(,),*,+,,2 A 0 1(,*,,2 B 0 1*,+,,2 3Complements: " A 0 1`,),+2 B 0 1`,(,)2
Transkript
(,),*,+,,2 A 0 1(,*,,2 B 0 1*,+,,2 3Complements: " A 0 1`,),+2 B 0 1`,(,)2
Ex: S = [1; 2; 3; 4; 5; 6] A = [2; 4; 6] B = [4; 5; 6] –Complements: A = [1; 3; 5] B = [1; 2; 3] –Intersections: A \ B = [4; 6] A \ B = [5] –Unions: A [ B = [2; 4; 5; 6] A [ A = [1; 2; 3; 4; 5; 6] = S 1 Ozan Eksi, TOBB-ETU Ex: E¼ ger 2 tane iş pozisyonu için 3 tane aday varsa (Bu adaylar¬A, B, C diye gösterelim) –I·ş da¼ g¬l¬m¬n¬n kaç farkl¬şekilde yap¬labilece¼ gi permutasyondur. I·lk işi üç kişiden herhangi birine, ikinci işi ise geri kalan iki kişiden birine verebilirsiniz. Sonuncusu için ise tek seçenek kal¬r. Yani 3*2*1=6 şekilde bu işler da¼ g¬t¬labilir (AB, AC, BC, BA, CA, CB) –Ama sorumuz iki iş için üç kişi aras¬ndan kaç farkl¬grup oluşturulabilece¼ gi olursa cevab¬m¬z 3 tür (AB, AC, BC) 2 Ozan Eksi, TOBB-ETU Örnek 1: 5 işi 5 kişiye kaç farkl¬şekilde da¼ g¬t¬labiliriz: 5! 5 P5 = =5 4 3 2 1 (5 5)! –Yani birinci iş 5 kişiden herhangi birine, ikinci iş geri kalan 4 kişiden herhangi birine, .... Örnek 2: 5 işi 2 kişiye kaç farkl¬şekilde da¼ g¬t¬labilir: 5! 5 4 3 2 1 5 P2 = = =5 4 (5 2)! 3 2 1 3 Ozan Eksi, TOBB-ETU Permütasyon de¼ gerini, işi alan 5 kişinin tüm olas¬ s¬ralamalar¬na bölersek, s¬ralaman¬n önemli olmad¬g¼¬kombinasyon de¼ gerini bulmuş oluruz 5 P 5! 5 4 3 2 1 5 5 = = =1 C5 = 5! (5 5)!5! 0! 5! Yani e¼ ger beş işçi varsa, beş iş ancak bir gruba verilebilir I·kinci örnekte is yine permütasyon de¼ gerini işi alan iki kişinin tüm s¬ralamalar¬na bölüyoruz 5 P 5 4 5 2 C2 = = = 10 2! 2! 4 Ozan Eksi, TOBB-ETU Örnek: Bir zar at¬m¬n¬n sonucunda örnek uzay¬n¬z (Sample space) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} –Zar¬n 4’ten büyük gelme olay¬n¬(event) E olarak adland¬ral¬m. Dolay¬s¬yla E = {5, 6} n(E) 2 1 P (E) = = = n(S) 6 3 –For more complicating examples, you can use combinations formula C12 2!=[(2 1)! 1!] 2 1 = = = 6 C1 6!=[(6 1)! 1!] 6 3 5 Ozan Eksi, TOBB-ETU Örnek 1: Metal bir paray¬ bir çok kere havaya atma deneyini ele alal¬m. Yeteri kere havaya atarsak toplam at¬ş say¬s¬n¬n yaklaş¬k yar¬s¬defetura (ya da yaz¬) geldi¼ gini gözlemleyebiliriz. Bu gözleme dayanarak tura gelme ihtimalinin 0.5 oldu¼ gunu ç¬karabiliriz, P(T)=.5 –The law of large numbers is a theorem in statistics that states that as the number of trials of the experiment increases, the observed empirical probability will get closer and closer to the theoretical probability 6 Ozan Eksi, TOBB-ETU Örnek 2: The New England Journal of Medical Stu¤’da yay¬nlanm¬ş bir makale, kovboylar¬n 63% ünün eyer yaras¬na sahip oldu¼ gu, geri kalan 52% sinde ise ayak e¼ gilmesi gözlemlendi¼ gini, %40 ¬nda ise her iki hastal¬g¼¬nda gözüktü¼ günü bildirmiştir –E olay¬ "Rastgele seçilen bir kovboyun eyer yaras¬na sahip olmas¬ olsun". Dolay¬s¬yla şu ç¬kar¬m¬yapabiliriz: P(E)=.63 7 Ozan Eksi, TOBB-ETU Some Examples for Classical Probability Örnek 1: I·ki zar¬n birlikte at¬ld¬g¼¬nda toplamlar¬ için tüm olas¬sonuçlar (sample space) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }. Di¼ ger yandan her bir sonucun meydana gelme ihtimali bu sefer eşit de¼ gil. Örne¼ gin toplam¬n 2 olmas¬ için her bir zar¬n 1 gelmesi laz¬m, ama 3 toplam¬n¬ ilk zar 1 ve ikinci zar 2 gelirse, ya da bunun tam tersi olacak şekilde elde edebiliriz. Bu durumda tüm örnek uzay¬gösteren bir tablo sonuç olas¬l¬klar¬n¬ hesaplamada yararl¬olabilir 8 Ozan Eksi, TOBB-ETU 2d Dice 1 2 3 4 5 6 1st Dice 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12 9 Sum Freq. Prob. 2 1 1/36 3 2 2/36 4 3 3/36 5 4 4/36 6 5 5/36 7 6 6/36 8 5 5/36 9 4 4/36 10 3 3/36 11 2 2/36 12 Ozan1Eksi, TOBB-ETU 1/36 Örnek 2: Dört tane benzer iş pozisyonu için 3’ü kad¬n, 5’i erkek olmak üzere toplam 8 aday olsun. Bu kişilerden her birinin pozisyonlar için seçilme ihtimalini ayn¬ kabul edelim. Bu dört pozisyondan hiç birine kad¬n seçilmemesinin ihtimali nedir –8 iş için mümkün olan 4’lü kombinasyonlar: 8! 8 7 6 5 4! 8 C4 = = = 70 (4 4)! 4! 4! 4 3 2 1! 10 Ozan Eksi, TOBB-ETU –Kad¬nlar¬n işe seçilememesi, 4 işin 5 erke¼ ge verilmiş olmas¬demek olur ki 5 erkek aras¬ndan 4 kişi şu kadar karkl¬kombinasyonda seçilebilir: 5! 5 C4 = =5 1! 4! –Böylece soruda ilgilendi¼ gimiz olay¬n olas¬l¬g¼¬: C45 5 1 = = 8 C4 70 14 11 Ozan Eksi, TOBB-ETU Ayn¬sonucu şu şekilde de elde edebiliriz –Birinci aday¬n erkek olma ihtimali: 5=8 –I·kinci aday¬n da erkek olma ihtimali: 4=7 Çünkü 7 kişi içinde sadece 4 tane erkek kald¬ –Böylece soruda ilgilendi¼ gimiz olay¬n olas¬l¬g¼¬: 5 4 3 2 1 = 8 7 6 5 14 This is how you may calculate probability in the case of draw without replacement. 12 Ozan Eksi, TOBB-ETU Örnek 3: Bir kesenin içinde 5 tane mavi, 3 tane de k¬rm¬z¬bilye olsun. I·htimaliyle ilgilendi¼ gimiz olay ise kesenin içine bakmadan ard arda 4 tane mavi bilye çelmemiz olsun –E¼ ger bilyeleri çektikten sonra onlar¬tekrar kesenin içine koymazsak, ilgilendi¼ gimiz olas¬l¬k 1 5 4 3 2 = 8 7 6 5 14 C45 (= 8 ) C4 olarak bulunabilir (draw without replacement.) –Another example would be lotteries, as each 13 Ozan Eksi, TOBB-ETU time we buy a lottery ticket the number of remaining tickets declines E¼ ger bir bilyeyi çektikten sonra ve di¼ ger bilyeyi şekmeden önce ilk çekti¼ gimiz bilyeyi tekrar keseye koyarsak, ilgilendi¼ gimiz olas¬l¬k bu sefer 5 5 5 5 8 8 8 8 C15 (= 8 C1 C15 C18 C15 C18 C15 ) 8 C1 şeklinde hesaplan¬r. Burada dikkat edilirse her bir mavi bilye çekme ihtimali bir öncekinden ba¼ g¬ms¬zd¬r (draw with a replacement) 14 Ozan Eksi, TOBB-ETU Örnek 4: Varsayal¬m ki 3 tane bilgisayar, içinde 10 tane Gateway, 5 tane Compaq, ve 5 tane Acer marka bilgisayar bulunan bir yerden rastgele seçilecek. Bu 3 biligiyardan 2 sinin Gateway, 1 inin de Compaq marka olma ihtimali nedir? 15 Ozan Eksi, TOBB-ETU –20 biligisayardan 3 tane seçilmesine dair tüm olas¬sonuçlar (sample space) 20! 20 N = C3 = = 1140 (20 3)! 3! –10 tane Gateway bilgisayar içinden kaç farkl¬ şekilde 2 tane bilgisayar seçilebilece¼ gi 10! 10 C2 = = 45 (10 2)! 2! 16 Ozan Eksi, TOBB-ETU –5 tane Compaq bilgisayar içinden kaç farkl¬ şekilde 1 tane bilgisayar seçilebilece¼ gi 5! 5 C1 = =5 (5 1)! 1! –Son olarak, ilgilendi¼ gimiz olay¬n ihtimali NA C210 C15 45 5 225 PA = = = = = 0:197 20 N 1140 1140 C3 17 Ozan Eksi, TOBB-ETU Yine ayn¬ihtimal şu şekilde de hesaplayabiliriz –I·lk bilgisayar¬n Gateway olma ihtimali: 10=20 –I·kinci bilgisayar¬n Gateway olma ihtimali: 9=19 –Üçüncü bilgisayar¬n Compaq olma ihtimali: 5=18 –Dolay¬s¬yla ilgilendi¼ gimiz olay¬n ihtimali: 10 9 5 3 = 0:197 20 19 18 3 say¬s¬Compaq bilgisayar¬n ilk, son, ya da ortada seçilme ihtimallerine karş¬l¬k geliyor (C13) 18 Ozan Eksi, TOBB-ETU Örnek: A: Zar¬n 5 gelme ihtimali B: Zar¬n 3ten büyük olma ihtimali –P (B) = 3=6 A \ B = 5 1=6 = 1=3 P (AjB) = 3=6 P (A \ B) = 1=6 A and B are then de…ned independent if and only if P (AjB) = P (A) –then P (A \ B) = P (A) P (B) 19 Ozan Eksi, TOBB-ETU Örnek: Kullan¬lm¬ş araba park¬ndaki arabalar¬n 70%’inin klimas¬(AC), 40%’¬n¬n CD çalar’¬(CD), 20%’sinin de her ikisi de olsun 20 Ozan Eksi, TOBB-ETU –(Conditional Probability - Şartl¬Olas¬l¬k) Klimas¬olan bir arac¬n CD’sinin de olma ihtimali nedir? yani P(CD j AC)=? CD No CD Total AC .2 .5 .7 Not AC .2 .1 .3 Total .4 .6 1.0 P (CD \ AC) 0:2 P (CDjAC) = = = 0:2857 P (AC) 0:7 21 Ozan Eksi, TOBB-ETU –(Statistical Independence - I·statistiki ba¼ g¬ms¬zl¬k) AC ve CD olaylar¬ istatistiksel olarak ba¼ g¬ms¬zlar m¬d¬r? P (AC \ CD) = 0:2 P (AC) = 0:7 & P (AC) = 0:4 P (AC\CD) = 0:2 6= P (AC)P (CD) = 0:28 Dolay¬s¬yla hay¬r, ba¼ g¬ms¬z de¼ gillerdir 22 Ozan Eksi, TOBB-ETU Using a Tree Diagram P(AC n CD) = .2 CD Has Given AC or no AC: .7 = ) C Doe s h a v e not . 5 CD P(A C sA a H P(AC n CD) = .5 .7 .2 .3 D C Has Do e hav s not eA P(A C C)= .3 P(AC n CD) = .2 Doe s h a v e not CD 23 Ozan Eksi, TOBB-ETU Marginal Probability: P (A) = P (A \ B1) + P (A \ B2) + ::: + P (A \ Bk ) where B1, B2, . . . , Bk are k mutually exclusive and collectively exhaustive events Ex: In the above …gure: –P (AC) = P (AC \ CD) + P (AC \ CD) = 0:7 24 Ozan Eksi, TOBB-ETU Örnek: If in a game of chance the odds of A is 3 to 1 3 P (A) odds = = 1 1 P (A) –Now multiply both sides by 1 –P(A) and solve for P(A) 3(1 P (A)) = P (A) 3 3P (A) = P (A) P (A) = 0:75 25 Ozan Eksi, TOBB-ETU Ex: A aşç¬s¬n¬n lezzetli yemek yapma ihtimali %80 olsun. B aşç¬s¬için bu de¼ ger %30 diyelim. A aşç¬s¬tüm yemeklerin %40 ¬n¬pişiriyor olsun, geri kalanlar ise B aşç¬s¬taraf¬ndan pişirilsin –Burada yedi¼ giniz bir yeme¼ gin lezzetli olma ihtimali nedir? :) 0:8 0:4 + 0:3 0:6 = 0:5 –Bu yeme¼ gin A aşç¬s¬taraf¬ndan pişirilmiş olma ihitimali: 0:8 0:4 = 0:6 0:8 0:4 + 0:3 0:6 26 Ozan Eksi, TOBB-ETU Örnek: Uyuşturucunun varl¬g¼¬n¬test eden medikal bir cihaz düşünelim. Bu cihaz uyuşturucu kullanan birini %99 ihtimalle belirleyebiliyor olsun (böylece %1 ihtimalle kullanan birini kullanm¬yor olarak ç¬kar¬cakt¬r ki bu Type I error’dur). –Yine ayn¬test uyuştuturucu kullanmayan birini %99 oran¬nda belirleyebililsin (yine ayn¬test %1 ihtimalle kullanmayan birini kullan¬yor olarak ç¬kar¬cakt¬r ki yapt¬g¼¬testi reddedemedi¼ ginden (reject) bu Type II error’dur) 27 Ozan Eksi, TOBB-ETU –Bu test %0.5 oran¬nda uyuşturucu kullanan insanlar¬n bulundu¼ gu bir işyerindeki çal¬şanlar¬a yap¬lm¬ş olsun. Testi pozitif ç¬km¬ş (kullanan olarak bulunan) bir çal¬şan¬n gerçekten kullan¬c¬olma ihtimali nedir? 28 Ozan Eksi, TOBB-ETU U kullan¬c¬y¬ (user), N temiz kişiyi, + da testin pozitif ç¬kma olay¬n¬göstersin P (U ) çal¬şan kişinin (test edilmeden önce) kullan¬c¬olma ihtimali olsun. Bunun 0.005 oldu¼ gu veriliyor. Buna önceki olas¬l¬k, prior probability, diyoruz P (N )’de çal¬şan¬n temiz (non-user) olma ihtimalini göstersin, ki bu da 1 P (U )=0.995 olur 29 Ozan Eksi, TOBB-ETU Bu bilgiler dahilinde bize sorulan P (U j+)’yi, yani testi pozitif ç¬kan birinin gerçekten kullan¬c¬olma olas¬l¬g¼¬n¬(buna şartl¬olas¬l¬k, ya da olaylar zamanla gelişti¼ ginden sonraki olas¬l¬k, posterior probability de denir) hesaplayal¬m 30 Ozan Eksi, TOBB-ETU P (+jU )P (U ) P (U j+) = P (+jU )P (U ) + P (+jN )P (N ) 0:99 0:005 = 0:3322!!! = 0:99 0:005 + 0:01 0:995 Yukar¬da, testi pozitif ç¬kan tüm kişilerin (ya da bunlar¬n ihtimalinin) içinde (ki bu kişiler kullan¬c¬olabilir ya da olmayabilir), kullan¬c¬olup testi pozitif ç¬kanlar¬n oran¬n¬hesaplad¬k 31 Ozan Eksi, TOBB-ETU