BÖLÜM 1 VEKTÖRLER
Transkript
BÖLÜM 1 VEKTÖRLER
•Vektörel ve Skaler Nicelikler •Vektörlerin Toplanması •Vektörlerin Çıkarılması •Bir Vektörün Bileşenleri •Birim Vektörler •Vektörlerin Grafiksel Toplamı •Vektörlerin Paralelkenar Yöntemi ile Toplanması •Vektörlerin Bileşen Yöntemi ile Toplanması Büyüklüğü ve yönü olan niceliklere vektörel nicelikler diyoruz. Yerdeğiştirme, hız, ivme ve kuvvet niceliklerini örnek olarak verebiliriz. Yön özelliğine sahip olmayan nicelikler ise, skaler nicelikler adını alır. Uzunluk, zaman, sıcaklık, kütle, yoğunluk ve hacım gibi birçok nicelikler skaler niceliklerdir. Vektörel nicelikler, kalın yazı tipinde ( F gibi ) veya niceliğin üzerine vektör işareti ( gibi) konularak gösterilir. Burada her iki gösterim de kullanılacaktır. Bir A noktasından bir B noktasına olan yerdeğiştirme vektörel bir niceliktir. Vektörün boyu A-B arasındaki uzunluk, yönü ise A’dan B’ye ok yönüdür. İki vektör toplandığında sonuç, toplamın sırasından bağımsızdır. Buna toplamın değişme özelliği denir: Bir vektörün başka bir vektörden çıkarılması ile, aynı vektörün tersinin toplanması aynı sonucu verir. Yani, A vektöründen B vektörününü çıkarmak için B’nin yönü terslenerek A’ya eklenir. Bir vektörün bileşenlerini tanımlamadan önce, trigonometrik fonksiyonlar arasındaki temel bağıntıları vermeliyiz. Trigonomrtik fonksiyonlar, bir dik açıyla bağlantılı olarak tanımlanır. Şekil de gösterilen dik üçgen için bağıntılar aşağıdaki gibidir: Bir vektörün bileşeni, verilen bir yöndeki etkin değeridir. Örneğin, bir yerdeğiştirmenin x-bileşeni, verilen yerdeğiştirmenin neden olduğu xeksenine paralel yerdeğiştirmedir. İki boyutta bir vektör, herhangi birbirine dik iki doğrultu boyunca yer alan iki vektör bileşenine ayrılabilir. Yani, herhangi bir F vektörü, onun Fx ( F’nin x-ekseni boyunca izdüşümü) ve Fy ( F’nin y-ekseni boyunca izdüşümü) dik bileşenleri ile temsil edilebilir Fx= Fcos ve Fy=Fsin Üç boyutta bir vektör, birbirine dik herhangi üç doğrultu boyunca ayrışan vektör bileşenlerinin bileşkesi olarak düşünülebilir Vektörel nicelikler genelde birim vektörler cinsinden ifade edilirler. Birim vektör, verilen bir yönü belirlemek için kullanılan, birim uzunluklu, boyutsuz bir vektördür. x, y ve z doğrultularını gösteren birim vektörler, sırasıyla (i , j , k) harfleriyle gösterilirler. Örneğin, A vektörü 3i’ye eşit olsun. Bunun anlamı,+x doğrultusunda 3 birimlik bir vektörü göstermektedir. Benzer şekilde, -5k ise eksi z-doğrultusunda 5 birimlik vektör demektir. Böylece, üç boyutta F vektörü, aşağıdaki gibi yazılabilir: Birçok vektörün bileşkesini bulmaya yarayan bir metoddur. Şekil-3’deki gibi O noktasından başlayan ve P noktasında sonlanan uç uca eklenmiş vektörlerin bileşkesi, R=A+B+C şeklinde olur. R=A+B+C Örneğin, aralarında belli bir açı olan iki vektörün toplanması aşağıdaki formül ile büyüklüğü hesaplanabilmektedir. Başlangıç noktaları aynı olan vektörler, bitiş noktalarından birbirlerine paraleller çizilerek paralelkenar elde edilir. Başlangıç ile yeni köşe arasındaki uzaklık toplam (bileşke) vektörü verir. A=Axi+Ayj+Azk ve B=Bxi+Byj+Bzk gibi iki vektörün toplanması, aynı yöndeki bileşenlerin toplanması ile bilşeke vektör elde edilir: R=A+B =( Axi+Ayj+Azk)+( Bxi+Byj+Bzk) =(Ax+Bx)i+(Ay+By)j+(Az+Bz)k =Rxi+Ryj+Rzk Bileşke vektörün büyüklüğü ise, olur.