6.Konu Bir matrisin tersi ve Gramer Kuralı 6.1. Bir matrisin tersi 1
Transkript
6.Konu Bir matrisin tersi ve Gramer Kuralı 6.1. Bir matrisin tersi 1
6.Konu Bir matrisin tersi ve Gramer Kuralı 6.1. Bir matrisin tersi ] bir nxn tipinde matris olsun. O zaman [ 1. Teorem: İspat: A’nın i-inci satırı ile k-inci satırının yerini değiştirmesiyle A’dan elde edilen B matrisini göz önüne alalım. Bu durumda B iki özdeş satıra (i-nci ve k-inci satırlar) sahip bir matristir böylece det(B)=0 olur. Şimdi det(B)’nın k-inci satır boyunc açılımını yapalım. B’nin k-inci satırının elemanları kofaktörleri ise olur. Böylece göstermek istediğimiz şeydir. İkinci formül de benzer şekilde ispatlanabilir. 1.Ö.: [ ] olsun. O zaman | | | | | | olur. Şimdi 1.Tanım: A’nın ek matrisi(adjointi) [ ] bir nxn tipinde matris olsun. diye adlandırılan nxn tipindeki ek A matrisinin (i,j) elemanı, ’nin kofaktörüdür. Böylece [ ] olur. 2.Ö.: [ ] olsun. ek A’yı hesaplayalım. | | | | 1 | | | | | | | | | | | [ | | [ 2. Teorem: Eğer | ] ] bir nxn tipinde matris ise o zaman olur. İspat: [ ][ ] A(ekA) çarpım matrisindeki (i,j) –inci eleman { olur. Bu [ ] sonucunu ifade eder. A(ekA) çarpım matrisindeki (i,j) –inci eleman { olur. Böylece 3.Ö.: [ olur. ] olsun. [ [ Sonuç: Eğer ][ [ ] ] [ ] bir nxn tipinde matris ve 2 ] [ ise, o zaman ] [ ] biçimindedir. İspat: ( ) 4.Ö.: 3-4.örneklerdeki A matrisi için [ ] Gramer Kuralı 3.Teorem: n bilinmeyenli n denklemli bir sistem ve [ ] katsayılar matrisi olsun böylece verilen sistemi biçiminde yazabiliriz. Burada [ Eğer ] [ ]. ise sistemin şekilinde bir tek çözümü vardır. Burada , A’nın i-inci sütununun b ile yer değişmesiyle elde edilen matristir. İspat: Eğer ise A singüler değildir. Böylece 3 [ ] [ [ ] ] olur. Bu i=1,2,…,n için anlamını taşır. Şimdi [ ] olsun. Eğer i-inci sütunun kofaktörleri boyunca açılımı ile ’yi hesaplarsak olduğunu biliyoruz. Sonuç olarak için olur. 5.Ö: sistemin çözümünü Gramer Kuralı ile çözünüz. | | | | | elde ederiz. Bu durumda | | | | | olur. 4 1. 2. ise, o zaman ise, o zaman 3. . kA’ yı bulu uz . A ’ yı bulunuz. iii. matrisin tersini bulunuz. ] olsun. [ . kA’ yı bulu uz . 5. z. ] olsun. [ 4. 6.Ödevler: ol uğu u gös r ‘yı bulu uz. ise A ’ yı bulu uz. [ . ma r s ] matrisin tersini kullanarak bulunuz. 6. [ ] bir nxn tipinde matris olsun. O zaman ol uğu u gös r 7. z. sistemin çözümünü Gramer Kuralı ile çözünüz. 1. sistemin çözümünü Gramer Kuralı ile çözünüz. . sistemin çözümünü Gramer Kuralı ile çözünüz. 10. sistemin çözümünü Gramer Kuralı ile çözünüz. 5 rs bulu uz. formülü