Kaluza-Klein teorisi
Transkript
Kaluza-Klein teorisi
Başka Boyutlar Arayışı-1: Kaluza-Klein Teorilerinin Kısa Bir Tarihçesi ve Ekstra Boyutlu Modellere Giriş K. O. Ozansoy, Ankara Üniversitesi Fizik Bölümü İçerik 1. Kaluza-Klein teorilerinin kısa bir tarihçesi – Nordström birleştirme teorisi – Kaluza-Klein teorisi 2. Modern Kaluza-Klein Teorilerine Giriş-Temel Kavramlar – Kompaktlaştırma süreci ve yüksek boyutlarda skaler alan – Orbifold kompaktlaştırması 3. Ekstra Boyutlu Modeller için Bir Sınıflandırma – Evrensel ekstra boyutlar, ADD modeli, RS modelleri 4. Ekstra Boyutların Gözlenebilirliği – Yüksek enerji sınırları, Ters-kare kuvvet yasası, Kozmolojik sınırlar 5. Tartışma Ankara YEF Seminerleri-07 2 1. Kaluza-Klein Teorilerinin Kısa Bir Tarihçesi 1900’ lerin lerin başlarında başlarında doğada doğada bilinen bilinen iki iki temel temel etkileşme etkileşme 1900’ kütleçekimi(gravitasyon) (gravitasyon)ve veelektromagnetizma elektromagnetizmave veidi. idi. kütleçekimi Ankara YEF Seminerleri-07 3 J. C. Maxwell (1831-1879) Isaac Newton(1643-1727) Maxwell’ininElektromagnetizma ElektromagnetizmaDenklemleri Denklemleri Maxwell’ Newton’un unGravitasyon GravitasyonTeorisi Teorisi Newton’ r r Fg = −∇φ , ∇ 2φ = 4πGρ m r r 1) ∇.E = 4πρ q r r r ∂B r =0 2) ∇ × E + ∂t r r r 1 ∂E 4π r 3) ∇ × B − 2 = 2 J c ∂t c r r 4 ) ∇.B = 0 Ankara YEF Seminerleri-07 4 1905’te Einstein, Maxwell’ in elektromagnetizma teorisi ile uyumlu olan özel görelilik teorisini kurduktan sonra gravitasyonun da özel görelilikle uyumlu bir teorisinin kurulması için çalışmalar başladı. Albert Einstein(1879-1955) Einstein, Abraham, Nordström, Mie, Einstein ve Grossman, Einstein ve Fokker,… Ankara YEF Seminerleri-07 5 İlk defa özel görelilik teorisi ile uyumlu bir gravitasyon teorisi, Finlandiyalı fizikçi Gunnar Nordström tarafından 1913’ te kurulan skaler gravitasyon(*) teorisidir. Gunnar Nordström (1884-1923) Einstein’ ın genel görelilik teorisi 1915 yılında kurulduktan sonra, özellikle Merkür’ ün enberi presesyonu ve ışığın bir gravitasyon alanından bükülmesine ilişkin başarılı öngörülerinden sonra Nordström’ ün gravitasyon teorisi uzun yıllar dikkate alınmamıştır. (*) G. Nordström, Physik. Zeitschr. 13 1126,1912; Ann. d Phys. 40, 872, 1913; 42,533,1913 Ankara YEF Seminerleri-07 6 Nordström, kendi skaler gravitasyon teorisini kurduktan sonra, tüm doğa olaylarını, yani elektromagnetik ve gravitasyon etkileşmelerini, bir arada açıklayabilecek bir birleşik teori kurmaya çalıştı(*). Böyle bir teoriyi oluştururken şu gözlemlerden yararlandı: Özel görelilik teorisi Æ 3-boyutlu uzay + 1-boyutlu zaman = 4-boyutlu uzay-zaman Maxwell’ in Elektromagnetizma Teorisi Æ3 lü vektör potansiyeli + skaler potansiyel = 4 lü vektör potansiyeli Ax, Ay, Az + φ = Aµ ) ∂ β F αβ = 4πJ α Fµν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ 2 ) ∂ γ Fαβ + ∂ α Fβγ + ∂ β Fγα 1 =0 (*) G. Nordström, “On the possibility of a unification of the electromagnetic and gravitation fields”, Ankara YEF Seminerleri-07 Phys. Zeitsch. 15, 504 (1914) 7 Nordström’ün ünMaxwell’ Maxwell’in inelektromagnetizma elektromagnetizmateorisi teorisiile ilekendi kendiskaler skaler Nordström’ gravitasyonteorisini teorisinibirleştirmek birleştirmekiçin içintemel temeldüşüncesi düşüncesişu şuşekilde şekilde gravitasyon ifadeedilebilir: edilebilir: ifade Özel görelilik teorisine göre, 3-uzay boyutu ile 1-zaman boyutunun birleşimi, Maxwell’ in elektromagnetizma teorisindeki 1-boyutlu elektrostatik potansiyel ile 3boyutlu vektör potansiyelinin birleşimine karşılık geliyorsa; 1-boyutlu bir skaler alanla ifade edilecek gravitasyonun, elektromagnetizma ile birleşimi için 4boyutlu uzay zamana bir boyut eklenmesi gerekir. Æ 5- boyutlu uzay-zaman Ankara YEF Seminerleri-07 8 φ → t , x, y , z Özel görelilikte 4-boyutlu Uzay-zaman koordinatları , Ax , Ay , Az Elektromagnetik potansiyel Skaler gravitasyon alanı 4. Uzay koordinatı x0 , x1 , x2 , x3 5-boyutlu uzay-zaman , x5 ← φ , A1 , A2 , A3 , A5 5-li vektör potansiyeli Ankara YEF Seminerleri-07 9 ( r A = φ , A, A5 5-boyutlu potansiyel Elektrostatik potansiyel ) Skaler gravitasyon potansiyeli Magnetik vektör potansiyeli FMN = ∂ M AN − ∂ N AM ; ∂ N FMN = Genelleştirilmiş Stres-Enerji tensörü kM , c 5-boyutta Genelleştirilmiş “Maxwell Denklemleri” Æ 4-boyutta Maxwell denklemleri ∂ L FMN + ∂ M FNL + ∂ N FLN = 0, ∂ w FMN = 0 + 4-boyutta Skaler Gravitasyon denklemleri Nordström kabulü: “Silindir koşulu(Kaluza)” Ankara YEF Seminerleri-07 10 1.2. Kaluza-Klein Birleştirme Teorisi Einstein genel görelilik teorisini kurduktan sonra Nordström’ ün hem skaler gravitasyon teorisi hem de birleştirme teorisi önemini kaybetmişti. Theodor Kaluza(1885-1954) Polonyalı Matematikçi ve Fizikçi Oskar Klein(1894-1977), İsveçli Fizikçi Ankara YEF Seminerleri-07 11 Polonyalı matematikçi ve fizikçi Th. Kaluza, 1919’ da Einstein’ a gönderdiği makalesinde, Maxwell’ in elektromagnetizma teorisi ile Einstein’ ın genel görelilik teorisini, evrenin 5-boyutlu bir manifold olarak ele alındığı teorisinde birleştirdi. Daha sonra bu çalışma Einstein tarafından 1921’ de sunuldu. Th. Kaluza, “On the unity problem of physics”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Klasse 966(1921) Bu çalışma, Einstein’ ın genel görelilik teorisini Maxwell’ in elektromagnetizma Teorisi ile 5. bir boyutun varlığını öngörerek birleştiren ilk çalışmadır. Oskar Klein, 1926’ da Kaluza’ nın makalesini dikkate alarak özel göreliliğin 5-boyutlu teorisi ve kuantum teorisi üzerine makalesini yayınladı. O. Klein,”Quantum theory and five dimensional theory of relativity”, Z. F. Physik 37, 895(1926) Klein, elektrik yükünün kuantizasyonuna dikkat çekti ve kuantum teorisinin altındaki teorinin Kaluza’ nın teorisi olabileceğini önerdi. Schrödinger denkleminin özel göreliliğe uygun genelleştirmesi birbirinden bağımsız Olarak Schrödinger, Klein, Gordon, Fock, de Donder, vd.. tarafından kuruldu Ankara YEF Seminerleri-07 12 Æ Klein-Gordon denklemi Elektromagnetik alan tensörü ve Maxwell denklemleri Einstein alan denklemleri Fµν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ 1 8π Rµν − g µν R = Tµν 2 2 c 1) ∂ {α Fβγ } = 0 2) ∂ β Fαβ = J α r Aµ = (φ , A) ρ = Γµν g µν Elektromagnetik vektör potansiyeli ( 1 ρλ g ∂ µ gνλ + ∂ν g µλ − ∂ λ g µν 2 Uzay-zaman metriği 10 serbestlik derecesi 4-serbestlik derecesi g MN 5-boyutta metrik 15-serbestlik derecesi Ankara YEF Seminerleri-07 13 ) Ankara YEF Seminerleri-07 14 Kaluza birleştirme teorisi: 5-boyutlu dinamik, 4-boyutlu Einstein-Hilbert eyleminin 5-boyutlu bir genellemesi ile ifade edilir: I5 = − 1 16πG5 5-boyutlu metrik ∫ det( g MN ) R5 d 5 x 5-boyutta evrensel çekim sabiti 5-boyutta Ricci skaleri Silindir Koşulu (Nordström & Kaluza) Tüm dinamik değişkenlerin y koordinatına göre türevleri sıfır olsun. Örnek: ∂Aµ ( x, y ) ∂y = 0; ∂Fµν ( x, y ) ∂y = 0,... Æ Einstein alan denklemleri + Maxwell denklemleri Az sonra… Ankara YEF Seminerleri-07 15 Klein, 5. boyutun gözlenebilir olmayışını açıklamak için bu boyutun 1-küre(=çember) gibi kompakt bir uzay olduğunu ve yarıçapının çok küçük olduğunu önerdi: R=0.000000000000000000000000000000001m ?! M 5 = M 4 × S1 (t , x, y, z ) = ( x0 , x1 , x2 , x3 ) Bilinen 4-boyutlu uzay-zaman koordinatları x5 = y 5. boyut koordinat değişkeni Ankara YEF Seminerleri-07 16 5-boyutlu tüm dinamik alanlar için Fourier seri açılımı, F ( x, y ) = ∞ (n) F ∑ ( x )e iny R Kompakt uzayın yarıçapı n = −∞ Sonsuz tane alan terimi ! Örnekler g µν ( x, y ) = Aµ ( x , y ) = φ ( x, y ) = ∞ ∑ g µν n = −∞ ∞ ∑ Aµ (n) (n) ( x )e ( x )e iny R iny R n = −∞ ∞ (n) φ ∑ ( x )e iny R n = −∞ Ankara YEF Seminerleri-07 17 Silindir Koşulu Æ n ≠ 0 için tüm alan bileşenleri sıfır: g µν ( n≠0) , Aµ ( n≠0) g µν ( x, y ) = g Aµ ( x, y ) = A ,φ (0) (0) µν µ ( n≠0) =0 ( x), ( x), φ ( x, y ) = φ ( x ) (0) Ankara YEF Seminerleri-07 18 Æ Einstein-Maxwell Eylemi 5-boyutlu eylem integrali y-üzerinden integral alınırsa: 1 I5 = − 16πG5 ∫ 1 I5 = − 16πG5 det( g MN ) R5 d 5 x I 4 = ∫ det( g µν (0) 2πR 4 dy det( g ) R d x MN 5 ∫ ∫ 0 2 2 ⎛ e κ ( 0) ( 0 ) µρ ( 0)νσ ( 0 ) ( 0 ) ⎞ 4 1 (0) R+ ) det(φ ) ⎜⎜ − φ g g Fµν Fρσ ⎟⎟d x 16πG ⎠ ⎝ 16πG Sabit Φ için Einstein-Maxwell eylemi elde edilir G5 G= , 2πR Fµν (0) = ∂ µ Aν (0) − ∂ν Aµ (0) Ankara YEF Seminerleri-07 19 Kaluza-Klein teorisi üzerine kurulu bazı önemli çalışmalar 1. 60-70 ler Kaluza-Klein teorilerinin diğer etkileşmeleri de içerecek biçimde abelyen olmayan ayar simetrilerine genişletilmesi, de Witt vd. 2. 80ler Green, Schwarz, Witten, vd… sicim teorileri - Bozonik sicim teorisi 26-boyut Süpersicim teorileri 10-boyut Süpergravite teorisi 11-boyut 3. 90lar M-teorisi: sicim teorilerinin 11-boyutta birleştirilmesi 4. 99dan sonra büyük ekstra boyutlar: - ADD modeli - RS modelleri,… Ankara YEF Seminerleri-07 20 2. Modern Kaluza-Klein Teorilerine Giriş- Temel Kavramlar 2.1. Kompaktlaştırma Süreci ve Yüksek Boyutlarda Skaler Alan Ankara YEF Seminerleri-07 21 3-boyuttaki bir dönen küpün gölgesi 4-boyutlu bir hiper küpün gölgesi Ankara YEF Seminerleri-07 22 6-ekstra boyutÆ Calabi-Yau manifoldları 2-ekstra boyut= Küre yüzeyi Ankara YEF Seminerleri-07 23 Bazı Hatırlatmalar: Ankara YEF Seminerleri-07 24 Ankara YEF Seminerleri-07 25 Peryodik sınır koşulları: xÆx+2πR R R yarıçaplı çember üzerinde hareket eden bir parçacığın Momentumu Pn = n/R E2 = (pxc)2 + (pyc)2 + (pzc)2 +(mc2)2 5-boyutta m kütleli parçacığın enerjisi 4-boyutta m kütleli bir parçacığın enerjisi E2 = (pxc)2 + (pyc)2 + (pzc)2 + (pn c)2 + (mc2)2 4- boyutta “kütle” M = m+ Ankara YEF Seminerleri-07 n R 26 Ankara YEF Seminerleri-07 27 Kompleks Klein-Gordon Alanı-Çembersel Ekstra Boyut Ankara YEF Seminerleri-07 Silindir koşulu yok! 28 Taban durumu Ankara YEF Seminerleri-07 29 Bazı sonuçlar • Her bir alan için sonsuz bir Kaluza-Klein kulesi var: Elektronun Kaluza- Klein kulesi Fotonun Kaluza- Klein Kulesi Kuarkların Kaluza- Klein kulesi,… • Bilinen parçacıklar bu kulelerin taban durumlarına karşılık geliyorlar! • Kuledeki her bir durum taban durumu ile aynı kuantum sayılarına sahip • kütle özdurumları dejenere! Ankara YEF Seminerleri-07 30 2.2 Orbifold Kompaktlaştırması 1-küre: çember 2-küre: küre yüzeyi 2- torus ManifoldÆ köşe noktası-uç noktası yok, Sonlu doğrusal aralık 2-tane sonlu doğrusal aralık 1-küre x sonlu aralık Köşe noktaları-uç noktaları varÆ orbifold Ankara YEF Seminerleri-07 31 Matematiksel olarak bir orbifoldun kuruluşu: - Bir M manifoldu al, - M’ nin üzerinde bir Γ kesikli simetrisi tanımla, - M/ Γ bölüm uzayı bir orbifoldtur. Ankara YEF Seminerleri-07 32 Özdeş noktalar! Ankara YEF Seminerleri-07 33 - Orbifoldun sabit noktaları olmadan geri kalan uzay bir manifolddur, Ankara YEF Seminerleri-07 - Orbifoldun hacmi genelde manifoldun hacminden küçüktür. 34 Ankara YEF Seminerleri-07 35 Ankara YEF Seminerleri-07 36 Güncel terminolojide bazı kavramlar: Bulk: İçinde yaşadığımız 4-boyutlu uzayzaman ile birlikte bunlara dik Olarak öngörülen d-ekstra boyutun birlikte oluşturdukları (4+d)-boyutlu büyük evren Zar(brane): Bulk içindeki alt uzaylar; Örnek: Bulk 5-boyutlu uzay-zaman ise içinde yaşadığımız 3-boyutlu uzay bir 3-zar olarak ele alınır Ankara YEF Seminerleri-07 37 3. Ekstra Boyutların bir Sınıflandırması 1. Şimdiye kadar ele alınan ekstra boyutlarda tüm kuvvetler ve parçacıklar ifade edilebiliyorlardı: bu türden ekstra boyutlar Kaluza ve Klein’ ın orijinal olarak öngördükleri evrensel ekstra boyutlardır Evrensel ekstra boyutlarda tüm parçacıkların uyarılmış Kaluza-Klein durumları vardır. 2. Bilinen parçacıkların ve ayar kuvvetlerinin ekstra boyutlara kaçmalarına izin verilmeyen sadece gravitasyonun ekstra boyutlara geçmesine izin verilen “sadece-gravitasyon” türü ekstra boyutlar ADD türü ekstra boyutlar RS türü kıvrılmış ekstra boyutlar 5-boyutlu uzay-zaman için S5 = d4x dy {Lbulk + Lzar δ(y)} Ankara YEF Seminerleri-07 Bilinen dünya y=0 3-zarında 38 iz m i n vre e m Bizi Ankara YEF Seminerleri-07 39 4. Ekstra Boyutların Sınırları •Şu an için ekstra boyutlar hakkındaki en önemli deneysel gerçeklik: Herhangi bir türden herhangi bir ekstra boyuta dair bir kanıt henüz yok! •Güncel hızlandırıcılarda 10-18m~1TeV mertebesine kadar duyarlı ölçümler yapılıyor. •ADD ve RS türü büyük ekstra boyutlar varsa 1TeV in üzerindeki enerjilerde gözlenebilir •Bilinen parçacıklar ve ayar kuvvetleri bir 3-zara hapsedilmişse ve bulkun tümünde hareket edilmesine izin verilen tek alan graviton ise o zaman gravitasyon deneyleri ekstra boyutların araştırılmasında daha önemli olabilir. Böyle deneylerde, Newton’ un ters kare kuvvet yasası doğrudan(Cavendish türü deneylerle) test edilebilir veya astrofizik ya da kozmoloji gözlemlerinden yararlanılabilir. Ankara YEF Seminerleri-07 40 Cavendish türü deneyler Ters-kare kuvvet yasasından 4-boyutlu gravitasyon alanı(graviton) sorumlu kütleli gravitonların katkısı Ankara YEF Seminerleri-07 41 Bu bölge %95 Güvenilirlik Seviyesinde deneysel olarak dışarlanmış! g1 Ankara YEF Seminerleri-07 42 Hızlandırıcı Deneyleri Hızlandırıcılarda iki türlü ekstra boyut etkisi gözlenebilir: İlki, soldaki şekildeki gibi bir graviton 3-boyutlu dünya üzerinden ekstra boyutlara(megaevrene) kaçar ve ortada 3-boyutlu dünyada bir kayıp enerji gözlenir. Sağdaki etkileşmede graviton kısa süreliğine dünyayı terkeder ve hemen sonra iki fotona Ankara YEF Seminerleri-07 bozunarak dünyaya geri döner(D0 koloborasyonu) 43 Tartışma-1: Ekstra Boyutların olası sonuçları: • Kuvvetleri birleştirebilir • Newton yasası: kısa ve uzun mesafede değişebilir, gravitasyonun •Neden zayıf olduğunu açıklayabilir.∗ • EWSB: Higgs ile§, veya “Higgs olmadan”, parçacıkların kütle kazanma mekanizması hakkında fikir verebilir.¶ • Fermion kütleleri: Yukawa bağlaşımları • ν kütleleri/karışımlar: bulk neutrinoları∗∗ • GUT: †† • SUSY GUT: ∗ • yeni kozmoloji-karanlık madde adayları‡ kozmolojikl sabit.† ∗Dvali et al. §Cheng et al.; Luty et al.; Hall et al.; Ignatius et al.; Z. Chacko and A. Nelson ¶C. Csaki et al. kMirabelli and Schmaltz; Arkani-Hamed et al. ∗∗Mohapatra, Nandi, Perez-Lorenzana; Dienes et al.; Dimopoulos et al. ††Dienes, Dudas, Gherghetta; Dumitru and Nandi. ∗Hall and Nomura; Hebecker and March-Russell et al. ‡Binetruy et al.; Kaloper et al.; Csaki et al.; Flanagan et al.; Cline et al.; Kanti et al.; Mohapatra et al. †Arkani-Hamed et al.; Silverstein etAnkara al.; Luty et Seminerleri-07 al. YEF 44 Ankara YEF Seminerleri-07 45 Bazı Kaynaklar 1. G. Nordström, “On the possibility of a unification of the electromagnetic and gravitation fields”, Phys. Zeitsch. 15, 504 (1914) 2. Th. Kaluza, “On the unity problem of physics”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Klasse 966(1921) 3. O. Klein,”Quantum theory and five dimensional theory of relativity”, Z. F. Physik 37, 895(1926) 4. L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999) hep-ph/9905221; Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999) hep-th/9906064 5. T. Appelquist, et al. Modern Kaluza-Klein Theories, 1987 5. K. Dienes, 2002 TASI Lectures, 6. T. Rizzo, hep-ph/0409309 7. J. Hewett, 2006 Summer School on Particle Physics at ICTP Lecture Notes 8. Tao Han, Univ. of Arizona, Oct. 29, 2004, lecture notes Teşekkürler ! Ankara YEF Seminerleri-07 46