2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeylerde Dirac Denklemi
Transkript
2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeylerde Dirac Denklemi
Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması 2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeyde Dirac Denklemi Mehmet Ali Olpak Fizik Bölümü Orta Doğu Teknik Üniversitesi Ankara, Aralık 2011 Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Outline 1 Problem 2 Çözüm 3 Schrödinger Denklemine Uygulama Geometri Denklemin Parçalanması 4 Dirac Denklemi Uygulaması Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Genel Durum N boyutlu bir uzayın, daha düşük boyutlu bir alt kümesine kısıtlanmış bir sistemi ele alalım. İlgili QM hareket denklemleri nelerdir? Motivasyon: "bükülebilir" QM sistemler (karbon nanotüler gibi) [2]; efektif olarak Dirac denklemine uyan sistemler (graphene gibi) [1], vs. Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması İncelenen Durum Dirac denk. uyan bir parçacık (3+1 D). Elektrostatik alan (klasik) Parçacığın kısıtlandığıyüzey Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Basamaklar Koordinat transformasyonu: bir koordinat (q 3 ) yüzey boyunca sabit kalsın. Bu koordinat yüzeye dik olsun. Nesneleri q 3 = 0 etrafında açalım. q 3 = 0’da denklemi teğet ve normal parçalara ayıralım. Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Geometri Denklemin Parçalanması Outline 1 Problem 2 Çözüm 3 Schrödinger Denklemine Uygulama Geometri Denklemin Parçalanması 4 Dirac Denklemi Uygulaması Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Geometri Denklemin Parçalanması Ele alınan durum: Figure: Ref: [3] Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Geometri Denklemin Parçalanması Geometri P’nin Q’ya S üzerinde en yakın nokta olduğunu ve q 3 ’ün diğer uzunluklara kıyasla küçük olduğnu varsayalım. Q’nun konum vektörü: R(q 1 , q 2 , q 3 ) = r(q 1 , q 2 ) + q 3 N(q 1 , q 2 ) (1) q 3 : normal koordinat, N: yüzeyin birim normal vektörü. ∂R Gµν = ∂q µ ∂r Gij = ∂q i Gi3 = 0, · ∂R ∂q ν ∂N ∂r 3 ∂N · + q , ∂q i ∂q j ∂q j G33 = 1. + q3 i, j = 1, 2 (2) Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Geometri Denklemin Parçalanması Outline 1 Problem 2 Çözüm 3 Schrödinger Denklemine Uygulama Geometri Denklemin Parçalanması 4 Dirac Denklemi Uygulaması Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Geometri Denklemin Parçalanması Genel Denklem Parçacığın EM alanla [2]’deki gibi etkileştiğni varsayalım. Bu durumda genel denklem [2]: " √ √ 1 ~2 iQ~ i~D0 Ψ = − √ ∂µ ( GGµν ∂ν Ψ) + √ ∂µ ( GGµν Aν )Ψ 2m G G # + 2iQ~Gµν Aν ∂µ Ψ + Q 2 Gµν Aµ Aν Ψ . (3) iQ olur; Q: parçacığın yükü, D0 ≡ ∂t + Φ, A: vektör potansiyel, ~ Φ: skalar potansiyel. Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Geometri Denklemin Parçalanması Dalga Fonksiyonu Normalizasyon integrali [2]: Z Z √ 3 ∗ d xΨ (x)Ψ(x) = d 3 q GΨ∗ (q)Ψ(q) Z √ = d 3 q g 1 + q 3 Tr (α) + (q 3 )2 det(α) Ψ∗ (q)Ψ(q) = 1. (4) Burada ∂N(q) ∂r(q) ≡ αi j . i ∂q ∂q j Tanım: χ(q) ≡ (1 + q 3 Tr (α) + (q 3 )2 det(α))1/2 ψ(q). Bu durumda: Z Z √ 3 ∗ d xΨ (x)Ψ(x) = d 2 qdq 3 gχ∗ (q)χ(q) (5) (6) Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Geometri Denklemin Parçalanması Elde Edilen Schrödinger Denk. Elde edilen denklemler: ~2 (∂3 )2 χn + Vλ (q 3 )χn 2m " √ 1 ~2 iQ~ √ i~D0 χs = − √ ∂i ( gg ij ∂j χs ) + √ ( gg ij Aj )χs 2m g g # i~D0 χn = − (7) + 2iQ~g ij Ai ∂j χs + Q 2 g ij Ai Aj χs + Vs χs (8) Önemli: yüzey üzerinde ölçülebilir nicelikleri hesaplarken "dış dünya"ya referans gerekmiyor. ! 2 1 −~2 Tr (α) − det(α) : geometrik potansiyel [2]. Vs ≡ 2m 2 Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Dirac Denklemi Uygulaması Eğri uzayzamanda Dirac denklemi [4]: (iγ a Ea µ Dµ − m)ψ(q) = 0. M 4 ’te genel bir koordinat sistemi q 3 ’ün kuvvetleri cinsinden açılım (O(q 3 )’e kadar) Latin harfleri: düz koordinatlar, Yunan harfleri: genel koordinatlar Bu konu daha önce Burgess ve Jensen tarafından [4]’te ele alındı. (9) Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Dirac Denklemi Uygulaması Metrik: [4, 5] 1 0 Gµν = 0 Gij 0 0 0 0 −1 (10) "Vierbein"lar: ea µ Ea ν = δ ν µ , ea µ Eb µ = δa b , ea µ eb ν ηab = Gµν , Ea µ Eb ν η ab = Gµν . (11) Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Dirac Denklemi Uygulaması Dirac matrislerinin cebiri: [γ a , γ b ]+ = 2η ab (12) Christoffel katsayıları: 1 ωabµ [γ a , γ b ], 8 ω a bµ ≡ −Eb ν ∇µ ea ν . ωµ = (13) (14) Bu şekilde: γ c Ec µ ωabµ [γ a , γ b ] = 2γ a (∇µ Ea µ ). (15) Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Dirac Denklemi Uygulaması Yeniden tanımlanmış spinör [5]: √ χ ≡ ψ F, F ≡ 1 + q 3 Tr α. (16) Seçilen "Vierbein"lar: ea i = ∂i x a + q 3 ∂i na = ∂i x a + q 3 αi k ∂k x a , e0 0 = 1, ea 3 = N a , a = 1, 2, 3, diğerleri = 0, (17) ve (tilda: "yüzeyde") Ea i = Ẽa i − q 3 αk i Ẽa k , E0 a = 1, 2, 3, diğerleri = 0. 0 = 1, Ea 3 = Na , (18) Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Dirac Denklemi Uygulaması EM (klasik) alanda [5]: ! 1 A 1 A ˜ i A i γ ∂0 + γ ẼA ∂i + γ (∇i ẼA ) − γ ÑA Tr (α) + γ ÑA ∂3 χ 4 4 + eγ 0 A0 (q 3 ) − m χ = 0, A = 1, 2, 3; i = 1, 2. (19) 0 A i Ekstra terim: 1 Vgeo. = − γ A ÑA Tr (α). 4 (20) Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Soru: Vgeo. ’i nasıl yorumlayabiliriz? Yanıt: (arXiv: 1010.2370v3 [hep-th]) (γ 0 eλq 3 − iγ A ÑA ∂3 )χ = K χ. (21) Çözüm: χ ≡ exp[−a(q 3 )2 + bq 3 ] 4 X hr (t, q i )Vr (q i ), (22) r =1 a > 0, b = 0 ve iγ A ÑA Vr (q i ) ≡ cr Vr (q i ). (23) Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Burgess ve Jensen’in çalışması[4] ile farklar: Elde edilen denk.: " 4 X 1 ˜ i ẼA i ) i γ 0 ∂0 + γ A ẼA i ∂i + γ A (∇ 4 r =1 # cr − Tr (α) − m hr (t, q i )Vr (q i ) = 0. 4 (24) [4]’te içsel eğriliği sıfır olan yüzeyler, burada genel durum inceleniyor. Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Burgess ve Jensen’in çalışması [4] ile farklar: 1 Geometrik terim Vgeo. : [4]’te, Vgeo. = − γ A ÑA Tr (α); 2 Christoffel kat.’dan gelen katkı yok. [4]’te b 6= 0, ancak "büyük olasılıkla" parçacık "yüzey" üzerinde, dolayısıyla b = 0 (prob. conservation). Problem Çözüm Schrödinger Denklemine Uygulama Dirac Denklemi Uygulaması Açık noktalar: cr Tr (α) + m efektif kütle terimleri gibi görünmekte; tam 4 çözüme göre yorunlanmalı. Yaklaşımın geometrik ve deneysel geçerlilik koşulları([4]’te ele alınmış). γ’ların 3+1 D rep. 4x4. Denklem hangi koşullarda diagonalize edilebilir (2x2 olarak) ([4]’te ele alınmış)? Appendix Ek okuma Ek okuma I R. Jackiw, S. Y. Pi. Chiral Gauge Theory for Graphene arXiv:cond-mat/0701760v2 [cond-mat.str-el]. G. Ferrari, G. Cuoghi. Schrödinger equation for a particle on a curved surface in an electric and magnetic field. Phys. Rev. Lett, 100(23):230403, 2008. R. da Costa. Quantum Mechanics of a Cosntrained Particle. Phys. Rev. A, 23(4):1982–1987, 1981. Appendix Ek okuma Ek okuma II M. Burgess, B. Jensen Fermions Near Two Dimensional Surfaces Phys. Rev. A, 48(3):1861–1868, 1981. M. A. Olpak Dirac Equation on a 2+1 Dimensional Hypersurface arXiv:1010.2370 [hep-th], to be published in Mod. Phys. Lett. A. Appendix Ek okuma TEŞKKÜR EDERİM