MANELAUS TEOREMİ
Transkript
MANELAUS TEOREMİ
ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI -2014 PROJENİN ADI PTOLEMY TEOREMİ VE UYGULAMALARI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR HALİL İBRAHİM YAZICI MUHAMMED ENİS ŞEN PROJE DANIŞMANI ABDULGAFUR TAŞKIN ÖZEL MÜRÜVVET EVYAP KOLEJİ VE FEN LİSESİ İSTANBUL 201 1 İçindekiler GİRİŞ: ..................................................................................................................................................... 3 AMAÇ: .................................................................................................................................................... 3 YÖNTEM: ............................................................................................................................................... 3 Ptolemy (Batlamyus) Teoremi : .......................................................................................................... 4 Ptolemy Teoreminin Karşıtı: ............................................................................................................... 4 Teorem 1: ............................................................................................................................................ 5 Teorem 2: ............................................................................................................................................ 6 Teorem 3: ............................................................................................................................................ 8 Teorem 4: .......................................................................................................................................... 10 Varignon Teoremi: ............................................................................................................................ 13 Teorem 5: .......................................................................................................................................... 15 Teorem 6: .......................................................................................................................................... 20 Teorem 7: .......................................................................................................................................... 23 Teorem 8: .......................................................................................................................................... 27 Teorem 9: .......................................................................................................................................... 29 Teorem 10: ........................................................................................................................................ 31 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI:: ........................................................................................................ 313 SONUÇLAR: ...................................................................................................................................... 345 KAYNAKLAR:................................................................................................................................... 366 2 GİRİŞ: Cladius Ptolemaeus İskenderiyeli Yunan gökbilimci, matematikçi ve coğrafyacıdır. Yaklaşık olarak 85 ile 165 yılları arasında yaşadığı kabul edilir. İki önemli yapıtın yazarıdır: Almagest ve Coğrafya. Bu yapıtlar Avrupa’nın orta çağın karanlığını Arapça çevirileri ile aşabilmişlerdir. Almagest adlı yapıtında Dünya merkezli bir Güneş Sistemi modeli önerilir. Bu model Kopernik’in Güneş merkezli modeline dek Batı ve İslam dünyalarında geçerli model olarak kabul edilmiştir. Geç İskenderiye Dönemi’nde yaşamış ünlü bilim adamlarından biridir. Bu bilim adamının bilime önemli katkılarından biri de geometride sık kullanılan Ptolemy teoremidir. Bu projede bu teoremi ve uygulamalarını ele aldık. AMAÇ: Bu projede amacımız Ptolemy Teoreminden yola çıkarak kirişler dörtgeninde orijinal bağıntılar elde etmektir. Ayrıca Ptolemy Teoreminden hareketle bir çembere içten ya da dıştan teğet olan dört çemberin aralarındaki teğetlerinin uzunlukları arasında çok sade bir bağıntının olduğunu göstermek ve bunu ispat etmek, bulduğumuz formüllerin uygulamasını The Geometer’s Sketchpad 5 programında göstermektir. YÖNTEM: Ptolemy teoremi ile ilgili çalışma yaparken bilgisayar ortamını matematiksel ispat için bir laboratuvar gibi kullandık. Bulduğumuz 10 teoremin her birini ispat etmeden önce The Geometer’s Sketchpad 5 programında çizimini yapıp formülün çalışıp çalışmadığını deneysel olarak ortaya koyduk. Başarılı olduğumuz ifadeleri bir teorem kabul ederek ispatımızı gerçekleştirdik. Bunun yanında kendimizden emin yola çıktığımız halde yaptığımız programda başarısız olan iddialarımızdan vazgeçtik. [5] numaralı referansımızda belirtilen altı farklı genellemeden yola çıkarak bilgisayar ortamında öngördüğümüz eşitlikleri denedik ve bu eşitlikleri ispatladık. İspatlarımızı yaparken lise düzeyinde gördüğümüz bilinen Kosinüs, Pisagor ve Ptolemy teoremlerini kullandık. Bu teoremlere ek olarak Varignon Teoremini de kullandık. Raporumuzdaki tüm çizim ve grafikleri Microsoft Visio 2010 programıyla çizdik. 3 D C Ptolemy (Batlamyus) Teoremi : Bir ABCD dörtgeni ancak ve ancak AB CD AD BC AC BD olduğunda kirişler dörtgenidir. İspat: B A [BD] üzerinde m( DCA) m( EBC ) olacak şekilde bir E noktası Şekil 1 alırsak m( DAC ) m( DBC ) ( yay eşitliği olduğundan ) BEC olur. ADC AD BE = AC BC = Ayrıca ABC AB DE = AC DC = DC EC AC BE = AD BC (1) D DEC BC EC AC DE = AB DC C (2) E (1) ve (2) eşitlikleri kullanılarak AC BE DE = AD BC AB DC AC BD = AD BC AB DC A B bulunur. Şekil 2 Ptolemy Teoreminin Karşıtı: Bir dışbükey (konveks) dörtgende, karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamı, köşegenlerin çarpımına eşit ise, bu dörtgen bir kirişler dörtgenidir. İspat: D ABCD dörtgeninde, AB CD AD BC AC BD C Bu bağıntıyı sağlayan bir dörtgenin kirişler dörtgeni olmadığını kabul edelim. Bu durumda E m( ADE ) m( BDC ) ve m( DAE ) m( DBC ) eşitliklerini sağlayacak biçimde alınan E noktası için, (A.A) benzerlik A teoremi gereğince, DAE DBC olur ve buradan, B Şekil 3 4 DA DB = AE BC = DE (3) ; diğer taraftan DC DA DB (K.A.K) benzerlik teoremi gereğince, ADB Buradan da DB DC = AB EC = DE DC ve m( ADB) m( EDC ) olduğundan EDC ‘dir. (4) elde edilir. (3) ve (4) ‘ten AB CD AD BC AC BD dir. Dolayısıyla , AE EC AC olur. Yani E noktası AC üzerindedir. Bu nedenle; m( DAC ) m( DBC ) olur. DC doğru parçasını gören eş açıların köşeleri oldukları için de A, B noktaları D ve C’den geçen bir çember yayı üzerinde bulunur. Öyleyse, AB CD AD BC AC BD bağıntısını sağlayan bir dışbükey dörtgen, kirişler dörtgenidir. Teorem 1: ABCD kirişler dörtgeni ve O çemberin merkezi; P,Q,R ve S sırasıyla merkezden AB , BC , CD ve DA kenarlarına indirilen dikme ayakları olsun. O noktası ABCD dörtgeninin iç kısmında kalsın. Buna göre ; AB CD BC AD 4 ( OP OR OQ OS ) olur. İspat: ABCD kirişler dörtgeni olduğundan AB CD AD BC AC BD olur. P, Q, R ve S, ABCD dörtgeninin dikme ayakları ( [AB], [BC], [CD] ve [AD] kirişlerinin orta noktaları) olduğundan PQRS bir paralelkenardır. Bu durumda PS QR BD 2 ve QP RS A CA S 2 D (Varignon teoreminin ispatı Teorem 4 ten sonra verilmiştir. P Sayfa 13 e bakınız.) O m(OPA) m(OSA) 180 ve m(OQC ) m(CRO) 180 olduğundan APOS ve CQOR dörtgenleri kirişler dörtgenidir. APOS ve CQOR dörtgenleri kirişler dörtgeni olduğundan; R B Q C Şekil 4 5 m(QOR) m( POS ) 180 dir. [PS] kenarının diğer tarafından OQR KPS olacak şekilde bir K noktası alalım. m( RQP) m(QPS ) = m(OQP) m(QPK ) 180 öyleyse QOKP paralelkenardır. Benzer şekilde OKSR paralelkenardır. Açıkça görülüyor ki QP OK RS dir. m( PKS ) m( POS ) = 180 olduğundan POSK dörtgeni bir kirişler dörtgenidir. POSK kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak A PK OS SK OP OK PS K S OQ OS OR OP PQ PS D CA 2 BD 2 P , O 4 ( OQ OS OR OP ) CA BD R ABCD kirişler dörtgenine Ptolemy teoremini tekrar B Q uygularsak, C 4 ( OQ OS OR OP ) ( AB CD BC DA ) Şekil 5 Bu ifade teoremin ispatının bittiğini gösterir. Teorem 2: ABCD kirişler dörtgeni , O çemberin merkezi P,Q,R ve S sırasıyla merkezden AB , BC , CD ve DA kenarlarına indirilen dikme ayakları olsun. AB a, BC b, CD c, DA d , OP p, OQ q, OR r , OS s ise, ca pr ac pr ve olur. bd sq bd sq A İspat: S Çemberin merkezi O, ABCD dörtgeninin içinde olsun n PQ RS AC 2 m RQ PS BD 2 D s PQRS’nin paralelkenar olduğunu biliyoruz. P O p n olsun. q m r R B Q C Şekil 6 6 Ayrıca OP AB ve OS AD dir. Dolayısıyla OPAS dörtgeni kirişler dörtgenidir. O merkezli çemberin yarıçapı R olsun. Ptolemy teoreminden a d s p n R 2 2 (1) Benzer şekilde OSDR, ORCQ, OQBP kirişler dörtgenlerinde Ptolemy teoremini uygularsak c d s r m R 2 2 (2) c b q r n R 2 2 (3) a b q p m R 2 2 (4) eşitliklerini elde ederiz. (1) ve (2) , (3) ve (4) eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, a d c d c b a b s p s r n R m R q r q p 2 2 2 2 2 2 2 2 s( ac d ac b ) ( p r) q ( ) (r p) 2 2 2 2 ( s q) ( ac bd ) ( p r) ( ) 2 2 (a c) (s q) ( p r ) (b d ) ac pr elde edilir. bd sq Aynı şekilde (1) ve (4) , (2) ve (3) eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, a d a b c d c b s p q p n R m R s r q r 2 2 2 2 2 2 2 2 p( bd a bd c ) ( s q) r ( ) ( p s) 2 2 2 2 ( p r) ( bd ca ) ( s q) ( ) 2 2 ( p r ) (d b) (s q) (c a) ca pr bd sq elde edilir ve ispat biter. 7 Teorem 3: ABCD kirişler dörtgeni O çemberin merkezi; P, Q, R, S sırasıyla merkezden AB , BC , CD ve DA kenarlarına indirilen dikme ayakları olsun. AB a, BC b, CD c, DA d , OP p, OQ q, OR r , OS s dir. a) O merkezi kirişler dörtgeninin iç bölgesinde kalıyorsa b) O merkezi kirişler dörtgeninin dış bölgesinde ise qr s p pq r s 1 . a d b c a b c d 2 qr s p pq r s 1 . a d b c a b c d 2 İspat: a) O merkezi kirişler dörtgenin iç bölgesinde kalıyorsa; Şekilde de görüldüğü gibi OP AB ve OS AD olduğundan APOS dörtgeni kirişler dörtgenidir. A Aynı şekilde PBQO, QCRO, SDRO dörtgenleri kirişler dörtgenidir. S sin m( BCD) sin( BAD) sin( POS ) sin(QOR) sin C sin m( ABC ) sin(CDA) sin( ROS ) sin(QOP) sin B D P O Diğer taraftan R A( ABCD) A( BCA) A( ACD) A( ABD) A(CBD) B Q C Şekil 7 1 1 1 1 a b sin B c d sin D a d sin A b c sin C 2 2 2 2 1 1 sin B (a b c d ) sin C (a d b c) 2 2 sin B sin C ad bc a b c d (1) bulunur. ABCD dörtgenindeki ABC ve BCD üçgenlerine sinüs teoremini uygularsak AC sin B BD sin C 2R olduğu açıktır. Bu iki eşitlikten ; AC sin B BD sin C sin B sin C AC BD (2) elde edilir. 8 (1) ve (2) eşitlikleri kullanılarak ; sin B sin C Ayrıca; a d b c AC elde edilir. a b c d BD A( ABCD) A( PQRS ) A(OPQ) A(OQR) A(ORS ) A(OSP) 2 1 1 sin B a b c d 2 2 1 1 1 1 sin B p q sin C q r sin D r s sin A s p 2 2 2 2 1 1 1 1 sin B p q sin C q r sin B r s sin C s p 2 2 2 2 1 1 sin B p q r s sin C q r s p 2 2 1 a b c d 1 sin B p q r s sin C q r s p 2 2 2 sin B sin C 2q r s p a d bc a b c d 2 p q r s a b c d 2 q r s p a b c d a d b c a b c d 2 p q r s a d b c 2 q r s p a b c d p q r s a d b c a d b c a b c d qr s p pq r s 1 a d b c a b c d 2 b) O merkezi kirişler dörtgeninin dış bölgesinde kalıyorsa; A P B p n m S q Q s O r C R D Şekil 8 9 A ABCD A ( ABC ) A ( ACD) A ( ABD) A ( BCD) ABC , ACD , ABD ve BCD üçgenlerine sinüs teoremini uygularsak 1 1 1 1 sin B a d b c a b sin B c d sin D a d sin A b c sin C 2 2 2 2 sin C a b c d A ABCD A PQRS A(OPQ) A(OQR) A(OSP) A(ORS ) 2 1 1 1 1 1 1 sin B a b c d sin B p q sin C q r sin( POS ) p s sin(SOR) s r 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 sin B a b c d sin B p q sin C q r sin A p s sin D s r 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 sin B a b c d sin B p q sin C q r sin C p s sin B s r 2 2 2 2 2 2 a b c d 1 1 sin B p q s r sin C q r s p 2 2 2 sin B sin C 2 q r s p a d c b a b c d 2 p q r s a b c d 2 q r s p a b c d a d b c a b c d 2 p q r s a d b c 2 q r s p a b c d p q r s a d b c a d b c a b c d qr s p pq r s 1 bulunur. a d b c a b c d 2 Teorem 4: ABCD kirişler dörtgeni ve O çemberin merkezi olmak üzere AC ve BD nin kesim noktası P olsun. O1 , O2 , O3 ve O4 sırasıyla ABP , BCP , CDP ve DAP üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezi R1 , R2 , R3 ve R4 sırasıyla bu çemberlerin yarıçapları olsun. O dan AB ye ; BC ye ; CD ye ; DA ya indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla K,L,M ve N olsun. a) R1 R2 R3 R4 OO1 OO2 OO3 OO4 b) R1 R3 R2 R4 O1O2 O1O4 O2O3 O3O4 OO1 OO3 OO2 OO4 10 İspat: A O4 O1 O P B D O3 O2 C Şekil 9 a) O1O2 BD ve O3O4 BD olduğundan O1O2 // O3O4 ve O2O3 AC ve O1O4 AC olduğundan O2O3 // O1O4 böylece O1O2O3O4 ‘ün bir paralel kenar olduğunu gördük. 180 m( ABC) m(CDA) m(BAP) m(BCA) OO1 AB ve OO2 BC olduğundan OKBL bir kirişler dörtgenindir. OO4 AD ve OO3 CD olduğundan OMDN bir kirişler dörtgenindir. ABCD bir kirişler dörtgeni olduğundan m( ABC ) m(CDA) 180 m(O1OO2 ) m(O3OO4 ) 180 ABP üçgeninde m( BAP) m(O2O1P) BCP üçgeninde m( BCP) m(O1O2 P) m( ABC ) 180 m( BAP) m( BCP) 180 m(O2O1P) m(O1O2 P) m(O1PO2 ) Benzer şekilde m( BCD) m(O2 PO3 ) 11 m(CDA) m(O3 PO4 ) m( DAB) m(O1PO4 ) olduğunu buluruz.. sin(O3OO4 ) sin( ABC ) sin(CDA) O noktası O1O2O3O4 paralelkenarının içindedir. Dolayısıyla 1 A(O1PO2 ) A(O3 PO4 ) A(O1OO2 ) A(O4OO3 ) A(O1O2O3O4 ) 2 1 1 sin( ABC ) PO1 PO2 PO3 PO4 sin(CDA) OO1 OO2 OO3 OO4 2 2 PO1 PO2 PO3 PO4 OO1 OO2 OO3 OO4 R1 R2 R3 R4 OO1 OO2 OO3 OO4 bulunur. b) İspatın a kısmında m( BCD) m(O2 PO3 ) ve m( DAB) m(O1PO4 ) olarak bulmuştuk. Buradan m( BCD) m( DAB) m(O2 PO3 ) m(O1PO 4 ) 180 O1O4 ’ün diğer tarafında bir P noktası alalım. O1 PO 4 O2 PO3 olacak şekilde , m(O3O2O1 ) m(O2O1O4 ) m( PO2O1 ) m(O2O1P) 180 olduğundan O2O1PP bir paralelkenardır. m(O2O3O4 ) m(O3O4O1 ) m( PO3O4 ) m(O3O4 P) 180 olduğundan O3O4 PP bir paralelkenardır. O1P O2 P , PO4 PO3 ve O1O2 PP O3O4 m(O1PO4 ) m(O1PO4 ) 180 olduğundan O1PO4 P kirişler dörtgenidir. O1PO4 P dörtgenine Ptolemy teoremi uygularsak, O1P O4 P O1P O4 P O1O2 O1O4 R1R3 R4 R2 O1O2 O1O4 (1) O1O4 ün diğer tarafından O noktası alalım. O1OO4 O2OO3 olacak şekilde aynı yöntemi kullanarak OO1 OO3 OO2 OO4 O1O2 O1O4 (2) 12 (1) ve (2) yi kullanarak R1 R3 R2 R4 O1O2 O1O4 O2O3 O3O4 OO1 OO3 OO2 OO4 bulunur. Varignon Teoremi: A S D P R B Q C Şekil 10 Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir paralelkenar belirtir ve bu paralelkenarın kenarları köşegenlere paraleldir. İspat: ABCD dörtgenimizin [AB],[BC],[CD] ve [DA] kenarlarının orta noktaları sırasıyla P, Q, R ve S olsun. P ve S orta noktalar olduğundan ABD üçgeninde [PS] orta tabandır. Benzer şekilde [PQ],[QR] ve [RS]’nin de orta taban olduğunu buluruz. Orta tabanlar ilgili tabanlara paralel olacağından PQRS dörtgeni bir paralel kenardır. Varignon Teoremi sadece dışbükey dörtgenler için değil, tüm dörtgenler için geçerlidir. Dörtgenin içbükey, çapraz ya da aykırı olması önermenin doğruluğunu bozmaz. Dışbükeye yapılan kanıtın işlemleri aynen uygulanırsa bu görülür. Aşağıdaki şekilleri inceleyeniz. 13 A P B S Q C R D Şekil 11 D N K C M A L B Şekil 12 14 [5] numaralı referansımızda belirtilen altı farklı genellemeden yola çıkarak bilgisayar ortamında eşitlikleri denedik ve bu eşitlikleri ispatladık. Altı farklı durum için elde ettiğimiz teoremlerimiz aşağıdadır. 15 Teorem 5: O merkezli çemberin içine O1 , O2 , O3 , O4 merkezli çemberler içten teğet olsun. O1 ve O2 merkezli çemberlerinin teğetleri t1 , O2 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t2 , O3 ve O4 merkezli çemberlerin teğetleri t3 , O4 ve O1 merkezli çemberlerin teğetleri t4 , O1 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t5 , O2 ve O4 merkezli çemberlerin teğetleri t6 olsun. Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. t1 . t3 + t2 . t4 = t5 . t6 Q B t1 C A O2 t2 P O1 K H N O D t4 t6 O3 t5 R E O4 G M t3 L F S Şekil 13 16 İspat : Q a P r2-r1 O2 O1 T t1 r2 R-r2 r1 R-r1 O A t1 Şekil 14 B O çemberinin yarıçapı R , O1 , O2 , O3 veO4 çemberlerinin yarıçapları sırasıyla r1 , r2 , r3 ve r4 ; O1 , O2 , O3 veO4 çemberlerinin O merkezli çembere teğet olduğu noktalar sırasıyla P,Q,R ve S; PQ , QR , RS ve SP sırasıyla a, d, c ve b ; O1 ' den BO2 ' ye indirilen dikmenin ayağı T ; O1 ' den MO3 ' e indirilen dikmenin ayağı V ; O1 , O2 , O3 veO4 çemberlerinin arasındaki teğet noktaları sırasıyla A,B,C,D,E,F,G ve H ; O1 veO3 çemberlerinin arasındaki teğet noktaları N ve M; O2 veO4 çemberlerinin arasındaki teğet noktaları K ve L; AB , CD , EF , GH , NM ve KL sırasıyla t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ve t6 ; m POQ ve m POR ; PR ve QS sırasıyla e ve f olsun. Şekilde görüldüğü gibi POQ üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak; PQ a 2 R 2 R 2 2 R R cos 2 a 2 2 R2 2 R2 cos a 2 2 R2 (1 cos ) (1) a2 cos ' yı çekersek ; cos 1 2 R2 (2) O1TO2 üçgenine Pisagor teoremi uygularsak; O1O2 t12 (r2 r1 )2 2 (3) O1OO2 üçgenine kosinüs teoremi uygularsak; O1O2 ( R r1 )2 ( R r2 )2 2 ( R r1 ) ( R r2 ) cos 2 17 (2) de bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak; a2 2 O1O2 ( R r1 )2 ( R r2 ) 2 2 ( R r1 ) ( R r2 ) 1 2 2R R 2 2 Rr1 r12 R 2 2 Rr2 r2 2 2R 2 2Rr1 2 Rr2 2r1r2 2 ( R r1 ) ( R r2 ) a2 2R2 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, a2 2 O1O2 (r1 r2 )2 2 ( R r1 ) ( R r2 ) 2 2R (3) ifadesinde yerine yazarsak, a2 t12 2 ( R r1 ) ( R r2 ) 2 2R Buradan, a2 t12 R 2 ( R r1 ) ( R r2 ) Benzer biçimde, b2 (4) t4 2 R 2 ( R r1 ) ( R r4 ) c2 t32 R 2 ( R r3 ) ( R r4 ) (6) d2 t2 2 R 2 ( R r2 ) ( R r3 ) (7) olarak bulunur. (5) olarak bulunur. Aynı yöntemi kullanarak, OVO 1 3 üçgeninde Pisagor teoremini uygularsak, O1O3 t52 (r3 r1 )2 2 (8) POR üçgenine kosinüs teoremi uygularsak, PR e2 R2 R2 2 R R cos 2 e2 2 R2 2 R2 cos e2 2 R2 (1 cos ) (9) cos ' yı çekersek; cos 1 e2 2 R2 (10) O3OO1 üçgenine kosinüs teoremi uygularsak; O3O1 ( R r1 )2 ( R r3 )2 2 ( R r1 ) ( R r3 ) cos 2 (10) da bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak; 18 O3O1 2 e2 ( R r1 ) ( R r3 ) 2 ( R r1 ) ( R r3 ) 1 2 2R 2 2 R 2 2 Rr1 r12 R 2 2 Rr3 r32 2 R 2 2 Rr1 2 Rr3 2r1r3 2 ( R r1 ) ( R r3 ) e2 2R2 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, e2 2 O3O1 (r1 r3 )2 2 ( R r1 ) ( R r3 ) 2 2R (8) ifadesinde yerine yazarsak, e2 t52 2 ( R r1 ) ( R r3 ) 2 2R Buradan, e2 t5 2 R 2 ( R r1 ) ( R r3 ) olarak bulunur. (11) Benzer şekilde aynı yöntemi t6 için de uygularsak, f2 t6 2 R 2 ( R r2 ) ( R r4 ) (12) PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak, ac bd e f ise, a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, t32 R 2 t12 R 2 ( R r1 ) ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r4 ) t4 2 R 2 t2 2 R 2 ( R r1 ) ( R r4 ) ( R r2 ) ( R r3 ) t5 2 R 2 t6 2 R 2 ( R r1 ) ( R r3 ) ( R r2 ) ( R r4 ) t3 R t1 R ( R r1 ) ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r4 ) t5 R t6 R ( R r1 ) ( R r3 ) ( R r2 ) ( R r4 ) t1 R t3 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) t5 R t6 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) R 2 (t1 t3 t2 t4 ) ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) t4 R t2 R ( R r1 ) ( R r4 ) ( R r2 ) ( R r3 ) t4 R t2 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) R 2 (t5t6 ) ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) 19 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında , t1 t3 t2 t4 t5 t6 Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir. Teorem 6: O merkezli çemberin içine O1 , O2 , O3 , O4 merkezli çemberler dıştan teğet olsun. O1 ve O2 çemberlerin teğetleri t1 , O2 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t2 , O3 ve O4 merkezli çemberlerin teğetleri t3 , O4 ve O1 merkezli çemberlerin teğetleri t4 , O1 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t5 , O2 ve O4 merkezli çemberlerin teğetleri t6 olsun. Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. t1 . t3 + t2 . t4 = t5 . t6 B t1 K C A N O2 O1 H Q P t6 t5 t2 O t4 M D R O3 S L O4 E G t3 Şekil 15 F 20 İspat : B t1 r2 A T r2-r1 r1 t1 O2 O1 Q a P R+r2 R+r1 O Şekil 16 Şekil 16 Şekil 15’te olduğu gibi O1 , O2 , O3 veO4 merkezli çemberleri dış teğet olarak alalım. Şekilde görüldüğü gibi POQ üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak; PQ a 2 R 2 R 2 2 R R cos 2 a 2 2 R2 2 R2 cos a 2 2 R2 (1 cos ) (1) cos ' yı çekersek ; a2 cos 1 2 R2 (2) O1TO2 üçgenine Pisagor teoremi uygularsak; O1O2 t12 (r2 r1 )2 2 (3) O1OO2 üçgenine kosinüs teoremi uygularsak; O1O2 ( R r1 )2 ( R r2 )2 2 ( R r1 ) ( R r2 ) cos 2 21 (2) de bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak; a2 2 O1O2 ( R r1 )2 ( R r2 ) 2 2 ( R r1 ) ( R r2 ) 1 2 2R R 2 2 Rr1 r12 R 2 2 Rr2 r2 2 2 R 2 2 Rr1 2 Rr2 2r1r2 2 ( R r1 ) ( R r2 ) a2 2R2 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, a2 2 O1O2 (r1 r2 )2 2 ( R r1 ) ( R r2 ) 2 2R (3) ifadesinde yerine yazarsak, a2 t12 2 ( R r1 ) ( R r2 ) 2 2R Buradan, a2 t12 R 2 ( R r1 ) ( R r2 ) (4) olarak bulunur. Benzer biçimde, t4 2 R 2 ( R r1 ) ( R r4 ) (5) t32 R 2 c ( R r3 ) ( R r4 ) (6) t2 2 R 2 ( R r2 ) ( R r3 ) (7) b2 2 d2 olarak bulunur. Benzer yöntemler kullanılarak; e2 t52 R 2 ( R r1 ) ( R r3 ) (8) f2 t6 2 R 2 ( R r2 ) ( R r4 ) (9) olarak bulunur. PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; a c b d e f ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, 22 t32 R 2 t12 R 2 ( R r1 ) ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r4 ) t4 2 R 2 t2 2 R 2 ( R r1 ) ( R r4 ) ( R r2 ) ( R r3 ) t5 2 R 2 t6 2 R 2 ( R r1 ) ( R r3 ) ( R r2 ) ( R r4 ) t3 R t1 R ( R r1 ) ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r4 ) t5 R t6 R ( R r1 ) ( R r3 ) ( R r2 ) ( R r4 ) t1 R t3 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) t5 R t6 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) R 2 (t1 t3 t2 t4 ) ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) t4 R t2 R ( R r1 ) ( R r4 ) ( R r2 ) ( R r3 ) t4 R t2 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) R 2 (t5t6 ) ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında , t1 t3 t2 t4 t5 t6 Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir. Teorem 7: O merkezli çemberin içine çizilen O1 , O2 , O3 merkezli çemberler içten teğet ve O4 merkezli çember dıştan teğet olsun. O1 ve O2 merkezli çemberlerin teğetleri t1 , O2 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t2 , O3 ve O4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t3 , O4 ve O1 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t4 , O1 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t5 , O2 ve O4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t6 olsun. Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. t1 . t3 + t2 . t4 = t5 . t6 23 Q B t1 C A O2 t2 P O1 K N H O D t6 O3 t5 R t4 E M t3 S F L G O4 Şekil Şekil 1717 İspat : P O4 r4 H t4 S b r1 G O1 r4+r1 t4 R+r4 . R-r1 T O Şekil 18 Şekil 18 24 O1 , O2 , O3 veO4 merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 17’de olduğu gibi çizelim. Şekilde görüldüğü gibi SOP üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak; SP b2 R 2 R2 2 R R cos 2 b2 2 R2 2 R2 cos b2 2 R2 (1 cos ) (1) cos ' yı çekersek ; cos 1 b2 2 R2 (2) O1TO4 üçgenine Pisagor teoremi uygularsak; O1O4 t4 2 (r4 r1 )2 2 (3) O1OO4 üçgenine kosinüs teoremi uygularsak; O1O4 ( R r1 )2 ( R r4 )2 2 ( R r1 ) ( R r4 ) cos 2 (2) de bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak; b2 2 O1O4 ( R r1 )2 ( R r4 ) 2 2 ( R r1 ) ( R r4 ) 1 2 2R R 2 2 Rr1 r12 R 2 2 Rr4 r4 2 2 R 2 2 Rr1 2 Rr4 2r1r4 2 ( R r1 ) ( R r4 ) b2 2R2 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, b2 2 O1O4 (r1 r4 )2 2 ( R r1 ) ( R r4 ) 2 2R (3) ifadesinde yerine yazarsak, b2 t4 2 2 ( R r1 ) ( R r4 ) 2 2R Buradan, t4 2 R 2 b ( R r1 ) ( R r4 ) 2 (4) olarak bulunur. Şekil 15 ‘in ispatında kullandığımız ve b 2 yi bulmak için kullandığımız yöntemleri uygularsak; a2 t12 R 2 ( R r1 ) ( R r2 ) (5) 25 c2 t32 R 2 ( R r3 ) ( R r4 ) (6) d2 t2 2 R 2 ( R r2 ) ( R r3 ) (7) olarak bulunur. Benzer biçimde, e2 t5 2 R 2 ( R r1 ) ( R r3 ) f2 t6 2 R 2 ( R r2 ) ( R r4 ) (8) (9) olarak bulunur. PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; a c b d e f ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, t32 R 2 t12 R 2 ( R r1 ) ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r4 ) t2 2 R 2 t4 2 R 2 ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r1 ) ( R r4 ) t5 2 R 2 t6 2 R 2 ( R r1 ) ( R r3 ) ( R r2 ) ( R r4 ) t3 R t1 R ( R r1 ) ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r4 ) t5 R t6 R ( R r1 ) ( R r3 ) ( R r2 ) ( R r4 ) t1 R t3 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) t5 R t6 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) R 2 (t1 t3 t2 t4 ) ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) t4 R t2 R ( R r1 ) ( R r4 ) ( R r2 ) ( R r3 ) t4 R t2 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) R 2 (t5t6 ) ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında , t1 t3 t2 t4 t5 t6 Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir. 26 Teorem 8: O merkezli çemberin içine çizilen O1 , O3 merkezli çemberler dıştan teğet ve O2 , O4 merkezli çemberler içten teğet olsun. O1 ve O2 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t1 , O2 ve O3 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t2 , O3 ve O4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t3 , O4 ve O1 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t4 , O1 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t5 , O2 ve O4 merkezli çemberlerin teğetleri t6 olsun. Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. t1 . t3 + t2 . t4 = t5 . t6 Q O1 B H t1 P A N O2 K C t5 t2 t6 D t4 O F R G O4 t3 O3 L M E S Şekil 19 İspat : O1 , O2 , O3 veO4 merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 19’da olduğu gibi çizelim. Şekil 15 ve şekil 17 ‘nin ispatında kullandığımız yöntemleri uygularsak; a2 t12 R 2 ( R r1 ) ( R r2 ) (1) olarak bulunur. Benzer biçimde; b2 t4 2 R 2 ( R r1 ) ( R r4 ) (2) 27 c2 t32 R 2 ( R r3 ) ( R r4 ) (3) d2 t2 2 R 2 ( R r3 ) ( R r2 ) (4) olarak bulunur. Benzer yöntemleri kullanarak; e2 t52 R 2 ( R r1 ) ( R r3 ) f2 t6 2 R 2 ( R r2 ) ( R r4 ) (5) (6) olarak bulunur. PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; a c b d e f ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, t32 R 2 t12 R 2 ( R r1 ) ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r4 ) t2 2 R 2 t4 2 R 2 ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r1 ) ( R r4 ) t5 2 R 2 t6 2 R 2 ( R r1 ) ( R r3 ) ( R r2 ) ( R r4 ) t3 R t1 R ( R r1 ) ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r4 ) t5 R t6 R ( R r1 ) ( R r3 ) ( R r2 ) ( R r4 ) t1 R t3 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) t5 R t6 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) R 2 (t1 t3 t2 t4 ) ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) t4 R t2 R ( R r1 ) ( R r4 ) ( R r2 ) ( R r3 ) t4 R t2 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) R 2 (t5t6 ) ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında , t1 t3 t2 t4 t5 t6 Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir. 28 Teorem 9: O merkezli çemberin içine çizilen O1 , O2 merkezli çemberler dıştan teğet ve O3 , O4 merkezli çemberler içten teğet olsun. O1 ve O2 merkezli çemberlerin teğetleri t1 , O2 ve O3 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t2 , O3 ve O4 merkezli çemberlerin teğetleri t3 , O4 ve O1 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t4 , O1 ve O3 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t5 , O2 ve O4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t6 olsun. Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. t1 . t3 + t2 . t4 = t5 . t6 B t1 O2 A K N C Q O1 H t6 P t2 t5 t4 D O O3 R M E t3 G O4 L F S Şekil 20 29 İspat : O1 , O2 , O3 veO4 merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 20’de olduğu gibi çizelim. Şekil 15 ve şekil 17’nin ispatında kullandığımız yöntemleri uygularsak; t12 R 2 a ( R r1 ) ( R r2 ) (1) t4 2 R 2 ( R r1 ) ( R r4 ) (2) t32 R 2 c ( R r3 ) ( R r4 ) (3) t2 2 R 2 ( R r2 ) ( R r3 ) (4) 2 b2 2 d2 Benzer biçimde, e2 f2 t6 2 R 2 ( R r2 ) ( R r4 ) olarak bulunur. t52 R 2 ( R r1 ) ( R r3 ) (6) (5) olarak bulunur. PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; a c b d e f ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, t32 R 2 t12 R 2 ( R r1 ) ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r4 ) t2 2 R 2 t4 2 R 2 ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r1 ) ( R r4 ) t5 2 R 2 t6 2 R 2 ( R r1 ) ( R r3 ) ( R r2 ) ( R r4 ) t3 R t1 R ( R r1 ) ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r4 ) t5 R t6 R ( R r1 ) ( R r3 ) ( R r2 ) ( R r4 ) t1 R t3 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) t5 R t6 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) R 2 (t1 t3 t2 t4 ) ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) t4 R t2 R ( R r1 ) ( R r4 ) ( R r2 ) ( R r3 ) t4 R t2 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) R 2 (t5t6 ) ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) 30 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında , t1 t3 t2 t4 t5 t6 Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir. Teorem 10: O merkezli çemberin içine çizilen O1 , O2 , O3 merkezli çemberler dıştan teğet ve O4 merkezli çember içten teğet olsun. O1 ve O2 merkezli çemberlerin teğetleri t1 , O2 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t2 , O3 ve O4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t3 , O4 ve O1 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t4 , O1 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t5 , O2 ve O4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t6 olsun. Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. t1 . t3 + t2 . t4 = t5 . t6 B t1 C A N O2 O1 H Q K P t5 t2 t6 t4 O F L M D G R t3 O4 O3 S E Şekil 21 31 İspat : O1 , O2 , O3 veO4 merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 21’de olduğu gibi çizelim. Önceki ispatlarda kullandığımız yöntemlerden faydalanarak; t12 R 2 a ( R r1 ) ( R r2 ) 2 (1) t4 2 R 2 ( R r1 ) ( R r4 ) (2) t32 R 2 c ( R r3 ) ( R r4 ) (3) t2 2 R 2 ( R r2 ) ( R r3 ) (4) b2 2 d2 olarak bulunur. Benzer biçimde, e2 t52 R 2 ( R r1 ) ( R r3 ) t6 2 R 2 f ( R r2 ) ( R r4 ) 2 (5) (6) olarak bulunur. PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; a c b d e f ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, t32 R 2 t12 R 2 ( R r1 ) ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r4 ) t2 2 R 2 t4 2 R 2 ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r1 ) ( R r4 ) t5 2 R 2 t6 2 R 2 ( R r1 ) ( R r3 ) ( R r2 ) ( R r4 ) t3 R t1 R ( R r1 ) ( R r2 ) ( R r3 ) ( R r4 ) t5 R t6 R ( R r1 ) ( R r3 ) ( R r2 ) ( R r4 ) t1 R t3 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) t5 R t6 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) R 2 (t1 t3 t2 t4 ) ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) t4 R t2 R ( R r1 ) ( R r4 ) ( R r2 ) ( R r3 ) t4 R t2 R ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) R 2 (t5t6 ) ( R r1 ) ( R r2 )( R r3 ) ( R r4 ) 32 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında , t1 t3 t2 t4 t5 t6 Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir. BİLGİSAYAR UYGULAMALARI: Teorem 1 Sketchpad Uygulaması Teorem 2 Sketchpad Uygulaması 33 Teorem 3 Sketchpad Uygulaması Teorem 4 a Sketchpad Uygulaması 34 Teorem 4 b Sketchpad Uygulaması Teorem 5 Sketchpad Uygulaması SONUÇLAR: Projemizde Ptolemy Teoreminden faydalanarak herhangi bir ABCD kirişler dörtgeni üzerinde orijinal bağıntılar elde ettik. Bunun yanında bir çembere içten ya da dıştan teğet olan dört çemberin aralarındaki teğetlerinin uzunlukları arasında çok sade bir bağıntının olduğunu gösterdik ve bunu ispat ettik. 35 KAYNAKLAR: 1. Komisyon, 10.sınıf Geometri Ders Kitabı, MEB yayınları, Ankara,2011. 2. Küpeli, S. 100 Yılın Olimpiyat Sorularıyla Geometri, Altın Nokta Yayınları, İzmir, 2010. 3. Coxeter H.S.M. and S.L. Greitzer, Geometry Revisited, New York 1967. 4. Bencze, Mihaly, Journal of Science and Arts, National College Aprily Lajos, 500026, Brasov, Romania, No. 1(14) , 2011, pp. 45-48. 5. Gueron, Shay, Two Applications of the Generalized Ptolemy Theorem, The American Mathematical Monthly ,109. sayı,2002,sf. 362-370. 6. Shirali, S. On The Generalized Ptolemy Theorem Rishi Valley School INDIA. 7. Gonzales L. Casey’s Theorem and its Applications Maracaibo, Venezuella 2011. 8. Kin Y. Li, Olympiad Corner, Casey's Theorem, Mathematical Excalibur, Volume 16, Number 5, March-April 2012. 36