dengeleme sonuçlarının test edđlmesđ
Transkript
dengeleme sonuçlarının test edđlmesđ
Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 1 / 12 Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 2 / 12 1. Normal Dağılım (Normal Distribution) X E{X}=µ Rastgele değişkenin gerçekleşeni xi E{(X−µ)2}=σ2 Kuramsal varyans Rastgele değişken Umut değer X ~ N(µ,σ2) X’in herhangi bir x değerini alma olasılığı 1 p( x ) = σ 2π DENGELEME SONUÇLARININ TEST EDĐLMESĐ e 1 x −µ − 2 σ 2 p(x) X’in a < x ≤ b aralığında bir değer alma olasılığı; Rastgele değişkenin dağılım fonksiyonun değerini verir P(x ) = 1 σ 2π Araş.Gör. Orhan KURT b ∫ e 1 x −µ − 2 σ 2 dx P(x) a P(x ) = 1 σ 2π ∞ ∫ e 1 x −µ − 2 σ µ a X’in − ∞ < x ≤ ∞ alma olasılığı; x b 2 dx = 1 −∞ x=µ−σ ve x=µ+σ değerleri eğrini büküm noktalarıdır. ZONGULDAK 1998 µ+σ p(x) ∫ P(x ) = p( x ) dx = 0.6827 1 − P( x ) = 0.3173 ≅ 1 3 1 − P( x ) = 0.0455 ≅ 1 20 1 − P( x ) = 0.0027 ≅ 1 400 1 − P( x ) = 0.0001 ≅ 1 10000 µ −σ µ + 2σ ĐÇĐNDEKĐLER ∫ P(x ) = ĐÇĐNDEKĐLER ....................................................................................................................................1 1.1. Standartlaştırılmış normal dağılım (Standartized Normal Distribution)..................................3 2. Test Dağılımları ...............................................................................................................................4 2.1. χ2 − Dağılımı ( χ2 − Distribution ) .........................................................................................4 2.2. t-Dağılımı (t distribution, Student’s t-distribution)...................................................................4 2.3. F-Dağılımı (Fisher Dağılımı) (F distribution)...........................................................................5 3. Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi...........................................................................................6 3.1. Model Hipotezinin Testi ...........................................................................................................6 3.1.1. σ02 Biliniyorsa :..................................................................................................................6 3.1.2. σ02 Bilinmiyorsa :...............................................................................................................6 3.2. Uyuşumsuz Ölçüler Testi..........................................................................................................7 Kaba hatalı matematik model ..........................................................................................................7 Kaba hatası giderilmiş matematik model.........................................................................................7 3.2.1. σ02 Biliniyorsa (Data Snooping, Baarda Testi) :................................................................8 3.2.2. σ02 Bilinmiyorsa.................................................................................................................8 3.3. Parametre Testi .........................................................................................................................9 3.3.1. σ02 Biliniyorsa (Normal Dağılım)......................................................................................9 3.3.2. σ02 Bilinmiyorsa ( t-Dağılımı ) ..........................................................................................9 4. Excel Fonksiyonlarından Yararlanarak Normal ve Test Dağılımların Sınır Değerlerinin Bulunması ............................................................................................................................................9 4.1 Normal Dağılım .........................................................................................................................9 4.2 t−Dağılımı ..................................................................................................................................9 4.3 χ2−Dağılımı................................................................................................................................9 4.4 F−Dağılımı .................................................................................................................................9 5. Kaynaklar .......................................................................................................................................10 Araş.Gör. Orhan KURT p( x ) dx = 0.9545 µ − 2σ µ + 3σ P(x) µ -σ σ µ ∫ P( x ) = µ+σ p( x ) dx = 0.9973 µ − 3σ x µ + 4σ ∫ P(x ) = p( x ) dx = 0.9999 µ − 4σ εi = xi − µ E{ε}=0 E{ (ε−E{ε})2} = E{ε2}=σ2 p (ε ) = 1 σ 2π − e Gerçek hata Gerçek hataların umut değeri Gerçek Hataların varyansı ε2 2σ 2 p(εε) σ P (ε ) = 1 − P(ε) = 0.3173 ≅ 1 3 p(ε) dε = 0.9545 1 − P(ε) = 0.0455 ≅ 1 20 ∫ p(ε) dε = 0.9973 1 1 − P(ε) = 0.0027 ≅ 400 ∫ p(ε) dε = 0.9999 1 − P( x ) = 0.0001 ≅ ∫ p(ε) dε = 0.6827 σ 2σ P (ε) = ∫ − 2σ 3σ P (ε ) = − 3σ 4σ P (ε) = − 4σ P(εε) -σ σ 0 σ ε 1 10000 Not : 3σ’dan büyük olan düzeltmeler genellikle kaba hatalı olarak kabul edilir. Araş.Gör. Orhan KURT Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 3 / 12 X−µ σ xi − µ zi = σ Z= Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 4 / 12 2. Test Dağılımları 2.1. χ2 − Dağılımı ( χ2 − Distribution ) 1.1. Standartlaştırılmış normal dağılım (Standartized Normal Distribution) Standartlaştırılmış (normlandırılmış) rastgele değişken Teorem : nx1 boyutlu rastgele vektör XT =[X1, X2,… Xn ], Xi ~ N(0,1)’ye göre normal dağılmış olsunlar, Standartlaştırılmış (normlandırılmış) rastgele değişkenin gerçekleşeni rastgele vektörün kareler toplamı v = XTX = n ∑ Xi , n serbestlik dereceli χ2−dağılımına sahiptir denir, i =1 v~χ2(n) ve yoğunluk fonksiyonu, E{Z}=µZ=0 Standartlaştırılmış rastgele değişkenin umut değeri E{(Z−µZ)2)=σZ2=1 p( v) = Standartlaştırılmış rastgele değişkenin varyansı 1 2 n / 2 Γ ( n / 2) v ( n / 2) −1 e − v / 2 diğer v değerleri için p(v) = 0’dır. Z ~ N(0,1) 1 p(z) = 2π − e z2 2 0 < v <∞ p(v ) ∞ Standartlaştırılmış rastgele değişkenin olasılık fonksiyonu P( v) = ∫ p(u ) du v {Upper probability integrals (χ2 distribution) (6220) } a) Standartlaştırılmış z değerinin olasılığı p(z) P (z) = y2 − e 2 ∞ 1 2π ∫ dy Z değişkenin dağılım fonksiyonu z (6210) } ∫ p(u ) du = α α vα v vα { Percentage point (χ2 distribution) (6420) } P(z) 0 v p(v ) ∞ vα : {Upper probability integrals (normal distribution) P(v v) z 2.2. t-Dağılımı (t distribution, Student’s t-distribution) b) α olasılığındaki standartlaştırılmış z değerinin hesaplanması p(z) 1 zα : ∞ ∫ 2π z y2 − e 2 Teorem : y ve u , y~N(0,1) ve u~χ2(k)’ya göre bağımsız olarak dağılsınlar, rastgele değişken x=y/(u/k)1/2 k serbestlik dereceli t-dağılımına sahiptir denir, x~t(k) ve yoğunluk fonksiyonu dy = α α {Percentage point (normal distribution) p(x)= (6410) } α 0 Γ( n ) = ∫ t n −1 e − t dt (n>0) 1/ 2 (kπ) Γ( k2 ) (1 + x 2 − ( k +1) / 2 ) k −∞ < x < ∞ ya da x 2 − ( k +1) / 2 ) Γ( 1 )Γ( k ) k dir. B( 12 , k2 ) = 2 k +1 2 , p(x)= 1/ 2 1 k Γ( 2 ) (k ) B( 2 , 2 ) zα (1 + Gama Fonksiyonu {Gamma Function Γ(x) ∞ Γ( k2+1 ) (5250)} Γ( 12 ) = π . p(x) ∞ Gama Fonksiyonu P ( x ) = ∫ p( t ) dt 0 x {Upper probability integrals (t distribution) Γ(n) = (n−1) Γ(n−1) (6230) } 0 Γ(n) = (n−1) . . . 2 Γ(1) P(x) x x p(x) ∞ ∞ Γ(1)= ∫ e − t dt =[ − e − t ] ∞ 0 =1 xα : 0 ∫ p(t ) dt = α xα Γ(n) = (n−1) ! {Percentage point (t distribution) n∈ℕ ve n>0. (6430) } α 0 Araş.Gör. Orhan KURT xα x Araş.Gör. Orhan KURT Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 5 / 12 2.3. F-Dağılımı (Fisher Dağılımı) (F distribution) Teorem : u ve v rastgele değişkenleri, u~χ2(m) ve v~χ2(n)’ye göre bağımsız dağılmış olsunlar, bu durumda w=(u/m)/(v/n) rastgele değişkeninin m ve n serbestlik dereceli F-dağılımına sahip olduğu söylenir. w~F(m,n) m n m Γ( m2 + n2 )m 2 n 2 w 2 f (w) = Γ( m2 )Γ( n2 )(n + mw ) Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 6 / 12 3. Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 3.1. Model Hipotezinin Testi Dengeleme hesabının matemetik modelinin ölçüler ile bilinmeyenler arasındaki geometrik ve fiziksel ilişkilere uygun olup olmadığı, ölçülerin duyarlıklarını ve aralarındaki korelasyonları yansıtıp yansıtmadığı Model hipotezinin testi yolu ile denetlenir (Öztürk ve Şerbetçi, 1992). −1 Fonksiyonel Model v=Ax−l Bv+w =0 0<w<∞ m n + 2 2 ve diğer w değerleri için f(w)=0. σ2 m02 f(w) ∞ F(w) = ∫ f ( x ) dx w {Upper probability integrals (F distribution) F(w) (6240) } w w Stokastik Model Kll Kll Dolaylı ölçülerde matematik model Koşullu ölçülerde matematik model Kuramsal varyans Aynı türden ölçülerden yararlanılarak hesaplanmış varyansın öncül (a priori) değeri f Öncül varyansın serbestlik derecesi m 02 f α Dengeleme hesabı sonucunda bulunan varyansın soncul (a posteriori) değeri Soncul varyansın serbestlik derecesi Yanılma olasılığı f(w) ∞ 3.1.1. σ02 Biliniyorsa : ∫ f ( x ) dx = α wα : H0 : E{ m 02 }= σ02 wα { Percentage point (F distribution) (6440) } HA : E{ m 02 } ≠ σ02 α w wα T=f m 02 σ02 T ≤ χ(2f , α ) Test büyüklüğü T ~ χ(2f , α ) Matematik model geçerlidir. Sonuç : Kurulan fonksiyonel model, gözlemlerle bilinmeyenler arasındaki geometrik ve fiziksel ilişkilere uygundur. Stokastik model, gözlemlerin duyarlıklarını ve aralarındaki korelasyonları yeterince yansıtmaktadır. Not : χ2-dağılımının serbestlik derecesi büyüdükçe normal dağılıma yaklaşır. T > χ(2f , α ) 2 L~N(E{L},E{(L−µ) }= N(µ,σ) li (i=1,2,…,n) X rastgele değişkenin gerçekleşeni εi = li − µ εi = Gerçek hatalar ε ~ N (µ ε , σ ε ) = N (0,1) n 1 i =1 σ2 v = ∑ εi2 = v=n s2 σ 2 n ∑ εi2 i =1 εi l i − µ = σ σ [εε] = 1 s2 = n Standartlaştırılmış gerçek hatalar m 02 σ2 Sonuç : Bu geçersizliğin nedeni, ölçülerden birinde ya da birkaçında yapılan kaba yanılmalar olabileceği gibi, ölçülerin yanlış indirgemeleri, aletlerin ayar hataları da geçersizliği oluşturabilirler. 3.1.2. σ02 Bilinmiyorsa : n ∑ εi2 n i =1 n s2 = n ∑ εi2 H0 : E{ m02 }= E{ m 02 }= σ02 i =1 HA : E{ m02 } ≠ E{ m 02 } ≠ σ02 T= Gerçek hatalardan hesaplandığında χ2 test büyüklüğü Soncul varyans m02, dengeleme sonucu düzeltmelerden hesaplandığında v=r Matematik model geçersizdir. m 02 m02 T ≤ F(f ,f ,α ) Görünen hatalardan hesaplandığında χ2 test büyüklüğü (r=n-u serbestlik derecesi) Test büyüklüğü T ~ F(f ,f ,α ) Dengeleme modeli geçerlidir. Sonuç : Kurulan fonksiyonel model, gözlemlerle bilinmeyenler arasındaki geometrik ve fiziksel ilişkilere uygundur. Stokastik model, gözlemlerin duyarlıklarını ve aralarındaki korelasyonları yeterince yansıtmaktadır. T > F(f ,f ,α ) Dengeleme modeli geçersizdir. Sonuç : Bu geçersizliğin nedeni, ölçülerden birinde ya da birkaçında yapılan kaba yanılmalar olabileceği gibi, ölçülerin yanlış indirgemeleri, aletlerin ayar hataları da geçersizliği oluşturabilirler. Araş.Gör. Orhan KURT Araş.Gör. Orhan KURT Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 7 / 12 Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 8 / 12 3.2. Uyuşumsuz Ölçüler Testi 3.2.1. σ02 Biliniyorsa (Data Snooping, Baarda Testi) : Dengeleme sonrası elde edilen v düzeltmeleri rastlantı hataları yanında matematiksel model ile ölçülerin fiziksel özelliklerini yansıtan gerçek model arasındaki farkları da içerir. Bu anlamda v’lere ölçü düzeltmeleri yerine dengeleme artıkları (residual, residuen) denir. Dengeleme sonrası dağılımı bozan düzeltmeler özel test yöntemler ile belirlenirler. Dağılımı bozan düzeltmelere karşılık gelen ölçüler (outlier, ausreiser) olarak adlandırılırlar (Bektaş, 1990). Ti = e iT P v e iT P Q vv P e i σ0 Ti = A B C D A −1 + A −1B ( D − CA −1B ) −1 CA −1 = − ( D − CA −1B ) −1 CA −1 ∆j ( lj ( l j = lj −∆ j −1 −1 −1 − A B ( D − CA B ) (KOCH, 1999) ( D − CA −1B ) −1 vi σ0 P) ii ~ N(0,1) Test büyüklüğü q = z(α 0 ) = F( 1, ∞, 2 α 0 ) Sınır değer 3.2.2. σ02 Bilinmiyorsa 3.2.2.1 Tau-Dağılımı (Pope Testi) e iT P v m0 (P v) i = e iT P Q vv P e i m0 (P Q vv ~ τf Test büyüklüğü P) ii Ölçüler arasında korelasyon yoksa test büyüklüğü aşağıdaki şekle dönüşür. Ti = vi m0 l + e j ∆ j+ ν = A x P l +ν =A x −e j∆ j P ~ τf Test büyüklüğü q vi v i Kaba hatası giderilmiş matematik model ] ~ N(0,1) Test büyüklüğü vv q vi vi Ti = Kaba hatalı matematik model ( ( ( l+ν =A x P ( ( x =( A T P A )-1 A T P l ( ( ν = − Q vv P l [ (P Q (1) j ölçüsündeki kaba hata miktarı ∆j kadar kaba hatalı ölçü kaba hatadan arındırılmış ölçü x l +ν = A − ej ∆ j AT P A − AT P e j T e Tj P e − e j P A ( P v) i σ0 Ölçüler arasında korelasyon yoksa test büyüklüğü aşağıdaki şekle dönüşür. Kulanılan testlere de uyuşumsuz ölçüler testleri denir. Klasik olarak üç çeşit uyuşumsuz ölçü testi vardır. −1 = f t (2f −1, α ) 0 τ ( f ,α ) = Sınır değer q = t (f ,α 0 ) Sınır değer t (2f −1, α 0 ) = F( 1, f −1, 2 α 0 ) f − 1 + t (2f −1, α ) 0 0 q = τ( f , α 0 ) 3.2.2.2 t-Dağılımı (Student Testi) P eiT P v Ti = x A Pl ∆ = T j − e j P l T s0 s0 = ± A TP A x − A TP e j∆ j = A TP l − e Tj P A x + e Tj P e j ∆ j = − e Tj P l eiT P ( P v)i = s0 Q vv P ei ( P Q vv P )ii ~ t ( f − 1) Test büyüklüğü ( eT P v ) 2 ( P v )i2 1 1 ) =± ) (f m 02 − T i (f m 02 − − ( P Q vv P )ii f −1 f 1 ei P Q vv P ei Ölçüler arasında korelasyon yoksa test büyüklüğü aşağıdaki şekle dönüşür. ∆j = e Tj P ν e Tj P Q vv P e j q ∆∆ = = 1 e Tj P Q vv P e j (P ν) j (P Q = vv P) j j 1 (P Q vv P ) j j Kaba hata miktarının kestirim değeri Ti = Kaba hatanın ters ağırlığı s0 = ± e Tj =[ 0 0 ... 0 1 0 ... 0 0 ] 1 2 ... j α n ... n α 0 ≈ 1 − (1 − α) q vivi = vi s0 (Q ) vv ii ~ t ( f − 1) Test büyüklüğü v2 v i2 1 1 (f m 02 − i ) = ± (f m 02 − ) f −1 f −1 q vivi ( Q vv ) ii Tmax > q Yanılma olasılığı Ölçü sayısı 1/ n vi s0 olan ölçü uyuşumsuzdur. Uyuşumsuz olan ölçü atılarak dengeleme işlemi ve uyuşumsuz ölçüler testi, uyuşumsuz ölçü kalmayana kadar tekrarlanır. ≈ α / n (ölçü saysı büyükse α 0 = 0.001 gibi sabit değer alınır) Araş.Gör. Orhan KURT Araş.Gör. Orhan KURT Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 9 / 12 Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 10 / 12 3.3. Parametre Testi Dengeleme sonucunda hesaplanan bilinmeyen parametreler, dengeleme sonucu bulunan duyarlıkları yardımı ile standartlaştırılarak test edilirler. Test işlemi, öncül değerin bilinmesine yada bilinmemesine göre iki farklı test büyüklüğü ile test edilirler. 3.3.1. σ02 Biliniyorsa (Normal Dağılım) Tx = x σ0 ~ N(0,1) q xx Test büyüklüğü q = z (α ) = F( 1, ∞, 2 α ) Sınır değer Ergun ÖZTÜRK (1986), “Dengeleme Hesabı Cilt 1”, KTÜ-MMF, Genel Yay No:19,Trabzon. Ergun ÖZTÜRK, Muzaffer ŞERBETÇĐ (1989), “Dengeleme Hesabı Cilt 2”, KTÜ-MMF, Genel Yay No:144, Trabzon. x m0 Ekrem ULSOY (1974), “Dengeleme Hesabı, En Küçük kareler Metodu”, ĐDMMA yayınları, Sayı: 87, Đstanbul. Ekrem ULSOY (1980), “Pratik Matris Hesabı”, ĐDMMA yayınları, Sayı: 91, Đstanbul. 3.3.2. σ02 Bilinmiyorsa ( t-Dağılımı ) Tx = 5. Kaynaklar ~ t(f,α) q xx Ergun ÖZTÜRK, Muzaffer ŞERBETÇĐ (1992), “Dengeleme Hesabı Cilt 3”, KTÜ-MMF, Genel Yay No:144, Trabzon. Test büyüklüğü q = t ( f ,α ) Sınır değer Gilbert STRANG, Kai BORRE (1997), “Linear Algebra, Geodesy and GPS”, Wellesley-Cambridge Press, ISBN-0-9614088-6-3. Tx > q ise x parametresi istatistiksel olarak anlamlıdır. Karl-Rudolf KOCH (1999), “Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models”, SpringerVerlag Berlin Heidelberg Newyork, ISBN-540-65257-4. 4. Excel Fonksiyonlarından Yararlanarak Normal ve Test Dağılımların Sınır Değerlerinin Bulunması P.A. CROSS (1983), “Advanced Least Squares Applied to Positioning-Fixing”, Nort East London Polytechnic, ISBN-0-907382-06-1. Sabahattin BEKTAŞ,(1990), Yerkabuğu Hareketlerinin Üç Boyutlu Modelle Araştırılması, KTÜ-FBE, Doktora Tezi, Trabzon. 4.1 Normal Dağılım x= y Walter GROSSMANN (Çeviren: Mehmet Gündoğdu ÖZGEN (1962),”En Küçük Kareler Metoduna Göre Dengeleme Hesaplarının Ana Hatları ve Jeodezideki Tatbikatı”, ĐTÜ Kütüphanesi, Sayı:503, Đstanbul. ~ N (0,1) my α = NORMSDAĞ( x ) x = NORMSTERS( α ) CASIO FX-850P/FX-880P, Owner’s Manual (1996). 4.2 t− −Dağılımı x= y ~ t ( α ,f ) my α = TDAĞ( x ; f ; 1 ) α/2 = TDAĞ( x ; f ; 2 ) x = TTERS( α ; f ) Tek yanlı teste karşılık olasılık değeri Çift yanlı teste karşılık olasılık değeri 4.3 χ2−Dağılımı x=f m2 σ2 ~ χ (2α ,f ) α = KĐKAREDAĞ( x ; f ) x = KĐKARETERS( α ; f ) 4.4 F− −Dağılımı x= σ12 σ 22 ~ F( α ,f 1,f 2) α = FDAĞ( x ; f1 ; f2 ) x = FTERS( α ; f1 ; f2 ) Araş.Gör. Orhan KURT Araş.Gör. Orhan KURT Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 11 / 12 Dengeleme Sonuçlarının Test Edilmesi 12 / 12 χ2-Dağılımının Dağılım Fonksiyonu Standartlaştırılmış Normal Dağılımın Dağılım Fonksiyonu f (χ χ2s) φ (z) s=1-α : Güven bölgesi α : Yanılma olasılığı f : Serbestlik derecesi s=1-α : Güven bölgesi α : Yanılma olasılığı α s χ2s s α 0 s z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 1.00 1.10 1.20 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 3.00 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000 0.010 0.025 0.050 0.950 0.975 0.990 1 2 3 4 5 0.000 0.010 0.072 0.207 0.412 0.000 0.020 0.115 0.297 0.554 0.001 0.051 0.216 0.484 0.831 0.004 0.103 0.352 0.711 1.145 3.841 5.991 7.815 9.488 11.070 5.024 7.378 9.348 11.143 12.832 6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 7.879 10.597 12.838 14.860 16.750 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.676 0.989 1.344 1.735 2.156 0.872 1.239 1.647 2.088 2.558 1.237 1.690 2.180 2.700 3.247 1.635 2.167 2.733 3.325 3.940 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307 14.449 16.013 17.535 19.023 20.483 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.603 3.074 3.565 4.075 4.601 3.053 3.571 4.107 4.660 5.229 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 4.575 5.226 5.892 6.571 7.261 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 21.920 23.337 24.736 26.119 27.488 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 26.757 28.300 29.819 31.319 32.801 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.142 5.697 6.265 6.844 7.434 5.812 6.408 7.015 7.633 8.260 6.908 7.962 7.564 8.672 8.231 9.390 8.907 10.117 9.591 10.851 26.296 27.587 28.869 30.144 31.410 28.845 30.191 31.526 32.852 34.170 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 8.034 8.897 10.283 11.591 8.643 9.542 10.982 12.338 9.260 10.196 11.689 13.091 9.886 10.856 12.401 13.848 10.520 11.524 13.120 14.611 32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 35.479 36.781 38.076 39.364 40.646 38.932 40.289 41.638 42.980 44.314 41.401 42.796 44.181 45.558 46.928 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 11.160 11.808 12.461 13.121 13.787 12.198 12.878 13.565 14.256 14.953 13.844 14.573 15.308 16.047 16.791 15.379 16.151 16.928 17.708 18.493 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773 41.923 43.195 44.461 45.722 46.979 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892 48.290 49.645 50.994 52.335 53.672 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 20.707 27.991 35.534 43.275 51.172 22.164 29.707 37.485 45.442 53.540 24.433 32.357 40.482 48.758 57.153 26.509 55.758 59.342 63.691 66.766 34.764 67.505 71.420 76.154 79.490 43.188 79.082 83.298 88.379 91.952 51.739 90.531 95.023 100.425 104.215 60.391 101.879 106.629 112.329 116.321 40 50 60 70 80 90 100 Araş.Gör. Orhan KURT 0.995 s 0.005 f zs 59.196 61.754 65.647 69.126 113.145 118.136 124.116 128.299 67.328 70.065 74.222 77.929 124.342 129.561 135.807 140.170 f 90 100 Araş.Gör. Orhan KURT