde x değeri kaçtır? A) 0 106 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net ÇÖZÜMLER 3. Doktor 5 günde bir nöbet tutuyor. 1. nöbet Çar-şamba tutuldu, geriye 11 nöbeti kaldı. 2009 1. 2008 sayısının birler basamağı sorulduğunda; (mod 10) alınır. 2008, 10’a bölündüğünde 8 kalanını verir. 1 8 2 8 3 8 4 8 11.5 = 55 gün sonra 12. nöbetini tutacak. Haftanın periyodu (modu) 7’dir. 55 49 6 8 (mod 10) 4 (mod 10) 2 (mod 10) 6 (mod 10) 0 Çarş. (mod 10) da 1, 5 ve 6 rakamları kendisi ile çarpıldığında kalanı da kendisi olur. 1 Perş. 2 Cuma 3 C.tesi 4 Pazar 5 P.tesi 6 Salı Kalan 6 olduğu için 6. gün, yani Salı günü tutar. 4 6 değerini 8 , 4. kuvvette bulduk. 2009’u 4’e böleriz. 2009 7 7 Yanıt: C 4 502 1 Kalan 1 olduğu için 8’in değeriyle aynı sonucu verir. 2009 2008 4. Bir gün 24 saat olduğuna göre (mod 24)’e göre işlem yaparız. 8 (mod 10) Yanıt: E 1525 144 0085 72 13 24 63 Kalan 13 ise; 14+13 = 27 27–24 = 3 Saat: 03:00 olur 2. EBİMKPSEBİMKPS… Baştan 7. harf S, Baştan 14. harf S, Baştan 21. harf S, Yanıt: B Burada mod 7 olarak alınır. 5. 135 7 65 63 2 7 19 Z/5’te 2x + 3 = 2 x = 0 için; 2 . 0 + 3 = 2 3 ≠ 2 x = 1 için; 2 . 1 + 3 = 2 0 ≠ 2 x = 2 için; 2 . 2 + 3 = 2 2 = 2 x = 3 için; 2 . 3 + 3 = 2 4 ≠ 2 x = 4 için; 2 . 4 + 3 = 2 1 ≠ 2 Kalan 2 olduğu için baştan ikinci harfe bakarız. EBİMKPSEBİMKPS… x = 2 eşitliği sağlıyor. Yanıt: C Yanıt: B 107 EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır. 108