MIMO channels with l..
Transkript
MIMO channels with l..
MIMO Kanallarda Sınırlı Hızda Geribesleme ve RVQ MIMO Channels with Limited Rate Feedback and RVQ Yrd. Dç. Dr. Ali Özgür Yılmaz Araş. Gör. Gökhan Muzaffer Güvensen Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü Orta Doğu Teknik Üniversitesi (ODTÜ), Ankara aoyilmaz@eee.metu.edu.tr guvensen@eee.metu.edu.tr Özetçe Çoklu alıcı-vericili anten sistemi kablosuz haberleşmede uzam çeşitlemesiyle birlikte getirdiği daha fazla serbestlik derecesinin bir sonucu olarak kapasiteyi önemli ölçüde arttırmaktadır. Fakat kapasitedeki bu artış çok-girişli çokçıkışlı (MIMO) sistemlerde kanal bilgisinin kusursuz biçimde bulunması sonucunda olmaktadır. Biz bu makalede, ilk olarak Kanal Durum Bilgisinin (CSI) alıcı tarafında kusursuz olarak bulunduğunu, fakat verici tarafında ise sınırlı hızdaki geri beslemenin bir sonucu olarak nicemlenmiş kanal bilgisinin bulunduğunu kabul ederek MIMO kanal kapasitesini hesapladık. İkinci durumda ise, alıcı tarafında kanal bilgisinin kestiriminde belli bir hatanın oluştuğunu göz önüne alarak, geri beslemeli MIMO kapasitesi üzerinde çalıştık. Genel olarak yukarıdaki iki durum için, rasgele vektörel nicemleme (RVQ) yöntemi ile birlikte indirgenmiş sayıda ön kodlayıcı kullanılması sonucunda ortaya çıkan kapasite incelenmiş ve kapasite kayıplarının ön kodlayıcı başına az sayıda bit kullanılması sonucunda bile çok fazla olmadığı anlaşılmıştır. Abstract The capacity increases promised by multi-input multi-output (MIMO) systems systems usually come with requirements in regard to channel knowledge. We study the capacity of a MIMO scheme with perfect channel state information (CSI) at the receiver side where the transmitter has only a quantized version of the CSI due to a limited rate feedback channel. Random vector quantization is investigated along with a reduced number of precoders. It is found out that capacity losses are quite tolerable even in the case of small number of bits per quantized precoder. 1. GİRİŞ Çok-girişli çok-çıkışlı (MIMO) sistemlerin getirdiği kapasite kazancının pratik sistemlerde elde edilebilmesi için alıcı ve verici tarafında kusursuz bir kanal bilgisine (CSI) ihtiyacımız vardır. CSI’nın doğru bir şekilde elde edilmesi pilot simgelerinin miktarı, kanal kestirim metodu gibi bir çok faktöre bağlıdır. Kanal bilgisini alıcı tarafından vericiye aktarmak için sınırlı hızda geri besleme metodu kullanılabilir ve bu da verici tarafında CSI’nın doğruluk derecesini belirler. Kanal kestiriminin doğru bir şekilde yapılmadığı durumda, MIMO kanalın girişim sınırlı olduğu gösterilmiştir [1]. Ayrıca yine [1]’de anlık geri besleme tekniğinin hatalı olsa bile hem düşük hem de yüksek işaret-gürültü oranı (SNR) durumunda yüksek kapasite kazançları sağladığı gözlenmiştir. Benzer biçimde, noktadan noktaya MIMO sistemleri ile MIMO yayın sistemlerinin kanal kapasitesi, alıcı tarafında kusursuz, verici tarafında ise nicemlenmiş kanal bilgisinin bulunduğu kabul edilerek birçok araştırmacı tarafından incelenmiştir. [2]’de ise MISO (çok-girişli tek-çıkışlı) kanal ile MIMO kanallarda kullanılmak üzere nicemleme kuralları ile nicemleyici tasarım ölçütleri önerilmiştir. Grassmanninan beamforming yöntemi niceleme tekniği olarak kullanılmış ve bu durumda, kod tablosunun büyüklüğü, kapasite-SNR kayıpları, kesinti performansı gibi konular incelenmiştir [3], [4]. MIMO yayın kanallarının sınırlı hızda geri besleme kullanılması sonucunda girişim limitli olduğu ve kapasitenin, SNR ile birlikte doğrusal artışı isteniyorsa, SNR arttıkça geri beslemede daha fazla sayıda bit kullanılması gerektiği gösterilmiştir [5]. Rasgele vektörel nicemleme yönteminin MISO sistemlerde kullanılması da [6]’da ele alınmıştır. Biz bu çalışmada noktadan noktaya MIMO kanallarının kapasitesini inceledik ve bunu yayın kanallarının kapasitesiyle karşılaştırdık. MIMO kanal matrisine tekil değerli ayrışım (SVD) yöntemi uygulayarak, kanalı paralel alt kanallara ayrıştırabiliriz. Her bir paralel kanal için ön kodlayıcılar ile güç seviyelerini verici tarafına göndererek, MIMO kanal kapasitesine ulaşabiliriz. Kanal kapasitesi, yüksek SNR seviyelerinde, CSI’nın verici tarafında bulunup bulunmamasından çok etkilenmese bile, SVD tekniği düşük SNR seviyelerinde ve de kapasiteye yakın çalışan uyarlanabilir şekilde kiplenmiş MIMO sistemlerinin tasarımında önem kazanmaktadır [8]. Bu makalede, ön kodlayıcıların verici tarafına geri besleme ile gönderildiği durum üzerinde yoğunlaşılmış ve kod tablosu RVQ yöntemi ile rasgele biçimde oluşturulmuştur. Bazı ölçütler yönünden kod tablosunda en yakın bulunan vektör verici tarafına iletilmektedir. Bu durumda, geri besleme hızının azaltılması için bütün ön kodlayıcılar kullanılmamış, onun yerine ön kodlayıcıların belli bir bölümünün kullanılması sonucunda ortaya çıkan kapasite hesaplanmıştır. Çalışmamızda, ikinci bölümde kullanılan sistem modelini açıkladık, üçüncü bölümde ise indirgenmiş ön kodlayıcı yöntemini önerdik. Dördüncü ve beşinci bölümlerde ise kanal kestiriminde hata oluşmadığı ve oluştuğu durumlar için kapasite ifadeleri elde edilmiştir. Ayrıca, elde edilen kapasite ifadeleri için analitik sınırlar bulunmuş ve yazı altıncı bölüm ile sonlandırılmıştır. 2. SİSTEM MODELİ Kalın küçük ve büyük harfler sırasıyla sütun vektörlerini ve matrisleri temsil etmektedir. Sayıllar ise yalın küçük harfler ile gösterilmişlerdir. Üst simge (.)* sayıllar için karmaşık eşlenik, vektör ve matrisler için karmaşık devrik alma işlemine karşılık gelmektedir. n x n birim matris ise In sembolü ile gösterilmektedir. Matrisin izi ve mutlak değer işlemlerini sırasıyla tr(.) ve |.| simgeleri temsil eder. Rasgele a vektörü için özilinti matrisi R a = E aa* ile gösterilmiştir ve E[] beklenen değer operatörüdür. Alıcı anten sayısı nr, verici anten sayısı nt olan noktadan noktaya MIMO kanalın genel ifadesi aşağıda verilmiştir; ~ ~ ~ ~ y = Hx + w (1) Burada; : nr x nt kanal matrisini, H x : elemanları gönderilecek bilgiyi kanal sembolleri olarak taşıyan vektörü, : sıfır ortalamalı uzamsal ve zamansal olarak simetrik w değeri 1’e düzgelenmiş varyansa sahip beyaz gauss gürültüsünü (ZMCSCG) göstermektedir. Blok sönümleme modeli göz önüne alındığında, gönderilen işaret üzerindeki ortalama güç kısıtını aşağıdaki gibi yazabiliriz; (2) tr ( R x ) ≤ P gerçekleştirmesi yapılmış ve kullanılan ortalama alt kanal sayısı hesaplanmıştır. Kapasiteye erişmek için kullanılan ortalama alt kanal sayısı SNR’nin artan bir fonksiyonudur. Bu nedenle, belli bir SNR değerinde, kapasiteye erişmek için ön kodlayıcı matrisin tamamını kullanmak gerekli değildir. Onun yerine, en güçlü kanallara karşılık gelen ön kodlayıcı vektörleri verici tarafına göndermek kapasiteye erişmek için yeterlidir. Böylece, geri besleme hızı düşürülebilir ve kullanılmayan diğer kanallar başka amaçlar için ayrılabilir. SNR seviyesi yükseldikçe yeni alt kanallar kullanılmak ve geri besleme hızı arttırılmak zorundadır. Tekil değerli ayrışım metodu (SVD) ile, MIMO kanalı min(nr,nt) tane alt paralel kanallara aşağıdaki gibi ayrıştırabiliriz; Öncelikle kanal matrisini SVD ile ayrıştırdığımızda: ~ H = UD V * (3) Bu durumda; ~ ~ ~ y = UDV x + w * (4) vektörü ön kodlayıcı matris, alt D bir köşegen matristir ve x kanallara güçlerin nasıl dağıtıldığını gösteren köşegen matris, ve özilinti matrisi birim matris olan x vektörünün çarpımı şeklinde yazılabilir: x = Vf Λ f x ve R x = I min(n r ,n t ) Gerekli birimcil dönüşümleri uygularsak; y = U y * . ve * , (4)’deki ifadeyi aşağıdaki gibi yazabiliriz; w=U w (5) y = DV V f Λ f x + w * Verici tarafında sınırlı hızda geri beslemeden dolayı kanal bilgisi tam olarak bulunmamaktadır, bu da nicemlenmiş ön kodlayıcı matris kullanılmasının sonucunda meydana gelmiştir. Bu yüzden, geri besleme durumunda V*Vf ≠ I ve de yeni ortalama güç kısıtı tr Λ 2f ≤ P olarak yazılabilir. ( ) 3. İNDİRGENMİŞ ÖN KODLAMA TEKNİĞİ Toplanır beyaz gauss gürültülü kanalların kapasitesinin düşük SNR değerinde güç sınırlı, yüksek SNR değerlerinde ise band genişliğine bağlı olduğu bilinmektedir [10]. Bu bilgi, birleşik güç kısıtlamasının olduğu çoklu kanallarda, düşük SNR seviyelerinde kapasiteyi attırmak için bütün gücü sadece belli bir grup alt kanallara, yüksek SNR seviyelerinde ise bütün serbestlik derecelerini kullanmak için bütün kanallara güç dağıtmamız gerektiğini gösterir. Bu sebeble, düşük SNR değerlerinde, paralel alt kanalların sadece çok az bir kısmı kullanılmalı, SNR seviyesi yükseldikçe, haberleşme hızını arttırmak için daha fazla sayıda alt kanal kullanıma girmelidir. Şekil-1’de uzamsal waterfilling yöntemiyle 4 x 4 MIMO kanalda, kapasiteye erişmek için kullanılan paralel alt kanal sayısı gözükmektedir. Bu şekilde, her bir SNR değeri için (gürültü seviyesi 1 olarak alınmıştır) 20,000 kanal Şekil-1. 4x4 kanal kapasitesine erişmek için kullanılan ortalama alt kanal sayısı 4. RVQ ile KAPASİTE HESABI Analitik kolaylığından ötürü sınırlı hızda geri beslemenin noktadan noktaya MIMO kanal kapasitesi üzerindeki etkisini RVQ yöntemini kullanarak inceleyeceğiz. 2Nf tane nicemleyici {q , q ,..., q } vektörleri, 1 2 2 Nf nicemleyici kod tablosunu yaratmak için RVQ tekniği ile rasgele olarak oluşturulmaktadırlar. Burada, Nf ön kodlayıcı vektör başına karşılık gelen bit sayısını göstermektedir. Nicemleyici vektörler, nt-boyutlu birim çember üzerindeki yön bağımsız dağılım üzerinden bağımsız olarak çekilen nt boyunda karmaşık vektörlerden oluşur [5], [6]. RVQ yöntemini, indirgenmiş ön kodlama ile birlikte kullanabiliriz. Bu durumda, analitik kolaylık ve pratik sistemlerdeki uygulanabilirliğinden ötürü, yalnızca iki alt kanalı kullanacağız. Gerekli değişkenleri yeni durumda tekrar tanımlarsak; v* y d 0 y = 1 , D = 1 , V* = * 1 , y2 0 d2 v 2 λ 0 x Vf = [ v 1f v 2f ] , Λ f = 1 , x = 1 , 0 λ2 x2 (6) ifade (5)’i kullanarak aşağıdaki eşitliği elde edebiliriz. * y1 d1 v 1 v1f = y 2 d 2 v* 2 v1f d1 v*1 v 2f λ1 x1 w1 + d 2 v* 2 v 2f λ 2 x 2 w 2 (7) Bu denklemi dikkatli bir şekilde incelediğimizde, her bir alt kanalda işaret terimi, beyaz gürültü terimi ve diğer alt kanaldan kaynaklanan girişim terimi olduğu görülür. Demodülasyonda, diğer kanaldan gelen girişim dikkate alınmasz ise, uyumlu filtreleme işlemi alınan işaret üzerinde tıpkı yayın kanallarındaki gibi uygulanabilir. Bu durumda, iki alt kanalın işaret-girişim-oranı (SIR) aşağıdaki gibi verilebilir; d12λ12 | v*1v1f |2 SIR1 = 2 2 * , d1 λ2 | v 1v2f |2 +1 (13) 2 2 * 2 2 2 2 2f 2 2 * 2 2 1 2 1f d λ |v v | SIR2 = , d λ | v v | +1 | v*1 v 2f |2 Benzer biçimde, (8) Uyumlu filtreleme (match filtering) sonucunda elde edilen kapasite ise Cmf = log 2 (1 + SIR1 ) + log 2 (1 + SIR 2 ) (9) Böylece kanal matrisi H ve nicemlenmiş ön kodlayıcı vektörler verildiğinde (9)’da verilen eşitliği kullanarak Cmf’yi hesaplayabiliriz. Nicemleme işlemi aşağıda verilen kural doğrultusunda yapılmaktadır; v if = arg m ax N | v *i q j |2 j = 1, 2 ,..., 2 x nt −2 1−1− ,0 ≤ x ≤1−a 1−a * 2 F (x| | v 1v1f | =a) = 0 ,x <0 |v*2v1f |2 1 ,x >1−a (10) f ’nin | v* 2 v 2f |2 koşulu altındaki dağılımı da (13)’de verilen dağılıma sahiptir. Basit gösterim açısından, değişken Vij = v*i v jf tanımladık. Vij şeklinde yeni bir rasgele ilerleyen kısımlarda sıklıkla kullanılacaktır. Elde ettiğimiz olasılık dağılımlarını kullanarak uyumlu filtreleme sucunda bulunan kanal kapasitesini hesaplayabiliriz. İki farklı yol kullanarak, ergodik kapasite Monte Carlo benzetim yöntemi ile hesaplanmış ve yukarıda bulunan olasılık dağılım fonksiyonlarının geçerliliği Şekil-2’de gösterilmiştir. v1 ve v2 vektörleri verildiğinde, ön kodlayıcı matrisler (10)’da verilen yöntemi kullanarak birbirlerinden bağımsız olacak biçimde oluşturulabilirler. RVQ yöntemi, nicemleyici kod defterlerinin sonsuz sayıda oluşturulup, bunların ortalama performanslarının incelendiği rasgele kodlama yaklaşımıdır. Bu durumda, | v*1 v1f |2 ve | v*2 v 2f |2 ‘nin bağımsız özdeşçe dağılmış rasgele değişkenler olduğu görülmektedir. Bu değişkenlerin olasılık dağılım işlevleri [3] ve [4]’de aşağıdaki gibi verilmiştir; f n t −1 2 − − 1 1 x , 0 ≤ x ≤ 1 ( ) F * 2 (x) = 0 ,x < 0 | v 1 v1f | 1 ,x >1 ( ) N (11) (9)’da verilen kapasiteyi hesaplaya bilmemiz için kalan 2 tane daha değişkenin olasılık dağılımını bilmek zorundayız. v*i v jf , v1 vektörünün v2 üzerine iz düşümüne karşılık gelmektedir. Bu durumda, v1 ve v2’nin dikliklerini kullanarak aşağıda verilen ifadeyi oluşturabiliriz; v*2 v1f = v*2 ( v1f − ( v1* v1f ) v1 ), v1f' (12) v1f' = v1f − ( v1* v1f ) v1 ,bu vektörünü tanımlayarak, vektörün, v1 vektörüne dik bir uzayda yer aldığı gözükür. Bu durumda, v1f' vektörü ( v1f' )* v1f' = 1− | v1* v1f |2 vektörleri verildiğinde, v1f (nt-1) boyutlu, büyüklüğü olan bir vektördür. v1 ve v2 ve v 2f vektörleri birbirlerinden bağımsızdırlar. v2 vektörünün yön bağımsız dağılıma sahip v ' 1f üzerine izdüşümü düşünüldüğünde, aşağıdaki edilir; koşullu olasılık * | v 2 v1f | dağılımı 2 için elde Şekil-2. Uyumlu filtreleme sonucunda elde edilen, 4 x 4 MIMO kanal için ergodik kapasite. Çizgiler, olasılık dağılım fonksiyonları ile işaretler ise rasgele oluşturulan kod defterleri kullanılarak elde edilmiştir. Şekil-2’den çıkarılabilecek bir diğer sonuç ise kanal kapasitesinin SNR ile doğrusal olarak yükselmediğidir. Bu durumda kapasiteyi attırmak için Nf arttırılmalıdır, fakat yinede kapasitenin girişim limitli olduğu gözlenmektedir. İdeal ön kodlayıcılarınkine çok yakın bir performans için çok fazla sayıda bit (Nf) kullanılması gerekmektedir. Bu durumda, kod tablosu çok fazla büyüyecek ve ideal ön kodlayıcıya daha yakın bir tablo bulma olasılığımız artacaktır. Yayın kanallarından farklı olarak noktadan noktaya MIMO kanallarda alıcı, hem gerçek kanalı hem de nicemlenmiş ön kodlama vektörlerini bilmektedir. Bu durumda, eş kanal matrisini tanımlarsak, aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz; H = DV* Vf , (5)’i y = HΛ f x + w (14) 2 adet ön kodlayıcı kullanan durumdaki kanal kapasitesi; C 2pre = log 2 | I 2 + HΛ f2 H* | (15) ve bu kapasiteye en küçük ortalama kare hata kestirimi (MMSE) ve ardışık girişim yok etme yöntemi ile erişilebilir [15]. Kapasiteyi hesaplarken Waterfilling yöntemi uygulanmamış, onun yerine en iyi alt yaklaşımlardan biri olarak, alt kanalların ikisine de eşit güç verilerek analiz yapılmıştır, Λ 2 f = P I 2 .Bu sayede, güç dağılımı için geri 2 besleme kullanılmasına gerek kalmamış, elde edilen sonuçlar belli SNR değerlerine kadar gerçek kapasiteye çok yakın kalmıştır. Şekil-3’de 2 ön kodlayıcılı durumların 4x4 kanal kapasitesi ile karşılaştırması yapılmıştır. Her bir nokta, 10,000 Monte Carlo benzetimi ile oluşturulmuş, RVQ ile bulunan olasılık dağılımları kullanılarak elde edilmiştir. Şekilden de görülebileceği gibi, nicemlemenin çok da ince olmadığı (4 ile 8 bit arası) 2 ön kodlayıcılı durumun, Nf değerine bağlı olarak 2-8dB arasına kadar tüm kanallara eşit güç dağıtıldığı duruma göre 4x4 kanal kapasitesine daha yakın olduğu görülmektedir. SNR seviyesi yükseldiğinde ise 2 ön kodlayıcılı durumun 4x4 kapasiteden uzaklaştığı görülmektedir çünkü bu durumda tüm serbestlik dereceleri kullanılmamaktadır. Özetle, 2 ön kodlayıcılı durumdaki haberleşme hızı, kanal kapasitesine, geri beslemede az sayıda bit kullanılması durumunda bile (düşük SNR değerleri için) yakın kalmakta ve 5dB’ye kadar eşit güç dağılımına göre 1-2dB kazanç olduğu gözlenmektedir. Şekil-3. 4x4 ergodik kanal kapasiteleri. Tüm kanalların kullanıldığı durum (2 durum: Waterfilling ve eşit güç dağıtımı) ile 2-önkodlayıcılı durumdaki (3 durum: Waterfilling ve eşit güç dağıtımı, Nf =∞ ile eşit güç dağıtımında sınırlı hızda geri besleme) kapasitelerin karşılaştırılması 5. RVQ YÖNTEMİ İLE KAPASİTE SINIRI ve KANAL KESTİRİM HATASININ KAPASİTEYE ETKİSİ RVQ yöntemi ile oluşturulan 2-ön kodlayıcılı durumdaki kanal kapasitesine bir üst sınır oluşturabiliriz. Fakat, bildirimizi 4 sayfayla sınırlı tutmak zorunda olduğumuz için burada uzun sayılabilecek ispata yer veremiyoruz, sadece bu sınırın analitik ifadesinini verebiliyoruz; P P Elog2 | I + HH* |≤ log2 (1+ E[d12 ](E[| V11 |2 ] + E[| V12 |2 ]) 2 2 P + E[d22 ](E[| V21 |2 ] + E[| V22 |2 ]) 2 P2 + E[d12d22 ]E[| V11 |2 ]E[| V22 |2 ] 4 P2 + E[d12d22 ]E[| V12 |2 ]E[| V21 |2 ]) 4 (16) nt ), (17) nt −1 n −1 n E[| V12 |2 ] = E[| V21 |2 ] = (1− B(1, t ))2Nf B(2Nf , t ) nt − 2 nt −1 Burada, B(x, y) beta fonksiyonudur [6]. E[| V11 |2 ] = E11 = E22 =1− 2Nf B(2Nf , d12 , d 22 , d12 d 22 değişkenlerinin ortlama değerleri Monte Carlo benzetimi kullanılarak hesaplanmıştır. Deneysel momentler, 100,000 gerçekleştirme yapılarak, bunlar üzerinden ortalama alınarak bulunmuştur. Şekil-4’de ise gerçek kapasite değerleri ile ona bulunan sınırın birbirine çok yakın olduğu gözlenmektedir. Elde ettiğimiz üst sınır ile gerçek ergodik kapasite arasındaki fark 0.2dB ile 0.4dB arasında değişmektedir. Şekil-4. 2-ön-kodlayıcılı durumdaki haberleşme hızları için bulunan üst sınırların Monte Carlo benzetim değerleriyle karşılaştırılması Kanal kapasitesini hesaplarken, alıcı tarafında kusursuz kanal durum bilgisinin bulunduğunu kabul etmiştik, ikinci aşamada ise alıcı tarafında MMSE yötemiyla kanal kestirimi yapıldığını ve bir kestirim hatası oluştuğunu kabul edersek, ˆ , burada Ĥ , kestirim sonucunda yeni durumda; H=H+E bulunan kanal matrisi ve E de kestirim hatasıdır. Ĥ ve E arasındaki korelasyon sıfırdır ve E, ZMCSCG olasılık dağılımına sahiptir, varyansı ise; 2 ) − E (H ˆ 2 ) olarak belirtilir [17], σ 2E = M M S E = E ( H ij ij burada σ 2E göstermektedir. kanal kestirimindeki doğruluk derecesini Bu yeni durumda ise 2-ön kodlayıcılı kanalın kapasitesi aşağıdaki gibidir; C 2pre (lower) = log 2 | I 2 + P/2 HH* | σ2E P + 1 Burada yine alt kanallara eşit güç dağıtılmıştır, (18) P Λ2f = I 2 . 2 Sayfa limitlerini aşmamak adına, yukarıdaki ifadenin çıkarımına bu bildiride yer veremiyoruz. Şekil-5’de farklı σ 2E değerleri için 2 ön kodlayıcı kullanıldığı durumdaki haberleşme hızlarının farklı SNR değerlerine göre değişimi gösterilmektedir. σ 2E değerlerinin çokta küçük olmadığı durumlarda (şekilde σ 2E =0.1), SNR seviyesi yükseldikçe, σ 2E P terimi çok büyümekte ve kapasite belli bir SNR değerinden sonra sabit kalmaktadır. Şekil-5. 2-ön kodlayıcılı sınırlı hızda geri beslemeli MIMO sistemde, kanal kestirimindeki doğruluk derecesinin kapasiteye etkisi 6. SONUÇLAR Bu bildiride, genel olarak noktadan-noktaya MIMO kanalların sınırlı hızda geri besleme durumundaki kapasitelerini inceledik. İlk olarak, kapasiteye erişmek için kullanılan ön kodlayıcıların sayısının çok fazla bir performans kaybına neden olmadan, kanalın ortalama SNR değerine bağlı olarak azaltılabileceğini gördük. Daha sonra, RVQ yöntemi ile noktadan-noktaya MIMO kanalların, geri besleme sırasında, yayın kanallarına nazaran çok daha az sayıda bit kullanılması ile kapasiteye yakın çalıştıklarını gözlemledik. Son olarak, ön kodlayıcılı durumlarda kanal kapasitesine, pratik sistem tasarımında kullanılabilecek, üst sınır oluşturduk. Ayrıca, kanal kestiriminde belli bir hatanın oluştuğunu kabul ederek bunun ergodik kapasite üzerindeki etkisini inceledik. Daha sonraki çalışmalarımıza kanalın değiştiği, fakat en son yapılan kanal kestirindeki hatanın değerinin, alıcı tarafında tespit edildiğini kabul ederek, bu senaryo için yine sınırlı hızda geri besleme durumunda maksimum habeleşme hızlarını ve analitik sınırları bulmaya çalışacağız. Buna ek olarak, daha fazla sayıda ön kodlayıcının kullanılması durumunda oluşan ergodik kapasiteyi hesaplamaya çalışacağız. 6. KAYNAKÇA [1] T. Yoo, E. Yoon, and A. Goldsmith, “MIMO capacity with channel uncertainty: Does feedback help?,” Proc. IEEE Globecom, pp. 96–100, 2004. [2] J.C. Roh and B.D. Rao, “Channel feedback quantization methods for MISO and MIMO systems,” Proc. IEEE PMIRC, vol. 2, pp. 805–809, Sept. 2004. [3] D.J. Love, R.W. Heath Jr., and T. Strohmer, “Grassmanninan beamforming for multiple-input multipleoutput wireless systems,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 49, no. 10, pp. 2735–2747, Oct. 2003. [4] K.K. Mukkavilli, A. Sabharwal, E. Erkip, and B. Aazhang, “On beamforming with finite rate feedback in multipleantenna systems,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 49, no. 10, pp. 2562–2579, Oct. 2003. [5] N. Jindal, “MIMO broadcast channels with finite rate feedback,” Proc. IEEE Globecom, 2005. [6] C. Au-Yeung and D.J. Love, “On the performance of random vector quantization limited feedback beamforming in a MISO system,” preprint. [7] I. E. Telatar, “Capacity of multi-antenna Gaussian channels,” Europ. Trans. Telecommun., vol. 10, pp. 585–598, Nov./Dec. 1999. [8] Z. Zhou, B. Vucetic, M. Dohler, and Y. Li, “MIMO systems with adaptive modulation,” IEEE Trans. Vehicular Tech., vol. 54, no. 5, pp. 1828–1842, Sept. 2005. [9] E.G. Larsson and P. Stoica, Space-Time Block Coding for Wireless Communications, Cambridge University Press, 2003. [10] A. Goldsmith, Wireless Communications, Camridge University Press, 2005. [11] L. Devroye, Non-Uniform Random Variate Generation, New York: Springer-Verlag, 1986. [12] G.D. Forney Jr, “Shannon meets Wiener II: On MMSE estimation in successive decoding schemes,” Proc. 2004 Allerton Conf., 2004. [13] P. Stoica, Y. Jiang, and J. Li, “On MIMO channel capacity: An intuitive discussion,” IEEE Signal Processing Mag., pp. 83–84, May 2005. [14] T.M. Cover and J.A. Thomas, Elements of Information Theory, Wiley & Sons, 1991. [15] C. G. Khatri, “Distribution of the largest or the smallest characteristic root under null hyperthesis concerning complex multivariate normal populations,” Ann. Math. Stat., vol. 35, pp. 1807–1810, Dec. 1964. [16] M. Kang and M.-S. Alouni, “Largest eigenvalue of complex Wishart matrices and performance analysis of MIMO MRC systems,” IEEE J. Sel. Areas Comm., vol. 21, no. 3, pp. 418–426, April 2003. [17] T. Yoo and A. Goldsmith, “Capacity of fading MIMO channels with channel estimation error,”in Proc. IEEE Int. Conf. Commun., vol. 2, June 2004, pp. 808813.