Yüzey Alanı 1
Transkript
Yüzey Alanı 1
ANALİZ II Yüzey Alanı Mahmut KOÇAK Dönel Cismin . . . x-ekseni . . . y-ekseni . . . Dairesel Dik . . . Kesik . . . c 2008 mkocak@ogu.edu.tr Hazırlama Tarihi: Nisan 10, 2008 Osmangazi Üniversitesi Sunum Tarihi: 14 Nisan 2008 µ ´ ° ° [° 2/8 Dönel Cismin Yüzey Alanı ? Yan yüksekliği h ve taban yarı çapı r olan bir silindiri göz önüne alalım. Silindir ŞekilP da görüldüğü gibi açıldığında yükskliği h ve taban uzunluğu 2πr olan bir dikdörtgen olur. Bu dikdörtgenin alanı 2πr h olduğundan silindirin yüzey alanı 2πr h olur. ? ŞekilP de görüldüğü gibi yan kenar uzunluğu h ve yarı çapı r olan dairesel bir koniyi göz önüne alalım. Koni açılırsa yarı çapı h ve yay uzunluğu s = 2πr olan bir daire dilimi elde edilir. Bu daire diliminin alanı A = 12 s h = πr h olduğundan koninin yüzey alanı A koni = πr h olur. ? da görünen kesik koni parçasının yüzey alanını bulalım. Benzer üçgenlerden dolayı ŞekilP r1 − r2 r1 = h1 h olduğundan A = = Dönel Cismin . . . x-ekseni . . . y-ekseni . . . Dairesel Dik . . . Kesik . . . A 1 − A 2 = πr1 h 1 − πr2 h 2 = πr1 h 1 + πr 2 (h − h 1 ) = πr1 h 1 + πr2 h − πr2 h 1 = πh 1 (r 1 − r 2 ) + πr2 h r1 h ) + πr2 h = πr1 h + πr2 h = π(r1 + r 2 )h πh 1 ( h1 olur. µ ´ ° ° [° Dönel Cismin Yüzey Alanı 3/8 x-ekseni Etrafında Döndürülen Dönel Cismin Yüzey Alanı f : [a ,b ] → sürekli fonksiyonu verilsin. f nin grafiği, x = a ve x = b doğrularıyla sınırlı bölgenin x -ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen C cisminin A yüzey alanını bulmaya çalışalım. P = {a = x 0 , x 1 , x 2 , · · · , x i −1 , x i , · · · , x n−1 , x n = b }, [a ,b ] aralığınının bir bölüntüsü olsun. f nin grafiğinin x = x i −1 ve x = x i doğruları arasındaki parçasının yay uzunluğu l i ve f nin grafiğinin, x = x i −1 ve x = x i doğruları arasındaki yay parçasının x -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan C i cisminin yüzey alanı A i (x i ) olsun. Bu parçanın yüzey alanı ile t ∈ [x i −1 , x i ] olmak üzere yarı çapı f (t ) ve yüksekliği x i olan silindirin yüzey alanı yaklaşık olarak eşittir. Yarıçapı f (t ) ve yüksekliği x i olan bir silindirin yüzey alanı 2π f (t )x i ve l i ∼ = x i olduğundan A i (x i ) ∼ = 2π f (t )l i = 2π f (t )x i ∼ olur. Diğer yandan l i ∼ = s i = (Δx i )2 + ( f (x i ) − f (x i −1))2 = = Δx i 1+ f (x i ) − f (x i −1) Δx i Ortalama değer teoremi gereğince her i = 1, 2, · · · , n için l i ∼ = Δx i ? ? 2 P P 2π f (t i )Δx i 1 + ( f (t i )) olur. Şekil Şekil ve Şekil e bakınız. ° µ 2 olur. [° (Δx i )2 1 + f (x i ) − f (x i −1) Δx i 2 1 + ( f (t i ))2 olacak şekilde t i ∈ (x i −1 , x i ) olduğundan A i (x i ) ∼ = ´ ° Dönel Cismin Yüzey Alanı 4/8 Böylece A= n A i (x i ) ∼ = i =1 n 2π f (t i )Δx i 1 + ( f (t i ))2 = 2π i =1 2 n f (t i ) 1 + ( f (t i ))2 Δx i i =1 olur. Eşitliğin sağındaki ifade 2π f (x ) 1 + ( f (x )2 toplamıdır. Bu durumda 2π f (x ) 1 + f (x ) fonksiyonunun P bölüntüsünün {t i } nokta seçimine karşılık gelen Riemann integrallenebilir olduğundan P = max{|x i − x i −1 | : i : 1, 2, 3, · · · , n } olmak üzere lim R P, {t i }, 2π f (x ) 1 + f P→0 (x ) 2 b = 2π 2 f (x ) 1 + f (x ) dx a Dönel Cismin . . . x-ekseni . . . y-ekseni . . . Dairesel Dik . . . Kesik . . . olduğundan b A = 2π 2 f (x ) 1 + f (x ) dx a olur. µ ´ ° ° [° 5/8 y-ekseni Etrafında Döndürülen Dönel Cismin Yüzey Alanı f : [a ,b ] → sürekli fonksiyonu verilsin. f nin grafiği, x = a ve x = b doğrularıyla sınırlı bölgenin y -ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen C cisminin A yüzey alanını bulmaya çalışalım. P = {a = x 0 , x 1 , x 2 , · · · , x i −1 , x i , · · · , x n−1 , x n = b }, [a ,b ] aralığınının bir bölüntüsü olsun. f nin grafiğinin x = x i −1 ve x = x i doğruları arasındaki parçasının uzunluğu l i ve f nin grafiğinin, x = x i −1 ve x = x i doğruları arasındaki parçasının y -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan C i cisminin yüzey alanı A i (x i ) olsun. Bu durumda l i ∼ = s i olduğundan A i (x i ), yaklaşık olarak alt taban yarı çapı x i −1 , üst taban yarı çapı x i ve kenar uzunluğu l i olan kesik koninin yüzey alanına eşittir. O halde A i (x i ) ∼ = = π(x i + x i −1 )l i = π(x i + x i −1 ) (x i )2 + ( f (x i ) − f (x i −1 ))2 f (x i ) − f (x i −1 ) 2 ∼ f (x i ) − f (x i −1 ) 2 2πx π(x i + x i − x i )x i 1 + 1 + x i = i x i x i f (x i ) − f (x i −1 ) = f (t i ) olacak şekilde t i ∈ (x i −1 , x i ) ve t i ∼ = x i olduğundan x i f (x i ) − f (x i −1 ) 2 A i (x i ) ∼ x i ∼ = 2πt i 1 + ( f (t i ))2 x i = 2πx i 1 + x i Dönel Cismin . . . x-ekseni . . . y-ekseni . . . Dairesel Dik . . . Kesik . . . olur. Ortalama değer teoremi gereğince olur. µ ´ ° ° [° y-ekseni Etrafında Döndürülen Dönel Cismin Yüzey Alanı Bu durumda 2πx 1 + f (x ) 2 6/8 integrallenebilir olduğundan P = max{|x i − x i −1 | : i : 1, 2, 3, · · · , n } olmak üzere lim R(P, {t i }, 2πx P→0 b 1 + (f (x )2 ) = 2π x 2 1 + f (x ) d x a olduğundan b A = 2π a olur. x 2 1 + f (x ) dx Dönel Cismin . . . x-ekseni . . . y-ekseni . . . Dairesel Dik . . . Kesik . . . µ ´ ° ° [° 7/8 Dairesel Dik Koninin Yüzey Alanı Taban yarıçapı R ve yükseklği h olan bir dik koninin yanal alanını R ve h cinsinden bulalım. y f (x ) r x Dönel Cismin . . . x-ekseni . . . y-ekseni . . . Dairesel Dik . . . Kesik . . . R h x z µ ´ ° ° [° Dairesel Dik Koninin Yüzey Alanı 8/8 Kesik Kürenin Yüzey Alanı x 2 + y 2 + z 2 = 16 küresinin x = −2 ve x = 3 düzlemleriyle kesildiğinde meydana gelen küresel cismin yüzey alanını bulalım. y 4 −4 −2 3 4 x z −4 [° ° µ ´ °