(a) h
Transkript
(a) h
YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: V2 H= +h+z 2g x e göre türevi alınırsa: dH d V 2 dh dz + = + dx dx 2 g dx dx ve ifadedeki terimler yerine; dH / dx = - S , dz / dx = - S0 d V 2 d Q2 = dx 2 g dx 2 g A 2 dh dh d Q2 = dh dx dh 2 g A 2 2 2 dh dA dh B Q Q == dx g A 3 dx g A 3 dh Q 2 B dh dh Q 2 B dh -S= + - S0 = 1 - S0 3 3 dx g A dx g A dx dh S0 - S = dx 1 - Q2 B / g A3 veya Q2B/gA3=Fr2 kullanılırsa dh S0 - S = dx 1 - Fr 2 (9.30) (9.30) ifadesi yavaş değişen akım profillerinin analizinde kullanılan genel ifadedir. dh/dx in pozitif olması akımda derinliğin arttığını, dh/dx in negatif olması derinliğin azaldığını gösterir. (9.30) denklemi iki özel durumda irdelenirse; 1. dh/dx = 0 : Bu durum aşağıdaki koşullarda oluşur. (a) S = S0 ve Fr ≠ 1 olması: Bu üniform akım (b) S = S0 ve Fr =1 olması: dh/dx = 0/0 ≠ 0 Şekil de görülen kritik derinliğin oluştuğu durumdur. 2. dh/dx= ∞ : Bu durum Fr = 1 ve S ≠ S0. için gerçekleşir. Yani akımda Q2B/gA3 = 1 kritik akım koşulunun geçerlidir. Şekil de görüldüğü gibi bu koşulun oluştuğu yüzey eğiminin sonsuza gittiği akım hali hidrolik sıçramadır. Akım Profillerinin Sınıflandırılması dh S0 - S = dx 1 - Fr 2 •İfadesi ile üniform olmayan su yüzü profillerinin sınıflandırılması, yüzey profilinde derinliğin artması (dh/dx>0) veya azalmasının (dh/dx<0) niteliksel olarak tespiti, ifadede pay (S0-S) ve paydanın (1-Fr2 ) işaretlerinin tespiti ile yapılabilir. •S0-S ve 1-Fr2 nin işaretleri akımın derinliği h, normal derinlik hn ve kritik derinlik hc lerin rölatif büyüklüklerine bağlıdır. Bu derinliklerin rölatif büyüklüklerini etkileyen ve sınıflandırmada esas olan iki temel kriter taban eğimi ve akım derinliğidir. Taban Eğimine Göre Sınıflandırma S0 < Sc :Yumuşak eğim-Mild S0 > Sc :Dik eğim-Steep S0 = Sc :Kritik eğim -Critical S0 = 0 :Yatay taban-Horizontal S0 < 0 :Ters eğim-Adverse (M) ⇒ hn > hc (S) ⇒ hn < hc (C) ⇒ hn = hc (H) ⇒ hn = ∞(teorik) (A) ⇒ hn = ∞ (teorik) Yatay ve ters eğim yumuşak eğimin özel halleridir. Su Derinliğine Göre Sınıflandırma Akım profilindeki h su derinliğinin, hn ve hc ye kıyasla yer alması muhtemel üç bölge için aşağıdaki eşitsizlikler yazılabilir: 1 Bölgesi (üst) : h > hn > hc veya 2 Bölgesi (orta): hn > h > hc veya 3 Bölgesi (alt) : hn > hc > h veya h > hc > hn hc > h > hn hc > hn > h Yukarıdaki sınıflandırma kriterlerinin birleştirilmesi sonucu açık kanallardaki yavaş değişen akımlar için 12 farklı su yüzü profili Tablo da verilmiştir. Tablo Üniform olmayan akım profilleri M1 M2 M3 S1 S2 S3 C1 ---- C3 ---- H2 H3 ---- A2 A2 Akım Profillerinin Belirlenmesi Taban eğimi ve Su derinliği ne göre tespit edilen sınıflandırma kriterlerine dayanarak tabloda verilen her bir profil türünün değişim biçimi ile memba ve mansap sınırları için bölgesel limitler belirlenebilir. Derinliğin arttığına veya azaldığına karar verebilmek için dh S0 - S = dx 1 - Fr 2 denkleminin pay ve paydasının işaretleri aşağıdaki gibi bulunur: Eğer Eğer Eğer Eğer h > hn h < hn h > hc h < hc ise ise ise ise S < S0 S > S0 Fr < 1 Fr > 1 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ S0 - S > 0 S0 - S < 0 1 - Fr2 > 0 1 - Fr2 < 0 M1 profili M Türü Profiller : hn > hc h > hn > hc ⇒ S0 - S > 0, 1 - Fr2 > 0 ⇒ dh/dx = +/+ = +: derinlik artar. h → hn için S → S0 ⇒ dh/dx → 0 : su yüzeyi h = hn ye asimptotik. h → ∞ için S → 0, Fr →0 ⇒ dh/dx →S0 : su yüzeyi yataya asimptotik. M2 profili hn > h > hc ⇒ S0 - S < 0, 1 - Fr2 > 0 ⇒ dh/dx = -/+ = - : derinlik azalır. h → hn için S → S0 ⇒ dh/dx → 0 : su yüzeyi h = hn ye asimptotik. h → hc için S → S0, Fr → 1 ⇒ dh/dx→ →0/0: belirsiz, gerçekte sonlu bir değer. M3 profili hn > hc > h ⇒ S0 - S < 0, 1 - Fr2 < 0 ⇒ dh/dx = -/- = +: derinlik artar. h → 0 için S → ∞, Fr → ∞ ⇒ dh/dx → ∞/∞ ∞ :gerçekte pozitif sonlu bir değer. h → hc için Fr → 1 ⇒ dh/dx → ∞ : hidrolik sıçrama. 1 Yatay 2 dh/dx sonlu değer 3 dh/dx=∞ dh/dx sonlu değer M profilleri S Türü Profiller: hn < hc S1 profili h > hc > hn ⇒ S0 - S > 0, 1 - Fr2 > 0 ⇒ dh/dx = +/+ = +: derinlik artar. h →hc için Fr → 1 ⇒ dh/dx → ∞ : hidrolik sıçrama. h →∞ için S → 0, Fr → 0 ⇒ dh/dx → S0: su yüzeyi yataya asimptotik. S2 profili hc > h > hn ⇒ S0 - S > 0, 1 - Fr2 < 0 ⇒ dh/dx = +/- = - : derinlik azalır. h → hc için S → S0, Fr → 1⇒ ⇒dh/dx → 0/0: belirsiz, gerçekte sonlu bir değer. h → hn için S → S0 ⇒ dh/dx → 0 : su yüzeyi h = hn ye asimptotik. S3 profili hc > hn > h ⇒ S0 - S < 0, 1 - Fr2 < 0 ⇒ dh/dx = -/- = +: derinlik artar. h → 0 için S → ∞, Fr → ∞ ⇒ dh/dx →∞/∞ →∞ ∞: gerçekte pozitif sonlu bir değer. h → hn için S → S0 ⇒ dh/dx → 0 : su yüzeyi h = hn ye asimptotik. 1 dh/dx sonlu değer 2 Yatay dh/dx=∞ 3 dh/dx sonlu değer S profilleri C Türü Profiller : hn = hc Bu tür profillerde hn=hc olduğundan 2 bölgesi kaybolur ve derinlik için iki bölge tanımlanabilir C1 profili h > hn = hc ⇒ S0 - S > 0, 1 - Fr2 > 0 ⇒ dh/dx = +/+ = + : derinlik artar. h → hn= hc için S→ →S0, Fr→ →1⇒ ⇒dh/dx→ →0/0: belirsiz, gerçekte sonlu değer. h → ∞ için S → 0, Fr →0 ⇒ dh/dx →S0: su yüzeyi yataya asimptotik. C3 profili hn = hc > h ⇒ S0 - S < 0, 1 - Fr2 < 0 ⇒ dh/dx = -/- = + : derinlik artar. h → 0 için S → ∞, Fr → ∞ ⇒ dh/dx →∞/∞ →∞ ∞: gerçekte pozitif sonlu değer. h → hn= hc için S→ →S0,Fr→ →1⇒ ⇒dh/dx→ →0/0: belirsiz,gerçekte sonlu değer. Yatay 1 dh/dx sonlu değer 3 dh/dx sonlu değer dh/dx sonlu değer C profilleri H ve A Türü Profiller : hn= ∞ H tabanlı kanalda Manning formülüne göre su derinliği sonsuza gider. Bunun sonucunda 1 bölgesi kaybolur, 2 ve 3 bölgelerindeki profiller ise M2 ve M3 profillerine benzerler. A ∞ tabanındaki profiller için de benzer durum sözkonusudur 2 3 H profilleri ∞ 2 3 A profilleri Akım Profillerinin Ortak Özellikleri 1. Üst bölgede (1 bölgesi) yeralan su yüzü eğrilerinde derinlik artar (dh/dx>0) ve bu bölgedeki eğriler kabarma eğrileri olarak, orta bölgede (2 bölgesi) yeralan eğrilerde derinlik azalır (dh/dx<0) ve bu bölgedeki eğriler alçalma eğrileri olarak adlandırılır. Alt bölgede (3 bölgesi) yer alan eğrilerde derinlik artar (dh/dx>0). 2. Normal derinliğe yaklaşan su yüzü eğrileri hn=hc dışında bu derinliğe asimptotik olarak yaklaşırlar 3. Kritik derinliğe yaklaşan su yüzü eğrileri bu derinliği oldukça büyük sonlu bir açı ile geçerler. Hidrolik sıçrama durumunda kritik derinlik teorik olarak dik açı ile geçilir 4. Yüzey eğrileri kanal tabanına teorik olarak sonlu bir açı ile keserler, ancak bu durum pratik olarak mümkün değildir. 5. Kritik-altı akım profilleri mansap tarafından, kritik-üstü profiller memba tarafından kontrol edilirler, yani değiştirilebilirler. Dolayısıyla bir profilin hesabına ait olduğu kontrol kesitinden başlanır. Kontrol Kesitleri ve Yüzey Profillerinin Belirlenmesi Kontrol kesitleri, akım debisi ile su derinliği arasında belirli bir ilişkinin bulunduğu kesitlerdir. Su yüzü profillerinin hesabına başlamadan önce, hesapların başlangıç kesitlerini oluşturacak kontrol kesitlerinin belirlenmesi gerekir. Bir kontrol kesitinde akım derinliği, kritik derinlik, normal derinlik veya bilinen herhangi bir derinlik olabilir. Yüzey profillerinin çizimine kontrol kesitlerinden başlanarak akımın kritik-altı veya kritik-üstü olması durumuna göre membaya veya mansaba doğru ilerlenir. Üniform kesitli ve değişken eğimli uzun bir kanal boyunca çeşitli su yüzü eğrilerinden oluşan akım profilinin belirlenmesi için aşağıdaki adımlar takip edilir: (a) Kanal boyunca kritik derinlik ve normal derinlik çizgileri çizilir. (b) Akım üzerindeki kontrol kesitlerinin yerleri tespit edilir. Kontrol kesiti bir baraj, bağlama, kontrol kapağı, kanal girişi, kanal çıkışı veya serbest dökülme şeklinde olabilir. (c) Herbir kontrol kesitinden başlayan akım profili ait olduğu sınıflandırma türüne uygun olarak çizilir. E.Ç. E.Ç. Su Yüzü Profillerinin Hesabı dh S0 - S = dx 1 - Fr 2 denklemi ile verilen üniform olmayan akımın genel ifadesi su yüzü profillerinin hesabında kullanılan yöntemlere temel teşkil etmektedir. 1 - Sayısal İntegrasyon Yöntemi Yukarda verilen denklemi aşağıdaki gibi ters olarak yazalım dx 1 - Q2 B / g A 3 = dh S0 - S Verilen Q ve S0 için denklem h ın fonksiyonudur ve dx/dh=f(h) şeklinde yazılabilir. Buna göre (9.31) denklemi Şekil de görülen 1 ve 2 kesitleri arasında integre edilirse: x2 h2 x1 h1 ∫ dx = L = ∫ h2 1 - Q2 B / g A 3 dh = ∫ f (h) dh S0 - S h1 Buradan, akım profilinde h1 ve h2 derinlikleri arasındaki uzunluğun f(h) eğrisi altındaki alana eşit olduğu anlaşılır. f(h) f(h)dh f(h1) f(h2) Yöntemin hesap prosedürü aşağıdaki gibidir: (a) Profilin başında ve sonundaki derinlikler belirlenir. (b) f(h) eğrisi uygun (dh) derinlik farkları ile hesaplanır. (c) f(h) eğrisi altındaki alan sayısal integrasyonla adım adım bulunarak herbir derinlikte başlangıca olan uzaklık elde edilir. 2 - Doğrudan Adım Yötemi Adım yönteminde profil hesabı kanal boyunca belli aralıklarda adım adım yapılır. Doğrudan adım yönteminde seçilen derinliklerdeki kesit ara mesafeleri bulunur. Bu yöntem prizmatik kanallara uygulanabilir. ∆x Kritik altı akım ∆x ∆x Sıfır düzlemi Şekil 9.32 de görülen bir hesap adımındaki 1 ve 2 kesitleri arasında Bernoulli denklemi V12 V 22 + h1 + z1 + S ∆ x = + h 2 + z2 2g 2g burada enerji çizgisinin eğimi olarak 1 ve 2 kesitlerinin ortalama değeri alınıp, z2- z1 = S0∆x ve V2/2g+h=E yazılırsa: E1 - E 2 = (S0 - S) ∆ x buradan, hesap adımındaki profil parçasının uzunluğu aşağıdaki gibi bulunur ∆E E -E ∆x = 1 2 = S0 - S S0 - S Doğrudan adım yönteminin hesap prosedürü aşağıdaki gibidir: (a) Hesabı yapılacak akım profilinin başında ve sonundaki derinlikler belirlenir. (b) Hesap adımları için uygun görülen farklarda ara derinlikler seçilir. (c) son denklem ile seçilen derinliklerdeki ara mesafeler hesaplanır. 3 - Standart Adım Yöntemi Standart adım yönteminde kanalın seçilen ∆x aralıklarında akım derinlikleri hesaplanır. Prizmatik ve prizmatik olmayan kanallara uygulanabilir. Prizmatik Kanallar İçin Son denklemden E 2 = E1 - (S0 - S) ∆ x Bu denklemde , 2 kesitinde enerji çizgisi eğimi S2=V22n2/R24/3 değerini de içermekte olup S2 değeri bilinmeyen h2 ye bağlıdır. Dolayısıyla E2 nin hesabı deneme yanılma işlemini gerektirir. (a) h2 için bir deneme değeri tahmin edilir ve E2=h2+V22/2g hesaplanır. (b) (9.33) denkleminden E2 hesaplanır. (c) Eğer (a) ve (b) de hesaplanan E2 ler kabul edilebilir bir hassasiyet ölçüsünde eşdeğer değilse hesap prosedürü yeni bir h2 ile tekrarlanır. Prizmatik Olmayan Kanallar İçin Standart adım yöntemi akarsular gibi prizmatik olmayan kanallardaki su yüzü profillerinin analizi için de uygundur. Bunun için profil hesabı yapılacak uzunluk hidrografik çalışmalar ile uygun hesap aralıklarına bölünür. Bu aralıkların seçiminde kesit şekli, taban eğimi ve yüzey pürüzlülüğünün mümkün olduğunca üniforma yakın olmasına özen gösterilir. Taban düzensizlikleri nedeniyle profil hesabında akım derinliği yerine su yüzü kotu hesaplanır. Şekil 9.33 teki bir hesap adımında su yüzü kotları Z1 ve Z2 olarak görülmektedir ∆x Kritik altı akım ∆x Sıfır düzlemi Şekil deki 1 ve 2 kesitleri arasında Bernoulli denklemi: V12 V 22 + Z1 + S ∆ x = + Z2 2g 2g H 2 = H1 + S ∆ x Son denklemindeki , bilinmeyen Z2 değerine bağlı olduğundan H2 nin hesabı deneme yanılma işlemini gerektirir. Yöntemin hesap prosedürü aşağıdaki gibidir: (a) Z2 için bir deneme değeri tahmin edilir ve H2=Z2+V22/2g hesaplanır. (b) (9.34) denkleminden H2 hesaplanır. (c) Eğer (a) ve (b) de hesaplanan H2 ler kabul edilebilir bir hassasiyet ölçüsünde eşdeğer değilse hesap prosedürü yeni bir Z2 ile tekrarlanır.