PDF ( 11 )
Transkript
PDF ( 11 )
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 (1-7) AKU J. Sci. Eng. 13 (2013) 011301 (1-7) DOI: 10.5578/fmbd.5424 Araştırma Makalesi / Research Article Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi Murat ATİK Özel Zafer Lisesi, Afyonkarahisar. e-posta: halitmuratatik@hotmail.com Geliş Tarihi:21.03.2013; Kabul Tarihi:06.05.2013 Özet Anahtar kelimeler İnmiş halkalar; Yarıdeğişmeli halkalar; Katı halkalar. ( ) = bir halka ve da nin bir endomorfizması olmak üzere eğer, , ∈ için = 0 olması 0 olmasını gerektiriyor ise, bu durumda endomorfizmasına soldan yarıdeğişmelidir denir. Eğer bir halkasının soldan yarıdeğişmeli bir endomorfizması varsa, bu durumda halkasına soldan −yarıdeğişmeli halka denir. Bu çalışmada yarıdeğişmeli halkalar için bilinen bir çok sonuç soldan −yarıdeğişmeli halkalara genelleştirilecektir. A Generalization of Semicommutative Rings Abstract Key words Reduced Rings; Semicommutative Rings; Rigid Rings. For an endomorphism of a ring , the endomorphism is called left semicommutative if =0 implies ( ) = 0 for , ∈ . A ring is called left −semicommutative if there exists a left semicommutative endomorphism of . In this paper, varios results of semicommutative rings are extended to left −semicommutative rings. © Afyon Kocatepe Üniversitesi 1. Giriş Bu çalışma boyunca birimli bir halkayı ve aksi belirtilmedikçe da halkasının birimden ve sıfırdan farklı bir endomorfizmasını gösterecektir. Eğer bir halkasının sıfırdan farklı eşkare elemanı yoksa, bu halkaya inmiş (reduced) bir halka denir. (Lambek, 1971) de; , , ∈ için =0⟹ =0 şartını sağlayan bir halkayı simetrik halka olarak adlandırmıştır. Diğer taraftan (Habeb, 1990) da, , ∈ için =0⟹ =0 gerektirmesini sağlayan halkaları sıfır değişmeli olarak isimlendirirken aynı şartı sağlayan halkalara (Cohn,1999) da terslenebilir (reversible) halkalar demiştir. Terslenebilir halkaların bir genelleştirmesi yarıdeğişmeli (semicommutative) halkalardır. , ∈ için =0⟹ = 0 oluyorsa bu halkasına yarıdeğişmeli bir halka denir. Her inmiş halka simetrik fakat bunun tersi doğru değildir. Her simetrik halka da yarıdeğişmeli bir halkadır. Yarıdeğişmeli halkalarla ilgili günümüze kadar birçok çalışma yapılmıştır. Bunlardan bir kısmı kaynaklar bölümünde verilmiştir. Tekrar bir halkasının bir endomorfizması olmak üzere eğer ( ) = 0 ⟹ = 0 veya denk olarak ∈ için ( ) = 0 ⟹ = 0 oluyorsa bu durumda halkasına −katı ( −rigid) halka denir. (Krempa, 1996). Eğer bir −katı halka ise, bu durumda açık olarak inmiş bir halka ve bir monomorfizmadır. 2. Materyal ve Metot Son yıllarda yarıdeğişmeli halkaların bir genelleştirilmesi (Başer,M. , Harmancı, A. ve Kwak, T.K. , 2008) tarafından yapılmıştır. Bu çalışmada; bir halka ve ; nin bir endomorfizması olmak Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi, Atik üzere, , ∈ için =0⟹ ( ) = 0 şartını sağlayan halkalar −yarıdeğişmeli halkalar olarak adlandırılmıştır. Bu çalışmada ise , ∈ için =0⟹ ( ) = 0…..( ) özelliğini sağlayan halkalar dikkate alınmıştır. Şimdi; = 0 | , , ∈ℤ 3. Soldan halkasının = 0 0 = 0 0 0 şeklinde tanımlanan endomorfizmalarını göz önüne alalım. Bu halkasının −yarıdeğişmeli olduğu yukarıda adı geçen makalede gösterilmiştir. Fakat bu halka ( ) özelliğini sağlamaz. Gerçekten; = 1 −1 , 0 0 = 0 1 ∈ 0 1 için = fakat 1 1 = ∈ 0 0 için ( ) 0 2 = ≠ 0 0 Yani ( ) ≠ dır. Diğer taraftan halkasının endomorfizması ile birlikte ( ) özelliğini sağladığı Örnek 3.5 de gösterilmiştir. Fakat bu halkası −yarıdeğişmeli değildir. Gerçekten; = 1 1 , 0 0 = 0 1 ∈ 0 −1 için = fakat = 0 1 ∈ 0 1 için ( )= 0 0 Tanım 3.1. bir halka ve da endomorfizması olsun. , ∈ için =0 ⟹ ( ) Yukarıdakilerin ışığı altında, biz bu çalışmada soldan nin bir =0 oluyorsa, bu durumda ya ğş dir denir. Eğer halkasının soldan yarı değişmeli bir endomorfizması varsa, bu durumda halkasına − ğş halka denir. ; halkasının birim endomorfizması olmak üzere; eğer soldan −yarıdeğişmeli ise, bu durumda açık olarak halkası yarı değişmelidir. Soldan −yarıdeğişmeli bir halkanın ( ) ⊆ şartını sağlayan her bir alt halkasıda aynı zamanda soldan −yarıdeğişmeli bir halkadır. Uyarı 3.2. bir soldan −yarıdeğişmeli bir halka olmak üzere , ∈ için = 0 olsun. Bu durumda ( ) = 0 ve özel olarak ( ) = 0 olur. soldan −yarıdeğişmeli halka olduğundan ( ) = 0 elde ederiz. Böylece tümevarım hipotezinden herhangi bir pozitif tamsayısı için −2 ≠ 0 ( )≠ Yani dır. Sonuç olarak −yarıdeğişmeli halkaların sınıfı ile ( ) özelliğini sağlayan halkaların sınıfı birbirinden farklı, yani aralarında bir ilişki yoktur. AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 − yarı değişmeli Halkalar Bu bölümdeki amacımız soldan −yarıdeğişmeli halka kavramını tanıtmak ve bu halka sınıflarının özelliklerini incelemek olacaktır. Soldan −yarıdeğişmeli halka kavramı sadece −katı halkaların bir genelleştirmesi değil aynı zamanda yarıdeğişmeli halkalarında bir genelleştirmesidir. Aşağıdaki tanımı vererek başlayalım. 0 0 ve 0 −yarıdeğişmeli halka kavramını tanımlayacağız. Soldan −yarıdeğişmeli halkalar −katı halkaların bir genelleştirilmesi olduğu kadar yarıdeğişmeli halkalarında bir genişlemesi olacaktır. Böylece −katı halkalar ile ilgili önceden bilinen pek çok sonuç bizim teoremlerimizin bir sonucu olarak elde edilecektir. ( ) = 0 ve ( ) =0 olur. Yukarıdaki tanımdaki gerektirmenin tersinin genellikle sağlanmadığını aşağıdaki örnekten görürüz. Aşağıdaki örnek aynı zamanda soldan −yarıdeğişmeli olmayacak şekilde yarıdeğişmeli 2 Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi, Atik bir halkasının bir olduğunu gösterir. endomorfizmasının var ( , ) =( , ) → , şeklinde tanımlanan endomorfizmasını göz önüne alalım. Bu durumda açık olarak ; nin bir otomorfizmasıdır. = (1,0), = (1,0) ∈ için ( ) = 0 fakat = (1,0) ≠ 0 dır. Üstelik, soldan −yarıdeğişmeli değildir. Gerçekten; (1,0), (1,0) ∈ ( ) = 0 ve özel olarak da ( ) ( )= ( Örnek 3.3. = ℤ ⊕ ℤ halkası olsun. değişmeli ve inmiş halka olduğundan da yarıdeğişmeli bir halkadır. halkasının : ( ) )=0 elde edilir. monomorfizma olduğundan =0 ve inmiş olduğundanda = 0 bulunur ki, bu da bize nin −katı olduğunu gösterir.∎ Aşağıdaki örnek Teorem 3.4. deki “ bir inmiş halka” ve “ bir monomorfizma ” şartlarının kaldırılamayacağını gösterir. Örnek 3.5. (1) ℤ tamsayılar halkası olmak üzere = | , ∈ℤ 0 için (1,0)(1,0) = (0,0) halkasını göz önüne alalım. fakat (0,0) ≠ (1,0) (1,1)(0,1) ∈ (1,0) : (0,1) dir. Teorem 3.4. Bir halkasının −katı olması için gerek ve yeter koşul nin inmiş soldan −yarıdeğişmeli bir halka ve nın bir monomorfizma olmasıdır. İspat. ; −katı bir halka olsun. Bu durumda kolayca görülebilir ki inmiş ve bir monomorfizmadır. Şimdi nin soldan −yarıdeğişmeli olduğunu gösterelim. → , = , 0 = = ( ) ℎ 0 ℎ = = ( ) ( ) ( = ( ) ( ) (0) = ( ) ( )0 ) =0 olup, ; −katı olduğundan ( ) = 0 ve keyfi olduğundan da ( ) = 0 elde edilir. Tersine olarak ∈ için soldan −yarıdeğişmeli AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 ( ) = 0 olsun. halka olduğundan ∈ için = + = 0 olur. Keyfi 0 ( ) ( ) ( ) = 0 olsun. Buradan = 0 ve ℎ bir ∈ için 0 ℎ Bunun için , ∈ ve = 0 olsun. ∈ keyfi olsun. inmiş olduğundan = 0 olur. Böylece ) ( ) 0 şeklinde tanımlansın. Açık olarak bir otomorfizmadır. halkasının inmiş olmadığı ve böylece de −katı olmadığı kolayca görülebilir. 0 ( ( ) − = 0 − 0 ℎ 0 ℎ 0 ℎ ℎ + 0 − ℎ ℎ olur. = 0 ve ℤ tamsayılar halkası sıfır bölensiz olduğundan = 0 veya = 0 olur. Eğer = 0 ise, bu durumda = 0 olur. Böylece ( ) = olur. Eğer = 0 ise, bu durumda = 0 olur. Böylece tekrar ( ) = olur. Sonuç olarak bir soldan β −yarıdeğişmeli halka olur. (2) bir cisim ve : → = [ ] olsun. , ( ) = (0) şeklinde tanımlanan fonksiyon açık olarak 3 Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi, Atik halkasının bir endomorfizmasıdır. Bu durumda halkası değişmeli tamlık bölgesi ve böylece de inmiş halka olur. Ayrıca, açık olarak bir monomorfizma değildir. ( ), ( ) ∈ için ( ) ( ) = 0 olsun. ( ) = 0 veya ( ) = 0 olur. Bu durumda ( ) = 0 veya ( ) = 0 olur. Sonuç Böylece ( ) ( ) = 0 elde edilir ki bu da bize olarak halkasının soldan −yarıdeğişmeli olduğunu ( ) = 0 olduğundan gösterir. 0 ≠ ∈ için halkası −katı değildir. Eğer halkası bir tamlık bölgesi ise, bu durumda hem yarıdeğişmeli hem de nin her endomorfizması için soldan −yarıdeğişmeli dir. Örnek 3.5(1) aynı zamanda tamlık bölgesi olmayan fakat soldan −yarıdeğişmeli bir halkasının var olduğunu gösterir. Önerme 3.6. soldan olsun. Bu durumda; −yarıdeğişmeli bir halka ( ) (1) = 1 olması için gerek ve yeter koşul herhangi bir = ∈ için ( ) = olmasıdır. ( ) Eğer (1) = 1 ise, bu durumda abelian halkadır. (Yani deki tüm idempotentler merkezil dir.) İspat. ( ) (1) = 1 olduğunu kabul edelim. Eğer = ∈ ise, bu durumda (1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0 olur. soldan −yarı değişmeli olduğundan ( ) (1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0 ( )(1 − ) = 0 ve elde edilir. Özel olarak (1 − ) = 0 olur. ( )(1 − ) = 0 dan ( ) = ( ) elde edilir. (1 − ) = 0 dan 1 − ( ) = 0 ve böylece de ( ) = olur. Sonuç olarak ( ) = bulunur. Tersi açıktır. : | , , ∈ ℤ halkasını ve 0 → , 0 0 0 = 0 endomorfizmasını göz önüne alalım. = , 0 = ∈ 0 için = olsun. Bu durumda = 0 ve böylece de = 0 veya = 0 elde ederiz. Bu ise ( ) =0 olduğunu verir. Sonuç olarak soldan −yarıdeğişmeli bir halkadır. (1) ≠ 1 ve nin abelian olmadığı açıktır. Sonuç 3.8. Yarı değişmeli halkalar abelian dır. de bir ( , ) −bimodül olsun. Bu bir halka ve durumda ( , )= )| ∈ , = {( , ⊕ } ∈ kümesi bileşensel toplama ve ( , )( , )=( , + ) çarpma işlemi ile birlikte bir halkadır. Bu ( , ) | ∈ , ∈ matris 0 halkasına izomorftur. ; halkasının bir endomorfizması olmak üzere : ( , ) → ( , ) halkası ( ) 0 = 0 fonksiyonu da endomorfizmasıdır. ( , ) ( ) ( ) halkasının bir Örnek 3.9. Örnek 3.5.(1) deki soldan −yarıdeğişmeli halkasını göz önüne alalım. ( ) (1) = 1 ve = ∈ olsun. ( ) deki gibi ( ) (1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0 olduğunu (1 − ) = 0 ve görürüz. Böylece ( ) den dolayı (1 − ) = 0 olur. O halde her ∈ için (1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0 olurki buradan = = bulunur. Sonuç olarak bir abelian halkadır.∎ 0 0 0 0 = = için AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 = Örnek 3.7. = 1 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 −1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 ∈ ( , ), ∈ ( , ) dır. Fakat 4 Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi, Atik 1 0 0 0 = 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ( ) = 0, ( ) = 0 olduğundan ve ( ) = 0 olur. Sonuç olarak ( ) ( , ) = 0 olur ki bu da bize ( , ) nin soldan −yarıdeğişmeli olduğunu gösterir.∎ ∈ ( , ) İçin ( ) Sonuç 3.11. Eğer bir durumda ( , ) soldan halkadır. = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 −1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 İspat. Teorem 3.4. ve Önerme 3.10. dan açıktır. 0 2 0 0 0 0 0 0 Bir Önerme 3.10. inmiş bir halka olsun. Eğer soldan −yarıdeğişmeli bir halka ise, bu durumda ( , ) soldan −yarıdeğişmeli halkadır. İspat. İlk olarak nin inmiş bir halka olması için gerek ve yeter koşulun =0⇒ için = 0" olduğunu gösterelim. Bunun için inmiş bir halka ve , ∈ için = 0 olsun. Bu durumda = 0 dır. Diğer taraftan ( ) = = 0 = 0 ve olduğundan = 0 bulunur. Tersine " , ∈ ç =0⇒ inmiş = 0" olsun. nin inmiş olduğunu gösterelim. Bunun için ∈ için = 0 olsun. Buradan 1 = 0 olup hipotezden 1 = 0 yani = 0 bulunur. Sonuç olarak inmiş halka olur. Şimdi = 0 , = olsun. Bu durumda Böylece 0= ve + ∈ ( , ) için 0 = 0 ve =( inmiş olduğundan = 0 olur. soldan + ) = + = = 0 olur. =0 = 0 ve böylece de −yarıdeğişmeli halka AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 halkasının ( , ) aşikar genişlemesi ≠ ( ) ( , ) ≠ olduğundan olur. Böylece ( , ) soldan −yarıdeğişmeli değildir. " , ∈ −katı halka ise, bu −yarıdeğişmeli bir ( )= 0 0 | , , , halkasına genişletilebilir. Eğer homomorfizma ise, bu durumda : ( )⟶ 0 0 ∈ 0 : → bir ( ), = 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) fonksiyonu da bir homomorfizmadır.∎ Örnek 3.12. Örnek 3.3. deki =ℤ ⊕ℤ değişmeli inmiş halkasını ve bu halkanın ( , ) = ( , ) otomorfizmasını göz önüne alalım. Bu durumda ( ) halkası soldan −yarı değişmeli bir halka değildir. Gerçekten; (1,0) (0,0) (0,0) = (0,0) (1,0) (0,0) ∈ (0,0) (0,0) (1,0) ( ), (0,1) = (0,0) (0,0) ( ) (0,0) (0,1) (0,0) (0,0) (0,0) ∈ (0,1) ( ) için = dır. Fakat olduğundan ( ) ( ) ≠ dır. = = Önerme 3.13. bir inmiş halka olsun. Eğer soldan −yarıdeğişmeli bir halka ise, bu durumda ( )= 0 0 | , , , ∈ 0 5 Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi, Atik −yarıdeğişmeli bir halkadır. halkası soldan ([ İspat. = 0 0 , = ∈ 0 0 0 ( ) için 0 olsun. Bu durumda aşağıdaki denklemleri elde ederiz. (1) = 0, (2) + = 0, (3) + + (4) + = 0. = 0, (2) denkleminden ( + ) = ( ) ve inmiş halka olduğundan = 0 olur. Benzer olarak (4) denkleminden = 0 ve =0 buluruz. Aynı zamanda (3) denkleminden + ve buradan denklemi + ) + ⎧ ⎪⎛ = ⎜ ⎨ ⎪ ⎩⎝ = ( ) Örnek 2.15. ( )= + )= ve böylece = 0 ve buradan da soldan −yarıdeğişmeli olduğundan = 0, ( ) = 0, ( ) = 0, ( ) = 0, ( ) = 0, ( ) = 0, ( ) = 0, ( ) =0 = 0 olur. olur. Bunları kullanarak ( ) ( ) = olduğunu görebiliriz ki, bu da bize ( ) halkasının soldan −yarıdeğişmeli halka olduğunu gösterir. 0 ⋮ 0 0 0 ⋱ ⋯ ⋮ ⎞ ⎟| , ∈ ⎠ bir − katı halka ve 0 0 0 0 0 | , ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ∈ 0 İçin 0 = 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 ∈ 0 0 0 0 0 0 ( ), 0 = 0 0 0 0 0 0 0 ( ) = 0 0 0 1 ∈ 0 1 0 0 dır. Fakat 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ∈ 1 0 ( ) İçin ( ) AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 ⋯ olsun. bir −katı halka olduğundan ([ , . , , . , . , 2000, Ö 5]) gereğince her = ∈ için ( ) = dir. Böylece özel olarak (1) = 1 dir. = 0 elde edilir. Böylece (3) = 0 haline gelir. Bu durumda 0= ( 0 0 olsun. Önerme 3.13. göz önüne alınarak ≥ 4 için ( ) halkasının da soldan −yarı değişmeli bir halka olacağı zannedilebilir. Fakat aşağıdaki örnek bu durumu ortadan kaldırır. soldan −yarıdeğişmeli halka olduğundan (1) denkleminden ( ) = 0 olur. ( , . , ., 2003, Ö 1.2. ]) bir inmiş halka olsun. Bu durumda ( ) halkası yarı değişmeli bir halkadır. ≥ 2 bir tamsayı olmak üzere bir −katı halkası için ( ) = ( ) Sonuç 3.14. 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ≠ 0 0 6 Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi, Atik ( ) olduğundan ( ) ( ) ≠ olur. Yani halkası soldan −yarıdeğişmeli bir halka değildir. ( ) halkasının Benzer şekilde ≥ 5 içinde soldan −yarıdeğişmeli bir halka olmadığı gösterilebilir. Her bir ∈ Γ için bir halka ve lerde halkalarının endomorfizmaları olsun. Bu durumda :∏ ∈ →∏ ∈ , ( ) = şeklinde tanımlanan fonksiyonda ∏ ∈ bir endomorfizmasıdır. ( ) halkasının Önerme 3.16. ∏ ∈ halkasının soldan −yarıdeğişmeli olması için gerek ve yeter koşul her bir halkasının soldan −yarıdeğişmeli halka olmasıdır. İspat. Açıktır.∎ Kaynaklar Başer, M., Hong, C.Y. and Kwak, T.K., 2009. On Extended Riversible Rings. Algebra Colloquium, 16(1), 37-48. Başer, M.,Harmancı, A. And Kwak, T.K., 2008. Generalized Semicommutative Rings and Their Extensions. Bulletin of the Korean Mathematical Society, 45(2), 285-297. Cohn, P.M., 1999. Reversible rings. Bulletin of the London Mathematical. Society, 31, 641-648. Habeb, J.M., 1990. A note on zero commutative and duo rings. Mathematical Journal of Okayama University, 32, 73-76. Hong, C.Y. , Kim, N.K. and Kwak, T.K., 2000. Ore extensions of Baer and p.p.-rings. Journal of Pure and Applied Algebra, 151(3), 215-226. Hong, C.Y. , Kim, N.K. and Kwak, T.K., 2003. On skew Armendariz rings. Communications in Algebra, 31(3), 103-122. Hong, C.Y. , Kim, N.K. and Kwak, T.K., 2005. Extensions of generalized reduced rings. Algebra Colloquium, 12(2), 229-240. Huh, C. , Lee, Y. and Smoktunowicz, A., 2002. Armendariz rings and semicommutative rings. Communications in Algebra, 30(2) 751-761. Kim, N.K. and Lee, Y., 2000. Armendariz rings and reduced rings. Journal of Algebra, 223, 477-488. Kim, N.K. and Lee, Y., 2003. Extensions of reversible rings. Journal of Pure Applied Algebra, 185, 207-223. Krempa, J., 1996. Some examples of reduced rings. Algebra Colloquium, 3(4), 289-300. Rege, M.B. and Chhawchharia, S., 1997. Armendariz rings. Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences, 73, 14-17. AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 7