mühendisler için vektör mekaniği:dinamik
Transkript
mühendisler için vektör mekaniği:dinamik
10.Basım BÖLÜM 11 MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Phillip J. Cornwell Lecture Notes: Brian P. Self California Polytechnic State University Parçacık Kinematiği Çeviri: Mühendisler Mekaniği: Dinamik faydalanılmıştır. için Vektör kitabından Yrd. Doç. Dr. Cihan MIZRAK Karabük Üniversitesi Mekatronik Mühendisliği Bölümü © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Contents Giriş Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız ve İvme Parçacığın Hareketinin Belirlenmesi Örnek Problem 11.2 Örnek Problem 11.3 Düzgün Doğrusal Hareket Sabit İvmeli Doğrusal Hareket Birden Fazla Parçacığın Hareketi: Bağıl Hareket Örnek Problem 11.4 Birden Fazla Parçacığın Hareketi : Bağımlı Hareket Örnek Problem 11.5 Doğrusal Hareket Problemlerinin Grafik Çözümleri Diğer Grafik Yöntemleri Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız ve İvme Vektör Fonksiyonlarının Türevleri Hız ve İvmenin Dik Bileşenleri Ötelenen Bir Çerçeveye Göre Hareket Teğetsel ve Normal Bileşenler Radyal ve Enine Bileşenler Örnek Problem 11.10 Örnek Problem 11.12 © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 2 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK ÖNEMLİ HATIRLATMALAR • Ders, sınıfın kapısı kapandığı andan itibaren başlayacaktır. Kapıyı kapalı görenler bir sonraki derse gelebilir. • Ders süresince kendi aranızda konuşmak yasaktır. Bir sorunuz olursa bana yöneltin. • Ders süresince telefonlar sessiz konumda olmalıdır. • Ders dahil tüm soru ve görüşleriniz için; Eposta: cihanmizrak@karabuk.edu.tr http://web.karabuk.edu.tr/cihanmizrak/ © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK ÖNEMLİ HATIRLATMALAR Ders Kitabı (Türkçe) : Beer, Johnston, Cornwell-Mühendisler için Vektör Mekaniği: Dinamik Çevirisi (Ömer Gündoğdu, Osman Kopmaz) Yaşar Pala-Mühendislik Mekaniği Dinamik © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK ÖNEMLİ HATIRLATMALAR • Temel matematik bilgilerinizi tazeleyin (trigonometrik dönüşümler, türev, integral) • Bunun yanında Mühendislik Mekaniği-STATİK (Birim vektör, Serbest Çizim Diyagramı) © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK DİNAMİK NEDİR Türk Dil Kurumu’na göre; Mekaniğin KUVVET, HAREKET, ENERJİ arasındaki ilişkilerini inceleyen dalı. Diğer bir deyiş ile; HAREKET’e sebep olan ve hareketi değiştiren unsurlar ile HAREKETin sonuçlarını inceler. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Öyle ise HAREKET olmasaydı 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Katı Elastik Akışkan MEKANİK NEDİR KUVVETlerin etkisi altındaki cisimlerin HAREKET li ve DURAĞAN hâllerini inceleyen bilim dalıdır. MÜHENDSİLİK MEKANİĞİ MÜHENDSİLİK MEKANİĞİ DİNAMİK STATİK KİNETİK HAREKETin sebebi © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. KİNEMATİK HAREKETin sonucu 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK HAREKET NEDİR Sebep ENERJİ Sonuç Dönme T=Iα KUVVET MOMENTUM YER DEĞİŞTİRME HAREKET İVME Öteleme F=ma Yada; ∫ HIZ Dönme+Öteleme KİNEMATİK KİNETİK Şeklindedir. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK HAREKET NEREDE GERÇEKLEŞİR Üç Boyutta (Uzay) Tek Boyutta (Doğrusal) HAREKET Dört Boyutta © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. İki Boyutta (Düzlemsel) 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK ÜÇ z BOYUTTA KOORDİNAT SİSTEMLERİ z k j y . i . x z KOORDİNAT SİSTEMLERİ Kartezyen z r y . ϕ x θ Küresel © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. x θ r y Silindirik 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Ne hareket Eder KÜTLESİ OLAN HERŞEY Peki IŞIK O zaman; Parçacık: Cismin kütlesinin bir noktada toplandığı varsayılarak işlem yapılan cisimlerdir. Bu cisimlerin ataleti Katı Cisim: İç ve dış etkilerle şeklini değiştirmeyen (Kabul. N.Ş.A’da böyle değildir), yani esnemeyen ve ataleti olan cisimdir. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Göreceğİmİz konular TOPARLAYACAK OLURSAK; Parçacıkların KİNEMATİK Analizi Katı Cisimlerin © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. KİNETİK 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız ve İvme • Doğrusal hareket: Bir doğru boyunca parçacığın hareketi. • Konum koordinatı: Bir doğru üzerinde parçacığın orijinden pozitif yada negatif olan uzaklığı belirtir. • Bir parçacığın yer koordinatı her t zamanı için biliniyorsa, parçacığın hareketi biliniyordur deriz. • Hareketin zaman tablosu x ve t cinsinden mesela; x 6t 2 t 3 gibi bir denklem yada yandaki şekilde x ve t ye bağlı grafik olarak verilebilir. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 13 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız ve İvme • Parçacığın t zamanında işgal ettiği P yerini ve buna karşılık gelen x koordinatını göz önüne alalım. Aynı zamanda parçacığın t+Dt, zamanında bulunduğu P’ yerini düşünelim. Buna göre; Dx Ortalama hız Dt Dx Anlık hız v lim Dt 0 D t • Anlık hız pozitif yada negatif değer alabilir. Ani hızın şiddeti ise parçacığın süratini verir. • Türevin tanımından; Dx dx v lim dt Dt 0 Dt e.g., x 6t 2 t 3 dx v 12t 3t 2 dt © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 14 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız ve İvme • Parçacığın t anındaki hızı v ve daha sonraki bir t+Dt anındaki hızı v+Dv ise parçacığın; Dv Anlık ivmesi a lim Dt 0 Dt • Anlık ivme; - Pozitif: Pozitif hız artabilir yada Negatif hız azalabilir. - Negatif: Pozitif hız azalabilir yada Negatif hız artabilir. • Türevin tanımından; Dv dv d 2 x a lim 2 dt dt Dt 0 D t e.g. v 12t 3t 2 a © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. dv 12 6t dt 11 - 15 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK İçerik Quiz Parçacığın kinematiği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) Parçacığın hızı daima pozitiftir. b) Konum-zaman grafiğinin eğimi hızı verir. c) Parçacığın konumu sıfır ise hız sıfır olmak zorundadır. d) Parçacığın hızı sıfır ise ivmesi sıfır olmak zorundadır. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 16 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız ve İvme • Örneğimizden, x 6t 2 t 3 v dx 12t 3t 2 dt dv d 2 x a 12 6t dt dt 2 • t = 2 s için x, v, ve a nedir? - at t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0 • Dikkat edilirse a=0 olduğunda vmax olur. Bu nedenle hız-zaman eğrisinin türevi bu noktada sıfırdır. • t = 4 s için x, v, ve a ne olur ? - at t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2 © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 17 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız ve İvme • İvme genellikle uygulanan kuvvetten yola çıkarak elde edilmektedir. (Bu konu kinetik kısmında detaylı anlatılacaktır) Generally have three classes of motion - ivme, zamanın bir fonksiyonu olarak, a = f(t) - ivme, konumun bir fonksiyonu olarak, a = f(x) - ivme, hızın bir fonksiyonu olarak, a = f(v) ifade edilebilir. • Kuvvetin pozisyonun bir fonksiyonu olduğu fiziksel bir örnek düşünebilirmisiniz? yay © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. sürtünme 11 - 18 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK İvme, zamanın, konumun ve hızın birer fonksiyonu ise; Eğer… a a t a a x Kinematik ilişki dt dx dv and a v dt dv a (v ) dt dv v a v dx © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. v t v0 0 dv a t dt dv a (t ) dt v dv a x dx a a v İntegral v x v0 x0 v dv a x dx v t dv v a v 0 dt 0 x v v dv x dx v a v 0 0 2 - 19 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.2 SOLUTION: • v(t) ve y(t) değerleri için sabit ivmeden yola çıkılarak integre edilecek • Hızın sıfır olduğu noktada maksimum yükseklik olur ve buradan bu noktaya çıkmak için gerekli olan t süresi ve y mesafesi bulunur. Bir top yerden 20 m yukarıdaki bir pencereden düşey olarak yukarı doğru 10 m/s’lik bir hızla atılıyor. Topun • Top yere çarptığında ise y=0 olur ve 2 ivmesinin sabit ve aşağı doğru 9.81 m/s buradan gerekli süre ile topun hızı olduğu bilindiğine göre; bulunur. • Herhangi bir t anında ve herhangi bir yükseklikteyken v hızını ve y yüksekliğini, • Topun ulaştığı maksimum yüksekliği ve buna karşılık gelen t zamanını, • Topun yere çarptığı zamanı ve bu sıradaki hızı belirleyip v-t ve y-t eğrilerini çiziniz. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 20 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.2 ÇÖZÜM: • v(t) ve y(t) için integrasyon işlemleri dv a 9.81 m s 2 dt v t t vt v0 9.81t dv 9.81 dt v0 0 vt 10 dy v 10 9.81t dt y t t dy 10 9.81t dt y0 0 m m 9.81 2 t s s y t y0 10t 12 9.81t 2 m m y t 20 m 10 t 4.905 2 t 2 s s © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 21 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.2 • Hızın sıfır olduğu noktada t; vt 10 m m 9.81 2 t 0 s s t 1.019 s • Bu zaman süresince topun aldığı mesafe ve pozisyonu; m m y t 20 m 10 t 4.905 2 t 2 s s m m y 20 m 10 1.019 s 4.905 2 1.019 s 2 s s y 25.1 m © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 22 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.2 • Topun son pozisyonu sıfır olduğundaki t; m m y t 20 m 10 t 4.905 2 t 2 0 s s t 1.243 s manasiz t 3.28 s • Bu noktadaki hızı; m m vt 10 9.81 2 t s s v3.28 s 10 m m 9.81 2 3.28 s s s v 22.2 © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. m s 11 - 23 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.3 ÇÖZÜM: a kv v(t)’yi bulmak için; • Integrate a = dv/dt = -kv v(x)’yi bulmak için; Belli tipteki silahlarda geri tepmeyi azaltmak için kullanılan bu fren mekanizması, esas itibari ile namluya bağlı ve yağla doldurulmuş sabit bir silindir içinde hareket eden bir pistondan ibarettir. Namlu v0 hızı ile geri teptiğinde piston hareket eder ve yağ, piston ve namlunun hızlarıyla orantılı yavaşlamasına neden olacak tarzda, pistondaki deliklerden geçmeye zorlanır. Yani a=-kv’dir. Buna göre v’yi t cinsinden, x’i t cinsinden, v’yi t cinsinden ifade ediniz ve hareket eğrilerini çiziniz. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. • Integrate a = v dv/dx = -kv x(t)’yi bulmak için; • Integrate v(t) = dx/dt 11 - 24 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.3 ÇÖZÜM: • v(t) için Integrate a = dv/dt = -kv v dv a kv dt t dv v v k 0 dt 0 ln v t v0 kt vt v0 e kt • x(t) için Integrate v(t) = dx/dt. v t dx v0 e kt dt x t 0 0 kt dx v e 0 dt t 1 x t v0 e kt k 0 xt © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. v0 1 e kt k 11 - 25 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.3 • v(x) için Integrate a = v dv/dx = -kv. dv a v kv dx dv k dx v x v0 0 dv k dx v v0 kx v v0 kx • Alternatif, v0 1 e kt k with xt and vt v0 e kt or e kt then xt © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. v0 vt 1 k v0 vt v0 v v0 kx 11 - 26 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Group Problem Çözümü Bir bovling topu, bir bottan gölün yüzeyine 8 m/s’lik hızla çarpacak şekilde bırakılıyor. Su içindeyken topun aşağıya doğru a=3-0.1v2 ivmesine sahip olduğunu kabul ederek topun gölün tabanına vurduğundaki hızını bulunuz. +y Hangi integrasyonu kullanmak gerekir? v (a) (b) t dv a t dt v0 0 x v v dv x dx v a v 0 0 © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. (c) v x v0 x0 v dv a x dx v (d) t dv v a v 0 dt 0 2 - 27 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Group Problem Çözümü ÇÖZÜM: • Uygun kinematik ilişkileri kullanarak zamana, konuma yada hıza bağlı ivme ifadesini belirleyin. Durgun pozisyondan harekete geçen otomobil hızla orantılı olarak • Aracın yolun yarısına kadar olan kat ettiği mesafeyi bulun. • Hızı bulmak için integrasyon yapın. a 3 0.001v 2 eşitliği ile ivmelenmektedir. 200 m yarıçapa sahip dairesel bir yol üzerinde ilerleyen aracın yolun yarısına geldiği andaki hızı ne olur? © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 28 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Grup Problem Çözümü Verilen: a 3 0.001v 2 vo = 0, r = 200 m Bulunacak: v, ½ yol Maximum hız Uygun kinematik ilişkiyi seç. İvme hızın bir fonksiyonu olduğundan katedilen mesafe, aşağıdaki kinematik ilişki yardımıyla elde edilir. Onun için zamana bağlı kinematik ilişkileri kullanmaya gerek yoktur. dv v a v dx x v v dv a v v0 dx x0 Yolun yarısına kadar olan toplam yerdeğiştirme x r 3.14(200) 628.32 m © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 29 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Group Problem Çözümü Verilenlere göre integral ve sınırları x v v dv dx x v a v 0 0 628.32 0 v v dv 2 3 0.001v 0 dx İntegralin hesaplanması ve hızın elde edilmesi 1 2 v 628.32 ln 3 0.001v 0 0.002 628.32(0.002) ln 3 0.001v 2 ln 3 0.001(0) ln 3 0.001v 2 1.2566 1.0986= 0.15802 Her iki taraf e tabanında yazılmasıyla © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3 0.001v 2 e0.15802 2 - 30 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Group Problem Çözümü Buradan v 3 0.001v 2 e0.15802 3 e0.15802 v 2146.2 0.001 v 46.3268 m/s 2 Maksimum hız nasıl hesaplanacak? Hızın maksimum olduğu yerde ivme sıfırdır. 0.001v 2 3 Buradan vmax a 3 0.001v 2 3 0.001 vmax 54.772 m/s © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 31 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Düzgün Doğrusal Hareket Serbest düşüş esnasında paraşütlünün sahip olduğu maksimum hız, paraşütlünün ağırlığının havanın direnç kuvvetine eşit olduğu zaman gerçekleşir. Bu hareket düz bir çizgi boyunca devam ederse buna düzgün doğrusal hareket denir. Düzgün doğrusal hareket yapan parçacık için hız sabit ve bu nedenle de ivme sıfıra eşittir. dx v constant dt x t x0 0 dx v dt x x0 vt x x0 vt BU DURUM SADECE DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKETTE GEÇERLİDİR. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 32 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Sabit İvmeli Doğrusal Hareket Eğer cisim üzerine uygulanan kuvvet sabit ise bu cisim için sabit ivmeli doğrusal hareket yapıyor denir. Sürtünmenin ihmal edildiği durum için serbest düşme hareketi. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 33 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Sabit İvmeli Doğrusal Hareket Sabit ivmeli doğrusal hareket yapan bir parçacığın ivmesi sabittir. Gördüğünüz Fizik I dersinden tanıdık gelecek ifadeler; dv a constant dt dx v0 at dt x v t dv a dt v0 0 t dx v0 at dt x0 dv v a constant dx v v0 at x x0 v0t 12 at 2 0 v x v0 x0 v dv a dx v 2 v02 2a x x0 BU DURUM SADECE SABİT İVMELİ DOĞRUSAL HAREKETTE GEÇERLİDİR. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 34 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Birden Fazla Parçacığın Hareketi Birden fazla parçacığın hareketini düşünecek olursak, bu parçacıklar birbirinden bağımsız yada bağımlı olarak hareket edebilmektedirler. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 35 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Birden Fazla Parçacığın Hareketi: Bağıl Hareket • İki parçacığın aynı doğru üzerindeki hareketi için zaman aynı başlangıç anından itibaren kaydedilmeli ve yer değiştirmelerde aynı orijinden ve aynı doğrultuda ölçülmelidir. x B x A B’nin A’ya göre bağıl yer değiştirmesi xB x A xB A xB A v B v A B’nin A’ya göre bağıl hızı vB v A vB A vB A a B a A B’nin A’ya göre bağıl ivmesi aB a A aB A aB A © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 36 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.4 ÇÖZÜM: • Topun hareketin sabit ivmeli doğrusal bir hareket olduğu görülüp, başlangıç anındaki konum, hız ve ivme değerlerinin belirlenmesi • Asansörün hareketinin sabit hızla doğrusal hareket olduğu ve buradan yer değiştirmesinin belirlenmesi Bir top asansör boşluğunda 12 m’den • düşey doğrultuda 18 m/s’lik bir başlangıç hızıyla yukarıya fırlatılıyor. Aynı anda açık platformlu bir asansör, yukarı doğru 2 m/s’lik sabit hızla hareket halinde 5 m yükseklikten • geçiyor. (a) Topun ne zaman ve nerede asansöre çarpacağını (b) top asansöre çarptığı anda topun asansöre göre bağıl hızını bulunuz © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Top asansöre çarptığında birbirlerine göre bağıl yer değiştirmelerinin aynı olduğu ve buradan çarpma zamanının belirlenmesi Topun asansöre göre bağıl hızını bulmak için topun hızı ve asansörün hızının bağıl hız ifadesinde yerlerine konulması 11 - 37 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.4 ÇÖZÜM: • O orijini yer seviyesinde yerleştirip pozitif yönü yukarı doğru seçersek, topun başlangıç konumu, y0=+12 m, başlangıç hızı v0=+18 m/s ve ivme a=9.81 m/s2 ‘den; v B v0 at 18 m m 9.81 2 t s s m m y B y0 v0t 12 at 2 12 m 18 t 4.905 2 t 2 s s • Tekrardan O orijini yer seviyesinde yerleştirip pozitif yönü yukarı doğru seçersek, asansörün başlangıç konumu, y0=+5 m, başlangıç hızı v0=+2 m/s ‘den; m vE 2 s m y E y0 v E t 5 m 2 t s © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 38 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.4 • Topun asansöre göre bağıl konumu çarpma anında aynı olduğundan; yB E 12 18t 4.905t 2 5 2t 0 t 0.39 s meaningles s t 3.65 s • Çarpma zamanı elde edildikten sonra asansörün som konumu ve topun asansöre göre olan bağıl hızı; y E 5 23.65 vB E y E 12.3 m 18 9.81t 2 16 9.813.65 v B E 19.81 © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. m s 11 - 39 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Birden Fazla Parçacığın Hareketi: Bağımlı Hareket • Parçacığın konumu bir yada birden fazla parçacığın konumuna bağlı olabilir. • B kütlesinin konumu A kütlesinin konumuna bağlıdır. Halat esnemeyen sabit uzunlukta olduğu için her bir kütlenin referans düzlemine göre olan mesafelerinin toplamı sabittir. x A 2 x B sabit (tek serbestlik dereceli) • A, B ve C kütleleri birlikte bağımlı hareket gerçekleştirir. 2 x A 2 x B xC sabit (iki serbestlik dereceli) • Konumun doğrusal hareketi için hız ve ivme ifadeleri de benze şekildedir. dx dx A dx 2 B C 0 or dt dt dt dv dv dv 2 A 2 B C 0 or dt dt dt 2 © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2v A 2v B vC 0 2 a A 2 a B aC 0 11 - 40 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.5 ÇÖZÜM: • Orijin üst yatay yüzeye yerleştirilir ve pozitif yönü aşağı doğru seçilir. • A bileziğinin sabit ivmeli doğrusal hareketinden L mesafesini alması için gerekli t bulunur. A bileziği ve B bloğu şekilde gösterildiği gibi C, D ve E gibi üç makaradan geçen • D makarasının sabit ivmeli doğrusal bir kabloyla bağlanmışlardır. C ve E hareketinden t zamanındaki son konumu, makaraları sabittir. Buna karşılık D makarası 75 mm/s’lik sabit bir hızla • B bloğunun hareketi A bileziği ve D aşağıya doğru çekilen bir bileziğe makarasına bağlı olduğundan t zamanı tutturulmuştur. t=0’da A bileziği K için bloğun bağımlı hareketi, yerinden itibaren sabit bir ivmeyle ve ilk hızsız olarak aşağıya doğru hareket etmeye başlamaktadır. L noktasından • Konumun türevlendirilmesi ile B bloğunun geçerken A bileziğinin hızının 300 mm/s hızı ve ivmesi elde edilmiş olur. olduğu bilindiğine göre tam bu sırada B bloğunun yüksekliğindeki değişim, hız ve 11 - 41 ivmesini bulunuz. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.5 ÇÖZÜM: • Orijin üst yatay yüzeye yerleştirilir ve pozitif yönü aşağı doğru seçilerek • A bileziğinin sabit ivmeli doğrusal hareketinden sırasıyla ivme ve t zamanı; v A2 v A 0 2a A x A x A 0 2 2 mm 300 2a A 200 mm s a A 225 mm s2 v A v A 0 a At mm mm 300 225 2 t s s © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. t 1.333 s 11 - 42 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Sample Problem 11.5 • D makarasının düzgün doğrusal hareketinden t zamanı için konumu; xD xD 0 vD t mm xD xD 0 75 1.333 s 100 mm s • B bloğunun A ve D’ye göre olan bağımlı hareketinden, halatın boyu sabit olacağından t zamanı için orijine göre olan herbirinin konumları toplamı; x A 2 x D x B x A 0 2 x D 0 x B 0 x A x A 0 2x D x D 0 x B x B 0 0 8 in. 24 in. x B x B 0 0 xB xB 0 400 mm © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 43 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.5 • B bloğunun konum ifadesi türevlendirilerek hız ve ivme; x A 2 xD xB sabit v A 2v D v B 0 mm mm 300 2 75 vB 0 s s a A 2a D a B 0 mm 225 2 vB 0 s © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. mm vB 450 s mm a B 225 2 s 11 - 44 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Grup Problemi A bloğu 6 m/s’lik sabit hızla sola doğru hareket ediyor. Buna göre B bloğunun hızını bulunuz. Çözüm adımları • Serbest çizim diagramı çizilir ve koordinat ekseni tanımlanır. • Kısıt eşitliği yazılır. • Kısıt eşitliği türevlendirilerek hız değeri elde edilir. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 45 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Grup Problem Çözümü Verilenler: vA= 6 m/s sol tarafa hareket Bulunacak: vB xA Bloğun ne kadar hareket ettiği önemsiz. Çünkü halatın boyu sabit. yB Serbest Çizim diagramı çizilir ve koordinat eksenleri tanımlanır. Kısıt eşitliğinden; xA 3 yB constants L Kısıt eşitliğinin birinci mertebeden türevi; 6 m/s + 3vB 0 v B 2 m/s Burada xA ‘nın büyük, yB’nin diğerine göre küçük değer aldığı görülmektedir. NEDEN © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 46 Mühendisler genellikle konum, hız ve ivme değerlerini sensörler aracılığı ile veri şeklinde elde ederler. Grafik çözüm yöntemi bu verilerin analiz edilmesinde sıklıkla kullanılmaktadır. Data Fideltity / Highest Recorded Punch 180 160 Boksörün vuruş anında yumruğundan ivme sensörü aracılığı ile alınmış zamana göre ivmelenme değerleri 140 Acceleration (g) 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Doğrusal Hareket Problemlerinin Grafik Çözümleri 120 100 80 60 40 20 0 47.76 47.77 47.78 47.79 47.8 47.81 Time (s) © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 47 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Doğrusal Hareket Problemlerinin Grafik Çözümleri • Verilen x-t eğrisinin eğiminden elde edilen, v-t eğrisi • Verilen v-t eğrisinin eğiminden elde edilen, a-t eğrisi © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 48 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Doğrusal Hareket Problemlerinin Grafik Çözümleri • Verilen a-t eğrisin t1 ve t2 zaman aralığı için altında kalan alanın hesaplanması ile elde edilen v-t eğrisi • Verilen v-t eğrisin t1 ve t2 zaman aralığı için altında kalan alanın hesaplanması ile elde edilen x-t eğrisi © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 49 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Diğer Grafik Metodları • Moment-alan metodu bir parçacığın her hangibir andaki yerini a-t grafiğinden elde etmek için kullanılır. x1 x0 altıltınd alan v t eğğisinin v1 v0t1 t1 t dv v0 dv = a dt eşitliğinden x1 x0 v0t1 v1 t1 t a dt v0 v1 t1 t a dt a-t eğrisinin t = t1 çizgisine göre v0 birinci eylemsizlik momenti under. x1 x0 v0t1 area under a-t curve t1 t t abscissa of centroid C © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 50 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Diğer Grafik Metodları • Parçacığın ivmesinin v-x eğrisi yardımıyla bulunması: dv dx AB tan av BC subnormal to v-x curve © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 51 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız ve İvme Bezbol ve otomobilin eğrisel hareketi • Parçacığın doğrusal hareketten farklı olarak bir eğri boyunca iki boyutta gerçekleştirdiği hareket eğrisel hareket. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 52 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız ve İvme • Parçacığın verilen bir t anında işgal ettiği P yerini tanımlamak için öncelikle x, y, z gibi sabit referans sistemi seçilir ve O orijiniyle P noktasını bağlayan r vektörü çizilir. Bu r vektörüne t zamanında parçacığın yer vektörü de denilir. • Parçacığın t + Dt anında işgal ettiği P’ yerini tanımlayan r’ vektörünü ele alacak olursak © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 53 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız ve İvme Ani hız Ani Sürat (Vektör) (skaler) Dr dr v lim Dt 0 D t dt © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Ds ds Dt 0 D t dt v lim 11 - 54 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız ve İvme v • Parçacığın herhangi bir t anında sahip olduğu hız, ve t+∆t anında sahip v olduğu hız ise; Dv dv a lim anlık ivme (vektör) Dt 0 D t dt • Parçacığın herhangi bir t anında ve t+∆t anındaki hızı düşünüldüğünde; • İvme vektörünün doğrultusu genellikle parçacığın yörüngesine ve hızına teğet değildir. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 55 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız ve İvme • Parçacığın hız vektörünün zamana göre değişiminden elde edilen yörüngeye parçacığın ivmesi her zaman teğettir. Bu yörüngeye hodograf denir. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 56 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Vektör Fonksiyonlarının Türevleri • Pu u, skaler değişkenine bağlı vektör fonksiyonu olsun dP DP Pu Du Pu lim lim du Du 0 Du Du 0 Du • Türevlerin toplamı d P Q dP dQ du du du • Skaler ve Vektörel fonksiyonların çarpımların türevi d f P df dP P f du du du • İki fonksiyonun skaler ve vektörel çarpımlarının türevleri d P Q dP dQ Q P du du du d P Q dP dQ Q P du du du © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 57 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Hız ve İvmenin Dik Bileşenleri • P parçacığının r yer vektörünü dik bileşenlere ayırarak r xi y j zk • Hız vektörü, dx dy dz v i j k xi y j zk dt dt dt vx i v y j vz k • İvme vektörü, d 2 x d 2 y d 2 z a 2 i 2 j 2 k xi y j zk dt dt dt ax i a y j az k © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 58 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Hız ve İvmenin Dik Bileşenleri • Mesela bir top mermisinin hareketi düşünüldüğünde hava direnci ihmal edildiğinde her bir eksen için ayrı ayarı ivme ifadeleri düzenlenebilir. a x x 0 a y y g a z z 0 Başlangıç koşullarından, v x 0 , v y , v z 0 0 x0 y 0 z 0 0 0 İki kere integrasyon işleminden sonra, v x v x 0 x v x 0 t v y v y gt 0 y v y y 12 gt 2 0 vz 0 z0 • Hareketin yatay bileşeni sabit hızlı doğrusal hareket • Hareketin dikey bileşeni sabit ivmeli doğrusal hareket • Eğik atış hareketinde dik bileşenler üzerindeki hareket dik bileşenler üzerinde ayrı ayrı değerlendirilir. 11 - 59 © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.7 ÇÖZÜM: • Yatay ve dikey bileşenlerdeki hareketler ayrı ayrı düşünülür. • y-yönündeki hareket denklemleri yazılır • x-yönündeki hareket denklemleri yazılır. • Yatay doğrultudaki mesafeden yola Bir top mermisi 150 m çıkarak merminin toplam uçuş süresi yükseklikteki bir uçurumun hesaplanır. kenarından yatayla 30 açıda 180 m/s’lik bir başlangıç hızıyla • v =0 anında merminin çıkabileceği azami y ateşleniyor. Hava direncini ihmal yükseklik hesaplanır. ederek (a) Topla merminin yere düştüğü nokta arasındaki uzaklığı (b) merminin yerden itibaren ulaşabileceği en fazla yüksekliği bulunuz. © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 60 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.7 ÇÖZÜM: Verilenler: (v)o =180 m/s (y)o =150 m (a)y = - 9.81 m/s2 (a)x = 0 m/s2 Dikey hareket– sabit ivmeli Yatay hareket – sabit hızlı: Choose positive x to the right as shown © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 61 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Örnek Problem 11.7 ÇÖZÜM: Yatay mesafe için, Merminin zeminde ulaşacağı son konumu (2) nolu denklemde yerine yazılırsa, Merminin toplam havada kalma zamanı t bulunur. (4) nolu denklemde bulunan t zamanı yerine yazıldığında Azami yükseklik vy=0 olduğu anda gerçekleşir. Merminin zeminden ulaşabileceği azami yükseklik= © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 62 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Concept Quiz Eğer mermi 150 m yükseklikten tekrar ateşlenirse yatay yönde alabileceği mesafe aşağıdaki durumlardan hangisinde daha fazla olur? a) b) c) d) Fırlatma açısı 45 olma durumunda Fırlatma açısı 45 ’den küçükse Fırlatma açısı 45 ’den büyükse Başlangıç hızını dikey bileşeni artırıldığında © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 63 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Grup Problem Çözümü 12.2 m 1.5 m ÇÖZÜM: Bir beyzbol makinesi, beyzbol toplarını yatay v0 hızıyla fırlatıyor. h yüksekliğinin 788 mm olması istendiğine göre (a) v0 bulunuz. • Yatay ve dikey bileşenlerdeki hareketler ayrı ayrı düşünülür. • y-yönündeki hareket denklemleri yazılır • x-yönündeki hareket denklemleri yazılır • Topun 788 mm deki pozisyonu için varış zamanı bulunur © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 11 - 64 10. Basım MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK Grup Problem Çözümü Verilenler : x= 12.2 m, yo = 1.5 m, yf= 788 mm. Bulunacak: vo y-yönündeki hareketin analizi y f y0 (0)t x-yönündeki hareketin analizi 1 2 gt 2 x 0 (vx )0 t v0t 12.2 m (v0 )2.047 s 1 2 0.788 1.5 gt 2 0.712 m 4.905t 2 v0 5.96 m / s t 2.047 s © 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 65