Kalite Kontrol Diyagramlarında Varsayımların Sağlanması Ve Cam
Transkript
Kalite Kontrol Diyagramlarında Varsayımların Sağlanması Ve Cam
KALİTE KONTROL DİYAGRAMLARINDA VARSAYIMLARIN SAĞLANMASI VE CAM SANAYİİNDE BİR UYGULAMA Dr. Çiğdem ARICIGİL ÇİLAN∗ ÖZET Bilindiği gibi kalite kontrol diyagramları istatistik proses kontrolünde en sık kullanılan araçlardan biridir. Ancak diyagramların doğru olarak uygulanabilmesi bazı varsayımların sağlanması ile mümkündür. Uygulamada sıkça gözardı edilen bu varsayımların (normallik, eş varyanslılık, ardışık bağımlılık olmaması, çoklu bağlantı olmaması); tek değişkenli ve çok değişkenli kalite kontrol ayrımı göz önünde bulundurularak nasıl araştırılacağı ve sonuçlar üzerindeki etkileri incelenecektir. ABSTRACT As known, the diagrams of quality control is one of frequently used means in statistics process control. However the appropriate application of diagrams is possible through proving some hypotheses. How these hypotheses frequenty ignored at application phase,(normality, homoscedasticity, autocorrelation, multicollinearity); will be researched by taking into consideration the distinction of univariate and multivariate quality control and also their influence over result will be analysed. Giriş Globalleşmeyle birlikte rekabet kavramının önemi her geçen gün artmakta ve serbest piyasa ekonomisine sahip olan tüm işletmeleri varlıklarını devam ettirme çabası göstermeye yöneltmektedir. İşletmeler rekabet edebilmek için koşullarını yeniden inceleyerek farklı önlemler almak amacıyla sürekli yeni stratejiler geliştirmeye çalışmaktadır. İşletmelerin önceliği olan en yüksek kara sahip olma amacı yerini varlığını sürdürmek, en iyi olmak, rekabet edebilmek, dünya çapında bir işletme olmak unsurlarına bırakmıştır. Bu amaçla uygulanan işletme stratejilerinden biri de kalitesi yüksek düzeyde mal ve hizmet üretmektir. Kalitenin kontrol edilmesi için birtakım istatistik yöntemler araç olarak kullanılmaktadır. Proseslerin kontrol edilmesinde kullanılan yöntemler, istatistik proses kontrol araçları (çetele ∗ İ.Ü., İşletme Fakültesi, Sayısal Yöntemler Anabilim Dalı diyagramı, pareto diyagramı, neden-etki diyagramı, histogram, hata odaklı diyagram, serpilme diyagramı, kontrol diyagramı) olarak bilinmektedir. Kontrol diyagramları, prosesteki değişimin görsel olarak sürekli izlenebilmesini sağladığından ve kolay uygulanıp yorumlanabildiğinden bu araçlar içersinde en sık kullanılanlardan biridir. Diyagramlar değişken sayılarına göre; tek değişkenli ve çok değişkenli, değişkenin türüne göre; kalitatif değişkenlere ve kantitatif değişkenlere uygulanan kontrol diyagramları olarak sınıflandırılabilmektedir. Kantitatif değişkenlere uygulanan tek ve çok değişkenli kontrol diyagramları çizilmeden önce sağlanması gereken çeşitli varsayımlar bulunmaktadır. Uygulamada genellikle göz ardı edilen bu varsayımlar diyagramların doğru çizilebilmesi için oldukça önemlidir1. Varsayımların sağlanamaması, hesaplanan kontrol limitlerinin gerçek değerlerinden uzaklaşmasına neden olabilmektedir. Özellikle normallik ve birimlerin birbirinden bağımsızlığı varsayımları bunlar içersinde en önemli olanlarıdır. 1. Çalışmanın Amacı ve Kapsamı: Çalışmada tek ve çok değişkenli kontrol diyagramı ayrımı göz önünde bulundurularak varsayımların sağlanıp sağlanamadığının nasıl kontrol edileceği, sağlanamaması durumunda önerilen çözümler ve varsayımların kontrol limitleri üzerindeki etkisi cam sanayiinde gerçekleştirilen bir uygulama ile incelenmektedir. Uygulama, 4 kalite göstergesi olan (X1:Taban et kalınlığı, X2: Uzun kenar dıştan dışa uzunluk, X3: Kısa kenar dıştan dışa, X4:Yükseklik) cam bir tepsi üzerinde gerçekleştirilmektedir. Kontrol diyagramlarının çizilmesi iki aşamada gerçekleştirilmektedir. I.Aşama varsayımları sağlayan “aykırı” gözlem içermeyen örnek kümesinin oluşturulmasını, II. Aşama ise I. Aşamada belirlenen örnek kümesi temel alınarak hesaplanan kontrol limitlerinin, kontrol amacıyla çekilen örneklere uygulanmasını sağlamaktadır. Çalışmada örnek büyüklüğü 16 olan 41 örnek I. Aşamayı gerçekleştirmek, yine örnek büyüklüğü 16 olan 40 örnek ise prosesi kontrol etmek amacıyla (II. Aşama) incelenmektedir. Çalışmada prosesin ortalamasındaki değişim tek değişkenli durumda x -diyagramı (tek değişkenli durumda öncelikle R- diyagramlarının kontrol altında olup olmadığı araştırılarak), kalite göstergeleri arasında 1 T.P. Ryan, Statistical Methods for Quality Improvement, John Wiley&Sons, New York, 1989, s. 132. doğrusal ilişkiler saptanması durumunda ise (anlamlı korelasyon katsayıların bulunması durumunda) Hotelling T2 diyagramı temel alınarak araştırılacaktır. 2. Kontrol Diyagramlarında Normallik Varsayımı Kontrol diyagramlarında normallik varsayımının geçerliliği, tek değişkenli diyagramlarda ( x , R , x , s, s 2 v.b.) tek değişkenli, çok değişkenli diyagramlarda (Hotelling T2, MEWMA,MCUSUM, v.b.) ise çok değişkenli normal dağılımın varlığı araştırılarak incelenmektedir. Her iki durum için önerilen grafik yöntemler ve testler bulunmaktadır. 2.1 Tek Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Normallik Varsayımı Tek değişkenli normal dağılım varsayımının sağlanıp sağlanamadığının araştırılmasında kullanılan pek çok grafik ve test bulunmaktadır2: En sık kullanılan grafikler, histogram, kutu grafiği, dal-yaprak gösterimi, Q-Q grafiği, P-P grafiğidir3. Uygulamada genellikle Q-Q grafiği kullanılmaktadır. Grafiğin çizilebilmesi için gözlenen değerler küçükten büyüğe sıralanmakta ve beklenen normal dağılım değerleriyle karşılaştırılmaktadır. Q-Q grafiğinde, normal dağılım formu doğrusal bir çizgi şeklindedir. Grafiği çizilen değişken doğrusal çizgiyle karşılaştırılmakta ve dağılım normal ise, gözlenen değerler doğrusala yakın bir dağılım göstermektedir. Yöntemin uygulanması kolay olsa da, küçük örnekler için uygun bulunmamaktadır. Q-Q grafiğinin doğrusal olup olmadığının kararı subjektiftir. Bu nedenle grafiğin doğrusal olup olmadığına karar verebilmek için gözlenen değerlerle, beklenen normal dağılım değerleri arasındaki korelasyon katsayılarına bakılmaktadır. Katsayı yüksek ve anlamlı ise tek değişkenli normalliğin sağlandığı söylenebilmektedir. Tek değişkenli normalliğin testinde asimetri ve basıklık ölçüleri, χ 2 , Kolmogorov-Smirnov, Jarque-Bera, Shapiro-Wilks gibi uygunluk testleri kullanılmaktadır. Bilindiği gibi χ 2 uygunluk testinin uygulanabilmesi için her iki özelliğin şıklarına ait frekansların 5’ten büyük olması koşulu aranmakta bu nedenle büyük örneklerin gözlenmesi gerekmektedir. Kolmogorov- Smirnov testi böyle bir koşula dayanmadığından uygulamada sıklıkla kullanılmaktadır. Çalışmada Kolmogorov-Smirnov testi temel alınmaktadır. 2 B.G. Tabachnick, L.S.Fidell, Using Multivariate Statistics, 3. baskı, California, Haper Collins College Publisher, 1996, s. 71. 3 S. Sharma, Applied Multivariate Techniques, U.S.A., John Wiley &Sons, Inc., 1996, s. 376. Uygulanan grafik yöntemler ve istatistik testlerin sonucunda normal dağılmayan kalite göstergelerine dönüşüm uygulanabilmektedir. Dönüşümler kalite göstergesinin çarpıklığına ve basıklığına bağlı olarak sınıflandırılabilmektedir4. Grafik 1 Normallik İçin Uygulanan Dönüşümler Dönüşümler sonucunda normallik sağlanamıyorsa doğru kontrol limitlerinin bulunabilmesi için Chebyshev Teoremi de kullanılabilmektedir.5 Teoreme göre X değişkeni, 4 J. Stevens, Applied Multivariate Statistics for the Social Sciences, 3. baskı, New Jersey, Lawrence Erlbaum Associates. Inc., 1996, s. 246. dağılıma bakmaksızın (1 − 1/ k 2 ) olasılıkla ( X − kσ < x < X + kσ) aralığında yer almaktadır. (k, k>1 koşulunu sağlayan bir sabit olarak tanımlanmaktadır.) Burr (1967), normal dağılımdan çok fazla sapma olmadığı sürece R ve x -diyagramları için hesaplanan kontrol limitlerinin kullanılabileceğini iddia etmektedir. Kalite göstergelerinin normal dağılımın dışında bir dağılım göstermesi durumunda yine Burr tarafından diyagramların limitlerinin hesaplanmasında kullanılan D3 ve D4 sabitleri yerine 28 dağılım için önerilen sabit değerler bulunmaktadır. Bu değerler kontrol diyagramlarının (±3 σ ) limitlerinin oluşturulmasında kolaylık sağlamaktadır. Ancak oluşan limitler olasılık limitleri değildir ve bir noktanın limitlerin dışında olma olasılığı bilinmemektedir. s ve s2 diyagramları da normal dağılımdan sapmaya karşı oldukça hassastır ve bunların limitlerinin hesaplanmasında R diyagramındaki kolaylıklar geçerli olmamaktadır. Konuyla ilgili literatürdeki bazı çalışmalarda normal dağılmayan veya normal dağılıma yakın olmayan kalite göstergeleriyle çizilen tek değişkenli kontrol diyagramlarının güçlü (robust) sonuçlar verdiği iddia edilmektedir. Ancak bu iddialar örnek büyüklüğünün birden büyük (n>1) olduğu durumlar için geçerlidir6. Değişen örnek büyüklükleri (“adaptive sample size”) ile çalışıldığında ve örnek büyüklüğü küçük olduğunda diyagramlar güçlü (robust) olma özelliklerini koruyamamaktadır. 2.2 Çok Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Normallik Varsayımı Çok değişkenli istatistik analiz yöntemlerinin büyük çoğunluğunda örneklerin çok değişkenli normal dağılımlı anakütlelerden geldiği kabul edilmektedir. Bu varsayım bazı işlemlerin ve sonuçların yorumlanmasını kolaylaştırmanın ötesinde dağılım teorisi açısından da gerekli görülmektedir7. Çok değişkenli normal dağılım, tek değişkenli normal dağılımın p≥2 (p:değişken sayısı) boyutu için genelleştirilmiş şeklidir. Çok değişkenli istatistik yöntemlerin çoğu, çok değişkenli normal dağılım varsayımına dayanmaktadır. Çok değişkenli kontrol diyagramlarının çizimi de çok değişkenli istatistiklerin hesaplanmasına dayandığından, kalite 5 R.L. Mason, J.C. Young, Multivariate Statistical Process Control with Industrial Applications, Virginia, American Statistical Association, 2002, s. 48. 6 I.W. Burr, “The Effect of Non-Normality on Constants for x and R Charts, Industrial Quality Control, 1967, s. 563-569. E.G. Schilling, P.R. Nelson, “The Effect of Non-Normality on the Control Limits of x Charts”, Journal of Quality Technology, C.VIII, 1976, s. 183-188. 7 H.Tatlıdil, Çok Değişkenli İstatistiksel Analiz, Ankara, Akademi Matbaası, 1996, s. 53. göstergelerinden oluşan veri kümelerinde çok değişkenli normal dağılımın varlığı araştırılmaktadır. Çok değişkenli normal dağılımın sağlanıp sağlanamadığının belirlenmesinde kullanılan doğrudan bir test bulunmamaktadır8. Analitik ve grafik yöntemler kullanılmaktadır. Mahalinobis uzaklığı [ d 2j = ( x j − x ) ′S −1 ( x j − x ) ] ( j=1,2,3,…,m) yardımı ile normallik araştırılabilmektedir. Anakütlenin çok değişkenli normal dağılması, n veya np’nin ≥ 25 veya 30 olması durumunda her uzaklık dj2 (d12, d22,…, dm2) bir χ2 tesadüfi değişkenine benzemektedir. Ancak uzaklıklar (dj2), birbirlerinden bağımsız olmamakta ve kesin bir χ2 dağılımı göstermemektedir9. dj2 değerleri ile çizilen grafik χ2-grafiği olarak adlandırılmaktadır. Çok değişkenli normal dağılım varsayımının araştırılması amacı ile oluşturulacak χ2- grafiğinin çizilebilmesi için aşağıdaki adımların izlenmesi gerekmektedir10: - Hesaplanan dj2 değerleri küçükten büyüğe doğru sıralanır(d12<d22<,…, <dm2) - [χ2p,[(m-j+1/2)/m] ,dj2] ikililerine ilişkin bir grafik çizilir. Çok değişkenli normalliğin sağlandığı bir veri kümesinde grafiğin, eğimi 1 olan doğrusal bir çizgi şeklinde olması gerekmektedir. Sistematik bir eğilim normallikten sapma olduğunu göstermektedir. Çok değişkenli normalliğin sağlanabilmesi için dj2 değerlerinin yaklaşık yarısının χ p2 ,0.50 değerinden küçük olması beklenmektedir11. χ2-grafiğinde yer alan dj2 ve χ2 değerleri arasında hesaplanan yüksek bir korelasyon katsayısı, çok değişkenli normal dağılım varsayımının varlığını desteklemektedir12. Çok değişkenli normalliğin sağlanması durumunda genellikle her değişkenin tek değişkenli normal dağılma uyduğu görülmektedir. Ancak tüm değişkenlerin tek değişkenli dağılıma uygun olması veri kümesinin çok değişkenli normal dağılıma uygun olduğunu garanti etmemektedir. Böyle bir yaklaşım çok değişkenli normalliğin araştırılmasında iyi bir başlangıç noktası olarak kabul edilmekte ve en temel yöntem olarak bilinmektedir13. Bu 8 J.F. Hair, R.E. Anderson, R.L. Tatham, W.C. Black, Multivariate Data Analysis, 5.baskı, New Jersey, Prentice Hall, 1998, s .348. 9 R. A. Johnson, D.W.Wichern, Applied Multivariate Statistical Analysis, 4 baskı, New Jersey, Prentice Hall, 1998, s. 196. 10 Johnson, Wichern, a.g.e., s. 196. 11 Johnson, Wichern, a.g.e., s. 199. 12 Sharma, a.g.e., s. 382. 13 A.Nijhuis, S. Jong, B.G.M. Vandeginste, “The Application of Multivariate Quality Control in Gas Chromatography”, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, C.XLVII, No:1, 1999, s. 110 nedenle veri kümesindeki değişkenlerin tek değişkenli normal dağılıma uyması, çok değişkenli normal dağılımın sağlanmasına yardımcı olmaktadır14. Dolayısıyla çok değişkenli normalliğin sağlanıp sağlanamamasının araştırılmasında tek değişkenli normalliğin sınanması önemli olmaktadır. Sonuç olarak veri kümesi çok değişkenli normal dağılıma uymuyorsa, tek değişkenli normal dağılmayan değişken araştırılmakta ve gerekli dönüşümler yapılarak normallik sağlanmaktadır15. 3. Tek ve Çok Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Gözlem Değerlerinin Bağımsızlık Varsayımı (Otokorelasyon Olmaması) Gözlemlerin bağımsızlığı varsayımı (otokorelasyonun olmaması), tek ve çok değişkenli kontrol diyagramlarının en temel varsayımlarından biridir ve diyagramların doğru çizilebilmesi için oldukça önemlidir.16 Bilindiği gibi otokorelasyon, çapraz kesit verilerinde veya zaman serilerindeki birimlerin değerleri arasındaki bağımlılık derecesini ölçen korelasyon katsayısı olarak tanımlanmakta17 ve otokorelasyon olması durumunda yapılacak tesadüfiliğe dayanan aralık tahminleri ve istatistik testler geçerliliklerini kaybedeceğinden, kontrol sürecinde ciddi sorunlarla karşılaşılabilmektedir. İncelenen kalite göstergesinde otokorelasyon olup olmadığı çeşitli uzunluktaki kaydırmalarla Q testi (Portmanteau Testi olarak da bilinmektedir) ve “t benzeri testi” kullanılarak araştırılabilmektedir. Kalite göstergesinde otokorelasyon olması durumunda “Otoregresif Modeller (AR)” ve/veya geçmiş dönem hatalarının doğrusal kombinasyonlarının kullanıldığı “Hareketli Ortalama Modelleri (MA)” ’inden hata kareleri toplamı en az olanı seçilerek uygun bir zaman serisi modeli oluşturulmaktadır18. Bu modelin artıklarıyla (et) tek değişkenli kontrol diyagramının çizilmesi önerilmektedir. Ancak artıklara uygulanan kontrol diyagramındaki tüm et’lerin kontrol altında S. Looney, “How to Use Tests for Univariate Normality to Assess Multivariate Normality, The American Statistician, C.XLIX, No:1, 1995, s. 64. 14 Stevens, a.g.e., s. 262. 15 Shama, a.g.e., s. 376. 16 A. Oğuzlar, “Hotelling T2 Grafiği ve Bir Uygulama”, Uludağ Üniversitesi İktisadi İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, C. XVII, No:1-2, 1999, s. 1. 17 P.J. Brockwell, R.A. Davis, Introduction to Time Series and Forecasting, U.S.A., Springer Verlag, 1996, s. 44. 18 N. Orhunbilge, Zaman Serileri Analizi Tahmin ve Fiyat İndeksleri, İstanbul, İ.Ü. İşletme Fakültesi Yayını, 1999 s. 143-152. olmaması oluşturulan modelin doğru olmadığını yanlış tanımlandığını göstermektedir. Bu durum otokorelasyon sorununun ortadan kaldırılamadığı anlamına gelmektedir19. Çok değişkenli veri kümelerinde otokorelasyonun saptanması durumunda, birçok araştırmacı çok değişkenli kontrol diyagramları yerine tek değişkenli kontrol diyagramlarının uygulanmasını önermektedir20. Otokorelasyonlu çok değişkenli veri kümesi için, önerilen diğer bir yaklaşım, otokorelasyonlu değişken(ler)e uygun ARIMA modelinin seçilip, değişken(ler)in bağımlı oldukları dönem sayısı kadar gecikmeleri alınarak, veri kümesine gecikmeli değişkenleri eklemektir. Örneğin x1t, x2t, x3t değişkenlerinden oluşan veri kümesinde x1 otokorelasyonlu olarak kabul edildiğinde ve x1 için en uygun modelin AR(1) olduğu varsayıldığında veri kümesine (x1t, x2t, x3t ) x1t-1 değişkeni eklenmektedir. Yeni oluşan veri kümesiyle (x1t, x2t, x3t x1t-1) çok değişkenli kontrol diyagramı çizilebilmektedir21. 4. Tek Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Kalite Göstergeleri Arasında Bağımsızlık ve Çok Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Doğrusallık Varsayımı Tek değişkenli kontrol diyagramlarının (Shewhart, CUSUM, EWMA v.b.), kullanılmasından kaynaklanan en önemli sorun sadece tek değişkenli ve birbirinden bağımsız değişkenlere uygulanabilmesi kısıtına sahip olmasıdır. Birden fazla kalite göstergesinin eş anlı olarak incelenmesinde tek değişkenli kontrol diyagramlarının kullanılması özellikle değişkenler arasında “biraz” (mildley) ve yüksek düzeyde korelasyon olduğunda proses hakkında kısmi bilgilerin elde edilmesine neden olmaktadır22. Çok değişkenli istatistik yöntemler doğrusal korelasyon temeline dayanmaktadır. Çok değişkenli kontrol diyagramları da çok değişkenli istatistiklere dayandığından kalite göstergeleri arasında doğrusal ilişkiler aranmaktadır. İlişkinin derecesi, serpilme diyagramları ile kesin olmamakla birlikte ortaya çıkarılabilmektedir. Ancak doğrusallığın sağlanıp sağlanamadığının araştırılmasında doğrusal korelasyon katsayıları ve bu katsayıların anlamlılıkları önemlidir. 19 D.C. Montgomery, C.M. Mastrangelo “Some Statistical Process Control Methods for Autocorrelated Data”, Journal of Quality Technology, C:XXIII, No. 3, 1991, s. 180. 20 R. Mason, N. D.Tracy, J.C. Young, “Monitoring a Multivariate Step Process”, Journal of Quality Technology, C.XXIIX, No:1, 1996, s. 39. 21 R.L.Mason, J.C.Young, “A Control Procedure for Autocorrelated Multivariate Processes", American Statistical Association, 1997, s. 143-145. 22 C.Fuchs, R.S. Kenett, Multivariate Quality Control:Theory and Applications, New York, Marcel Dekker, Inc., 1998, s. 78. Uygulamada tek veya çok değişkenli kontrol diyagramlarından hangisinin uygulanmasının uygun olacağına, kalite göstergeleri arasındaki korelasyon katsayılarının hesaplanması ile karar verilmektedir. Anlamlı korelasyon katsayıları kalite göstergeleri arasındaki doğrusal ilişkinin varlığını desteklerken, aralarındaki korelasyon katsayısı anlamsız olan göstergeler bağımsız kabul edilebilmektedir. Anlamsız olan kalite göstergeleri için daha üst dereceden fonksiyonlar denenerek var olabilecek doğrusal olmayan ilişkilerin ortaya çıkarılması önerilmektedir. Bu durumda öncelikle ikinci derece fonksiyonlar ile hesaplanan çoklu korelasyon katsayılarının, basit korelasyon katsayılarından büyük ve anlamlı olup olmadıkları incelenmelidir. Katsayılar büyük ve anlamlı ise fonksiyonun derecesi yükseltilerek daha üst dereceden fonksiyonlar denenebilir veya değişkenlere dönüşüm uygulanarak doğrusallık sağlanabilmektedir23. Grafik 2’de önerilen dönüşümler gösterilmektedir24 Grafik 2: Doğrusal Olmayan İlişkilerin Doğrusal Hale Getirilmesi İçin Önerilen Dönüşümler X12 X1 X1 log X1 -1 / X1 X1 log X2 -1 / X2 X2 X22 X2 X2 (a) (b) log X1 -1/X1 X1 X1 X2 X12 X1 log X2 -1 / X2 X2 2 X2 (c) 24 J.F. Hair v.d., a.g.e., s. 77. X2 (d) 5. Çok Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Eş-Varyans Kovaryans Matrisi Varsayımı Çok değişkenli kontrol diyagramlarının en temel varsayımlarından biri de varyanskovaryans matrislerinin eşitliği varsayımıdır. Bu varsayımın sağlanabilmesi için, matris cebirinden de bilindiği gibi matrisin tüm elemanlarının birbirine eşit olması gerekmektedir. Uygulamada bu koşulun sağlanması güç görünmektedir. Veri kümesinde yer alan örneklerin birim sayıları (n) yeterince büyük olmadığında, varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği önem kazanmaktadır. Eşitlik, varyansların ( σ ii2 i = 1,2,..., p ) ve kovaryansların ( σ ij i, j = 1,2,..., p i ≠ j ) eşit olması ile sağlanabilmektedir. Varyans-kovaryans matrislerinin eşitliğinin test edilmesi gerekmektedir. Ancak bu amaçla geliştirilen testler çok değişkenli normal dağılım varsayımına oldukça duyarlıdır25. Bu nedenle öncelikle çok değişkenli normallik varsayımının sağlanması önerilmektedir26. Uygulamada en sık kullanılan test Box-M testidir27. Çalışmada bu test temel alınarak varsayımın sağlanıp sağlanamadığı araştırılmaktadır. Eşitlikten sapmalar α ve β hatalarını etkilemektedir. Ancak yapılan simülasyon çalışmaları α hatasının daha çok etkilendiğini göstermektedir28. Varsayımın gerçekleşmemesi durumunda, çok değişkenli kontrol diyagramlarının güçlü (robust) sonuçlar verdiği iddia edilmektedir29. 6. Uygulama Sonuçları 6.1 Kontrol Göstergeleri Arasındaki Korelasyon Yapısının İncelenmesi Tek değişkenli ve çok değişkenli kontrol diyagramlarından hangisinin incelenen kalite göstergelerine daha uygun olduğuna karar verebilmek için öncelikle göstergeler arasındaki korelasyon katsayılarının incelenmesi gerekmektedir. 25 Johnson, Wichern, a.g.e., s. 238. Stevens, a.g.e., s. 251-253. 27 R. Alpar, Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistiksel Yöntemlere Giriş 1, 2.baskı, Ankara, Nobel Yayınevi, 2003, s. 131. 28 L.N. Holloway, O.J.Dunn, “The Robustness of Hotelling’s T2”, Journal of American Statistical Association, C.LXII, 1967, s. 124-136. 29 W.W. Cooley, P.R.Lohnes, Multivariate Data Analysis,, New York, Wiley, 1971 26 Tablo 1:Kalite Göstergelerine İlişkin Korelasyon Matrisi Korelasyonlar TABETKAL UDISDIS KDISDIS YUKSEK 1 -,011 ,243 ,014 . 41 ,948 41 ,127 41 ,931 41 -,011 1 ,158 ,213 ,948 41 . 41 ,324 41 ,182 41 ,243 ,158 1 -,055 Anlam. (2-tailed) N Pearson Korelasyon ,127 41 ,324 41 . 41 ,733 41 ,014 ,213 -,055 1 Anlam. (2-tailed) N ,931 41 ,182 41 ,733 41 . 41 TABETKAL Pearson Korelasyon UDISDIS Anlam. (2-tailed) N Pearson Korelasyon KDISDIS Anlam. (2-tailed) N Pearson Korelasyon YUKSEK Tablo 1’deki değerler incelendiğinde göstergelerin birbirinden bağımsız olduğu (aralarında doğrusal bir ilişkinin olmadığı) görülmektedir. Dolayısıyla tek değişkenli kontrol diyagramlarının çizilmesi uygun görülmektedir. Göstergelerin doğrusallaştırılabilmesi amacıyla önerilen dönüşümler uygulanmış ancak anlamlı korelasyon katsayıları elde edilememiştir. Literatürde çok değişkenli kontrol diyagramlarının çizilebilmesi için göstergeler arasında doğrusal ilişkiler aranmasına rağmen Jackson ve Morris (1957) çalışmalarında birbirleriyle ilişkili göstergelere Temel Bileşenler Analizi uygulayarak anlamlı temel bileşenlerle çok değişkenli kontrol diyagramları çizmişlerdir. Temel bileşenlerin birbirinden bağımsız oldukları dikkate alındığında, çizilen çok değişkenli kontrol diyagramı sadece tek değişkenli kontrol diyagramlarında kontrol dışında olan örneklerin tek bir diyagramda görülmesini sağlamaktadır. Ancak çok değişkenli diyagramların amaçlarından biri olan “kalite göstergeleri arasındaki ilişkiden kaynaklanan kontrol dışı durumun saptanması” mümkün olmamaktadır. 6.2. Tek ve Çok Değişkenli Normal Dağılımın Sağlanması Tek değişkenli normallik varsayımının geçerliliği; “taban et kalınlığı”, uzun kenar dıştan dışa uzunluk”, “kısa kenar dıştan dışa uzunluk”, “yükseklik” kalite göstergelerine Kolmogorov-Smirnov testi uygulanarak araştırılmaktadır. Test sonuçları Tablo 2’de gösterilmektedir: Tablo 2: Kalite Göstergelerine Uygulanan Kolmogorov-Smirnov Testi Sonuçları Kolmogorov-Smirnov Testi N Normal Parameters Most Extreme Differences Ortalama Std. Sapma Mutlak Pozitif Negatif tabetkal 41 6.5059 .2012 .133 .125 -.133 udisdis 41 398,669 .7607 .225 .155 -.225 kdisdis 41 268,067 .4999 .098 .098 -.095 yukseklik 41 50.5598 .2020 .066 .047 -.066 .851 1.439 .625 .425 .463 .032 .830 .994 Kolmogorov-Smirnov Z Asimp. Anlam. (2-taraflı) Tablo 2 incelendiğinde “uzun kenar dıştan dışa uzunluk” göstergesinin normal dağılmadığı (0,032 düzeyinde anlamlı olduğu) görülmektedir. Çok değişkenli normal dağılım varsayımının sağlanıp sağlanamadığı çizilecek olan χ 2 -grafiği ile araştırılacaktır. Grafik 3: 41 Örnekle Çizilen χ 2 -Grafiği d-kare Değerleri 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Ki-kare Değerleri Grafik 3 incelendiğinde bir örneğin belirgin bir şekilde “aykırı” olduğu görülmektedir. χ 2 ve d2 değerleri arasındaki korelasyon katsayısı 0,9287’dir. “Aykırı” olan örnek (10.örnek) veri kümesinden çıkarılarak çizilen χ 2 -grafiği aşağıdaki gibidir: Grafik 4: 10. Örnek Çıkarılarak Çizilen χ 2 -Grafiği d-kare Değerleri 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Ki-kare Değerleri 10. örnek çıkarılarak hesaplanan korelasyon katsayısının değerinde (0,9230) bir önceki durumda hesaplanan korelasyon katsayısına (0,9287) göre önemli bir değişiklik görülmemektedir. Ancak “aykırı” olan bu örneğin veri kümesinden çıkarılması tek değişkenli normal dağılmayan “uzun kenar dıştan dışa uzunluk” göstergesinin normal dağılmasını sağlamaktadır. Tablo 3:”Uzun Kenar Dıştan Dışa Uzunluk” Göstergesine İlişkin (10.Örnek Dışında) Kolmogorov-Smirnov Testi Sonucu N Normal Parametreler Ortalama Std. Sapma Mutlak Pozitif Negatif Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Anlam. (2-taraflı) UZDISIDI 40 398,7536 ,54127 ,143 ,125 -,143 ,905 ,386 10. örnek veri kümesinden çıkarıldığında tüm kalite göstergeleri tek ve çok değişkenli normal dağılım varsayımını sağlamaktadır. Veri kümesi ile ilgili diğer varsayımlar 10 .örnek dışındaki örnekler temel alınarak incelenecektir. 6.3 Gözlem Değerlerinin Bağımsızlık Varsayımının Sağlanması (Otokorelasyon Olmaması) İncelenen kalite göstergelerinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon katsayıları aşağıdaki grafiklerde gösterilmektedir: Grafik 5: “Taban Et Kalınlığı” Göstergesinin Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Katsayıları TABETKAL TABETKAL 1,0 ,5 ,5 0,0 0,0 ACF -,5 Confidence Limits -1,0 Coefficient 1 3 2 5 4 7 6 9 8 Partial ACF 1,0 11 13 15 -,5 Confidence Limits -1,0 Coefficient 1 10 12 14 16 3 2 Lag Number 5 4 7 6 9 8 11 13 15 10 12 14 16 Lag Number Grafik 6:“Uzun Kenar Dıştan Dışa Uzunluk” Göstergesinin Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Katsayıları UZDISIDI UZDISIDI 1,0 ,5 ,5 0,0 0,0 ACF -,5 Confidence Limits Coefficient -1,0 1 3 2 5 4 7 6 Lag Number 9 8 11 13 15 10 12 14 16 Partial ACF 1,0 -,5 Confidence Limits -1,0 Coefficient 1 3 2 5 4 7 6 Lag Number 9 8 11 13 15 10 12 14 16 Grafik 7:“Kısa Kenar Dıştan Dışa Uzunluk” Göstergesinin Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Katsayıları KISDISDI KISDISDI 1,0 1,0 ,5 ,5 0,0 ACF -,5 Confidence Limits Coefficient -1,0 1 3 2 5 4 7 6 9 8 Partial ACF 0,0 11 13 15 -,5 Confidence Limits Coefficient -1,0 1 3 2 10 12 14 16 5 4 7 6 9 8 11 13 15 10 12 14 16 Lag Number Lag Number Grafik 8:“Yükseklik” Göstergesinin Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon Katsayıları YUKSEKLI YUKSEKLI 1,0 ,5 ,5 0,0 0,0 ACF -,5 Confidence Limits Coefficient -1,0 1 3 2 5 4 7 6 Lag Number 9 8 11 13 15 10 12 14 16 Partial ACF 1,0 -,5 Confidence Limits -1,0 Coefficient 1 3 2 5 4 7 6 9 8 11 13 15 10 12 14 16 Lag Number Otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon katsayıları incelendiğinde “taban et kalınlığı” göstergesinde otokorelasyonun varlığı açıkça görülmektedir. Bu durumda göstergenin birinci farkları alınacaktır. Birinci farkı alınmış göstergeye uygun modelin belirlenebilmesi için yapılan denemeler sonucunda ARIMA (2,1,0) modelinin parametrelerinin anlamlı ve diğer modellere göre hata kareleri toplamının minimum olduğu anlaşılmaktadır. “Taban et kalınlığı” için çizilecek tek değişkenli kontrol diyagramı ancak ARIMA(2,1,0) modelinin artıkları ile çizildiğinde doğru sonuçlar verecektir. “Kısa kenar dıştan dışa uzunluk” göstergesinde de ilk iki gecikme ile hesaplanan otokorelasyon katsayılarının anlamlı oldukları görülmekte ancak fark alınmadan ve fark alınarak denenen modellerin hiçbirinde tüm parametrelerin anlamlı olduğu ve hata kareleri toplamı minimum olan bir model elde edilememektedir. Dolayısıyla bu göstergenin orijinal haliyle tek değişkenli kontrol diyagramının çizilmesine karar verilmiştir. Teoriye göre otokorelasyonlu veri kümesiyle çok değişkenli kontrol diyagramı çizilmek istendiğinde “taban et kalınlığı”, “uzun kenar dıştan dışa uzunluk”, “kısa kenar dıştan dışa uzunluk” ve “yükseklik” göstergeleri ile birlikte “birinci farkı alınmış taban et kalınlığı göstergesinin birinci ve ikinci gecikmeli değerlerini veren göstergelerin eklenmesi gerekmektedir. 6.4 Çok Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Eş Varyans-Kovaryans Matrisi Varsayımının Sağlanması Eş varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği varsayımı, Box-M testi uygulanarak araştırılmıştır. Tablo 4: Box-M Testi Sonucu Box's M F 2359,398 Yaklaşık 5,433 sd1 390 sd2 96034,044 Anlam. ,000 Test sonucunun anlamlı olduğu (eş varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği varsayımının sağlanamadığı) görülmektedir. Ancak veri kümesinde örnek büyüklüğünün 16 olması ve literatürde çok değişkenli kontrol diyagramlarının, bu varsayımın sağlanamamasına karşı güçlü sonuçlar verdiğinin iddia edilmesi dikkate alınarak çok değişkenli kontrol diyagramının çizilebileceğine karar verilebilmektedir. 6.5 Varsayımların Kalite Kontrol Diyagramları Üzerindeki Etkisi İncelenen veri kümesi, çok değişkenli normal dağılım ve otokorelasyon varsayımlarını sağlamaktadır. Ancak kalite göstergeleri arasında hesaplanan korelasyon katsayıları anlamlı değildir. Bu durumda çok değişkenli bir kontrol diyagramı yardımıyla sadece (Hotelling T2, MEWMA, MCUSUM v.b.), hangi örneğin kontrol dışında olduğu belirlenebileceğinden (göstergeler birbirinden bağımsız olduğun için doğrusal ilişkilerden kaynaklanan kontrol dışı durum saptanamayacağından) varsayımların dikkate alınmasının x - diyagramını nasıl etkilediği (R diyagramları kontrol altındadır) incelenecektir. Öncelikle I. Aşamada otokorelasyon dikkate alınmadan ve alınarak hesaplanan kontrol limitleriyle çizilen diyagramlar incelendiğinde (Grafik 9-10), Grafik 10’daki limitlerin II. Aşamada kullanılması gereken doğru limitler olduğu görülmektedir. Grafik 9: I. Aşamada Otokorelasyonlu “Taban Et Kalınlığı” Göstergesinin x Diyagramı Grafik 10: I. Aşamada “Taban Et Kalınlığı” Göstergesinin ARIMA (2,1,0) Modelinin Artıklarıyla (et) Çizilen Kontrol Diyagramı 0,3 Error for TABETKAL from ARIMA, MOD_2 CON 0,2 UCL = ,2576115 Average = -,0020896 LCL = -,2617907 0,1 0,0 -0,1 -0,2 -0,3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sigma level: 3 Grafik 11: II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınmadan Çizilen “Taban Et Kalınlığı” Göstergesinin x -Diyagramı 7,2 7 6,8 6,6 ÜKL=6,7635 6,4 x-bar Değerleri 6,2 AKL=6,2484 6 5,8 37 33 29 25 21 17 13 9 5 1 5,6 Grafik 12 : II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınarak Çizilen “Taban Et Kalınlığı” Göstergesinin Artıklarıyla ( et) Çizilen Kontrol Diyagramı 0,6 0,4 0,2 ÜKL=0,2576 37 33 29 25 21 17 9 13 -0,2 5 1 0 et AKL=-0,261790 -0,4 -0,6 -0,8 Yukarıda “Taban Et Kalınlığı” göstergesinin her iki durumda da kontrol dışında olduğu görülmektedir. Ancak kontrol dışında olan örnekler varsayımlar dikkate alındığında değişmektedir. Varsayımlar dikkate alınmadan; 6., 7., 12., 13., 16., 27., 29., 31., 35. örnekler kontrol dışındayken, otokorelasyon ve normallik dikkate alındığında; 4., 7., 9., 23., 27., 32., 34., 35., 36. ve 37. örneklerin kontrol dışındadır. Diyagram varsayımlar sağlanmadan çizildiğinde kontrol dışında görülen örneklerin aslında kontrol altında olduğu (7.27. ve 35. örnekler dışında) ve gerçekte kontrol dışında olan örneklerin saptanamadığı (4., 9., 23.,32., 34., 36., 37.) görülmektedir. Grafik 13 :II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınmadan Çizilen “Uzun Kenar Dıştan Dışa Uzunluk” Göstergesinin x -Diyagramı 401 400 399 ÜKL 398 x-bar Değerleri AKL 397 396 40 37 34 31 28 25 22 19 16 13 10 7 4 1 395 Grafik 14 : II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınarak Çizilen “Uzun Kenar Dıştan Dışa Uzunluk” Göstergesinin x -Diyagramı 400,5 400 399,5 399 ÜKL 398,5 x-bar Değerleri 398 397,5 AKL 397 396,5 396 37 33 29 25 21 17 13 9 5 1 395,5 “Uzun Kenar Dıştan Dışa Uzunluk” göstergesi varsayımlar sağlanmadan çizildiğinde kontrol altındadır. Ancak varsayımlar dikkate alındığında 5., 10. ve 19. örneklerin kontrol dışında olduğu anlaşılmaktadır. Grafik 15 :II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınmadan Çizilen “Kısa Kenar Dıştan Dışa Uzunluk” Göstergesinin x -Diyagramı 270 269 268 ÜKL=269,1354 267 x-bar Değerleri AKL=266,9985 266 265 37 33 29 25 21 17 13 9 5 1 264 Grafik 16: II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınarak Çizilen “Kısa Kenar Dıştan Dışa Uzunluk” Göstergesinin x -Diyagramı 270 269 268 AKL=267,0275 267 x-bar Değerleri ÜKL=269,1135 266 265 37 33 29 25 21 17 13 9 5 1 264 “Kısa kenar Dıştan Dışa Uzunluk” göstergesi her iki durumda da kontrol dışındadır. Ancak varsayımlar dikkate alınmadan, 18., 33., 40. örnekler kontrol dışında görülürken, varsayımlar sağlandığında 5. örneğin de kontrol dışında olduğu belirlenmiştir. Grafik 17: : II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınmadan Çizilen “Yükseklik” Göstergesinin x -Diyagramı 51,2 51 50,8 50,6 50,4 ÜKL=51,0529 50,2 x-bar Değerleri 50 AKL=50,0667 49,8 49,6 49,4 Grafik 18 : II. Aşamada 37 33 29 25 21 17 13 9 5 1 49,2 Varsayımlar Dikkate Alınarak Çizilen “Yükseklik” Göstergesinin x -Diyagramı 51,2 51 50,8 50,6 50,4 ÜKL=51,0703 50,2 x-bar Değerleri 50 AKL=50,0588 49,8 49,6 49,4 37 33 29 25 21 17 13 9 5 1 49,2 “Yükseklik” göstergesi de her iki durumda kontrol dışındadır.Ancak varsayımlar gözardı edilerek çizilen diyagramda 5., 17., 18., 25. örnekler kontrol dışındayken, normallik ve otokorelasyon dikkate alındığında sadece 18. ve 5. örneklerin kontrol dışında olduğu görülmektedir. SONUÇ: Uygulama sonuçları incelendiğinde; gözlemlerin birbirinden bağımsız olması (otokorelasyon olmaması) ve normallik varsayımlarının prosesle ilgili doğru bilgilerin elde edilmesinde oldukça önemli olduğu anlaşılmaktadır. Varsayımlar dikkate alınmadığında, gerçekte kontrol altında olan örnekler kontrol dışında, kontrol dışındaki örnekler ise kontrol altında kabul edilebilmekte veya kontrol dışındaki örnekler eksik saptanmaktadır. Prosesle ilgili tüm bu yanıltıcı bilgilerin oluşmasına engel olabilmek için öncelikle korelasyon matrisi yardımıyla çizilecek kontrol diyagramlarının, değişken sayısına göre sınıflandırması (tek veya çok değişkenli) gerekmektedir. Çalışmada, kalite göstergeleri arasında anlamlı ilişkiler olmamasına rağmen çok değişkenli durumda varsayımların nasıl araştırıldığının açıklanması amacıyla özellikle çok değişkenli normallik varsayımı üzerinde durulmuş ve tek değişkenli normal dağılım varsayımı arasındaki ilişki vurgulanmıştır. Varsayımlar sağlandığında hesaplanan kontrol limitlerinin, varsayımlar dikkate alınmadan belirlenen limitlerden çok düşük oranlarda farklılaştığı ancak limitlerdeki küçük farklılıkların prosesin gerçek durumunun saptanmasında etkin ve önemli olduğu görülmektedir. Özellikle mikron mertebesinde çalışılan iş kollarında (metal iş kolunda; kompresör üretiminde, mutfak robotlarının üretiminde v.b.) bu önem daha da artmakta ve ürünün kalite düzeyini belirlemektedir. Günümüzde işletmelerin rekabet üstünlüklerini koruyabilmek için, uyguladıkları stratejilerden biri olan farklılaşma stratejisi, üstün kaliteli mal ve hizmet üretmeyi temel almaktadır. Uzun dönemde yaşamını sürdürmeyi, ortalama karın üzerinde getiriyi hedefleyen işletmelerin, daha kaliteli mal ve hizmet üretebilmeleri için, istatistik proses kontrol aşamasında kullanılan araçların varsayımlarının dikkate alınarak uygulanması önerilmektedir. KAYNAKÇA Alpar, R. Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistiksel Yöntemlere Giriş 1, 2.baskı, Ankara, Nobel Yayınevi, 2003 Brockwell, P.J., R.A. Davis, Introduction to Time Series and Forecasting, U.S.A., Springer Verlag, 1996 Burr,I.W. “The Effect of Non-Normality on Constants for x and R Charts, Industrial Quality Control, 1967, s. 563-569. Cooley, W.W., P.R.Lohnes, Multivariate Data Analysis,, New York, Wiley, 1971 Fuchs,C., R.S. Kenett, Multivariate Quality Control:Theory and Applications, New York, Marcel Dekker, Inc., 1998 Hair,J.F., R.E. Anderson, R.L. Tatham, W.C. Black, Multivariate Data Analysis, 5.baskı, New Jersey, Prentice Hall, 1998 Hollander,M., D.A. Wolfe, Nonparametric Statistical Methods, 2. baskı, New York, John Wiley &Sons Inc., 1999, s. 529. Holloway, L.N., O.J.Dunn, “The Robustness of Hotelling’s T2”, Journal of American Statistical Association, C.LXII, 1967 Johnson, J.A., D.W.Wichern, Applied Multivariate Statistical Analysis, 4 baskı, New Jersey, Prentice Hall, 1998, s. 196. Looney, S., “How to Use Tests for Univariate Normality to Assess Multivariate Normality, The American Statistician, C.XLIX, No:1, 1995 Mason, R.L., N. D.Tracy, J.C. Young, “Monitoring a Multivariate Step Process”, Journal of Quality Technology, C.XXIIX, No:1, 1996 Mason, R.L. J.C.Young, “A Control Procedure for Autocorrelated Multivariate Processes", American Statistical Association, 1997 Mason R.L., J.C. Young, Multivariate Statistical Process Control with Industrial Applications, Virginia, American Statistical Association, 2002, s. 48. Montgomery, D.C., C.M. Mastrangelo “Some Statistical Process Control Methods for Autocorrelated Data”, Journal of Quality Technology, C:XXIII, No. 3, 1991 Nijhuis,A., S. Jong, B.G.M. Vandeginste, “The Application of Multivariate Quality Control in Gas Chromatography”, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, C.XLVII, No:1, 1999 Oğuzlar, A. “Hotelling T2 Grafiği ve Bir Uygulama”, Uludağ Üniversitesi İktisadi İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, C. XVII, No:1-2, 1999, s. 1. Orhunbilge N., Örnekleme Yöntemleri ve Hipotez Testleri, İstanbul, İ.Ü.İşletme Fakültesi Yayını, 1997 Orhunbilge, N., Zaman Serileri Analizi Tahmin ve Fiyat İndeksleri, İstanbul, İ.Ü. İşletme Fakültesi Yayını, 1999 Ryan, T.P., Statistical Methods for Quality Improvement, John Wiley&Sons, New York, 1989 Tabachnick, B.G., L.S.Fidell, Using Multivariate Statistics, 3. baskı, California, Haper Collins College Publisher, 1996, s. 71. Schilling, E.G., P.R. Nelson, “The Effect of Non-Normality on the Control Limits of x Charts”, Journal of Quality Technology, C.VIII, 1976 Sharma, S., Aplied Multivariate Techniques, U.S.A., John Wiley &Sons, Inc., 1996, Stevens, J. Applied Multivariate Statistics for the Social Sciences, 3. baskı, New Jersey, Lawrence Erlbaum Associates. Inc., 1996 Tatlıdil, H. Çok Değişkenli İstatistiksel Analiz, Ankara, Akademi Matbaası, 1996 Timm, N.H., Applied Multivariate Analysis, Springer Verlag, U.S.A., 2002