5. Risk
Transkript
5. Risk
Belirsizlik ve Sigorta Olgusu 2 Belirsizliğin Olasılık Dağılımıyla Tanımlanması Bazı olayların gerçekleşmesi, olasılık kullanılarak tanımlanabilir. Örneğin bir sınıfta bulunan öğrencilerin boy uzunluklarını belirlediğimizi düşünelim. Daha sonra bu sınıfa katılacak bir öğrencinin boy uzunluğu, olasılıklı olarak söylenebilir. Olasılık dağılımı, tesadüfi bir değişkenin alacağı bir değerin olasılığını tanımlar. 3 Örneğin boyu 165 c. Olan bir öğrencinin sınıfa katılma olasılığı %33.3, boyu 175 cm. olanın olasılığı %33.3 biçiminde olasılık dağılımıyla gösterebiliriz. Bunu basit olarak tablolaştıralım: Tablo 6.1. Üç Farklı Boy Uzunluğunun Olasılık Dağılımı Boy Uzunluğu Olasılık 165 cm. ⅓ 175 cm. ⅓ 180 cm. ⅓ 4 Bu örneğe göre, beklenen boy uzunluğunu hesaplayalım: Beklenen Değer = ∑ π i vi , 0 ≤π i ≤ 1 , ∑π i =1 1 1 1 Beklenen Boy Uzunluğu = (165) + (175) + (180) 3 3 3 = 173.33 Burada πi , i olayının gerçekleşme olasılığı; vi , i olayının gerçekleştiğinde alacağı değerdir. 5 Bu örneği grafik olarak da gösterebiliriz. Şekil 6.1. Kesikli Olasılık Dağılımı Olasılık 1 0.75 0.5 0.25 0 165 175 Boy Uzunluğu 180 6 Olay sayısı sonsuz olarak ifade edildiğinde, yukarıda üç olayın olasılığı için çizdiğimiz kesikli olasılık dağılım grafiği, sürekli biçime dönüşmüş olacaktır. 1 B Şekil 6.2. Olasılık Dağılımı Olasılık A 0 Boy Uzunluğu 7 Yukarıdaki şekilde mavi dağılımın (A ) varyansı, kırmızı dağılımdan (B) büyüktür. σ = ∑ π i ( vi − x ) 2 2 σ 2A > σ 2B İlerleyen konularda, tesadüfi bir değişkenin varyansının, risk kavramıyla nasıl ilişkilendirilebileceğini göreceğiz. Belirsizlik Koşulları Altında Karar Verme 8 Geleneksel tüketici teorisinde tüketicinin karar verme sürecini tam bir belirlilik altında gerçekleştirdiğini varsaymıştık. Ancak gerçek dünyada bireyler belirsizliklerle karşı karşıya kalarak iktisadi kararlar verirler. Örneğin bir bireyin farklı risklere sahip iki yatırım karşısında karar verme durumunda olduğunu kabul edelim. Aşağıdaki tablo, her bir yatırımın getirisinin gerçekleşme olasılığını vermektedir. 9 Tablo 6.2. Farklı Bölgelerde Buğday Üretme Girişimi A Yatırımı B Yatırımı Kazanç (YTL) Geçekleşme Olasılığı Kazanç (YTL) Geçekleşme Olasılığı 10 0.10 10 0.00 20 0.30 20 0.30 30 0.20 30 0.40 40 0.20 40 0.30 50 0.20 50 0.00 10 Girişimci A ve B yatırımlarının sağlayacağı kazançların belirsizliği altında hangi yatırımı yapacağına karar verecektir. Yukarıdan aşağıya her bir olay sırasıyla şu anlama gelmektedir: Birinci olay kurak hava koşulları; ikinci olay yağışlı hava koşulları; üçüncü olay soğuk hava koşulları; dördüncü olay dondurucu hava koşulları; beşinci olay aşırı yağışlı hava koşullarıdır. 11 Bu tabloyu, kesikli olasılık dağılım grafikleri yoluyla da aşağıda gösterdik. Şimdi her iki yatırımın beklenen parasal değerini hesaplayalım. A Yatırımının Beklenen Parasal Değeri = 0.10(10) + 0.30(20) + 0.20(30) + 0.20(40) + 0.20(50) = 31 YTL B Yatırımının Beklenen Parasal Değeri = 0(10) + 0.30(20) + 0.40(30) + 0.30(40) + 0(50) = 30 YTL 12 Farklı yatırım olanaklarından hangisinin seçileceği, beklenen kazancın parasal değerine bağlıdır. Beklenen parasal değeri en büyük olan yatırım, ekonomik karar birimi tarafından tercih edilecektir. Yukarıdaki beklenen değer hesabına göre, girişimci A yatırımına karar verecektir. Ancak belirsizlik altında bu şekilde karar vermek olanaklı değildir. Bazı durumlarda çelişik sonuçlar elde edilebilir. Bunu iki örnekle görelim. 13 Şekil 6.3. A Yatırımının Kazanç Olasılık Dağılımı Olasılık 1 0.75 0.5 0.25 0 10 20 30 Kazanç 40 50 14 Şekil 6.4. B Yatırımının Kazanç Olasılık Dağılımı Olasılık 1 0.75 0.5 0.25 0 10 20 30 Kazanç 40 50 15 Örnek 1: Sadist Yardımsever Bir hastanın doktordan önemli bir rahatsızlığı olduğunu ve 20000 YTL değerindeki bir operasyon yapılmadığında iki aylık ömrünün kaldığını öğrendiğini varsayalım. Bu hasta operasyon masrafını karşılamak için yakınlarına ulaşamamıştır. Son bir çare olarak, bir sadist yardımsever başvurur. Sadist yardımsever bu hastanın önüne iki kumar seçeneği koyar. Bu seçenekler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. 16 Tablo 6.3. A Kumarı Fiyat (YTL) B Kumarı Kazanç Olasılık (YTL) Fiyat (YTL) Olasılık Kazanç (YTL) 10000 0.50 0 0 0.99 0 15000 0.50 0 20000 0.01 1 Beklenen Parasal Değer: 12500 Beklenen Kazanç: 0 Beklenen Parasal Değer: 200 Beklenen Kazanç: 0 17 Örneğimizdeki hasta birey kazancını (yararını) maksimize etmeye çalıştığından dolayı, A kumarını tercih edecektir. Ancak burada oluşan bityeniğine dikkat edelim. Birey A’yı tercih ederse bir saat içinde ölecek (çünkü operasyon için 20000 YTL gerekli), B’yi tercih ederse %1 yaşama olasılığı var. Bu nedenle A tercihinin sağladığı kazancın hiçbir değeri yoktur. B ise bir yaşam umudu sağlamaktadır. Tabii ki böyle bir durumda bireyler B’yi tercih edeceklerdir. 18 Ölümün sağlayacağı yararı 0, yaşamın sağlayacağı yararı 1 ile tanımlarsak, hasta gözünde A ve B kumarlarının beklenen yararlarını şöyle hesaplayabiliriz: A Kumarının Beklenen Yararı = 0.50(0) + 0.50(0) = 0 B Kumarının Beklenen Yararı = 0.99(0) + 0.01(1) = 0.01 19 Bireyin amacı beklenen yararı maksimize etmekse, bu durumda B’yi tercih edecektir. Bu örnek bize, belirsizlik durumlarında beklenen (parasal) kazancı maksimize etmenin, açık bir çözüm üretemeyebileceğini geçelim. Bu örnek göstermektedir. St. Şimdi Petersburg ikinci örneğe paradoksu olarak anılmaktadır ve çözümü ilk kez Daniel Bernoulli tarafından yapılmıştır. 20 Örnek 2: St. Petersburg Paradoksu Eşit beklenen parasal getiriye sahip iki farklı kumarla karşı karşıya olan bir bireyi dikkate alalım. A kumarında 100 YTL elde etme şansı %100, 0 YTL elde etme şansı %0; B kumarında 200 YTL elde etme şansı %50, 0 YTL elde etme şansı %0 ’dır. Bireyin, herhangi bir adil kumarda yer alabilmek için yapacağı kumar ödeme, elde edeceği beklenen kazancına bağlıdır. Örneğin B kumarında yer alabilmek için, 100 YTL ödeme yapacaktır. 21 Bernoulli, bir yazı tura oyunu yoluyla, bireylerin kazançlarını maksimize edemeyebileceğini göstermiştir. Genel olarak, çok sayıda para atımında yazı ve tura gelme olasılıkları yarı yarıyadır. Parayı ilk tura gelinceye kadar atalım ve sonra oyunu durduralım. Bu atışlardaki ödeme sistemimizde şöyle olsun: Birinci atışta tura gelirse 2 YTL, ikinci atışta gelirse (2)2 YTL, üçüncü atışta gelirse (2)3 YTL… 22 Tüm yazı-tura atışları birbirinden bağımsızdır. Birinci atışta tura gelme olasılığı ½ , ikinci atışta olasılık (½)2 , üçüncü atışta olasılık (½)3 ... Buna göre, bu oyunun beklenen getirisini hesaplayalım: 2 3 2 3 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1⎞ = ⎜ ⎟ ( 2 ) + ⎜ ⎟ ( 2 ) + ⎜ ⎟ ( 2 ) + ..... + ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ = 1 + 1 + 1 + ..... + 1 + ..... Bu toplam ıraksaktır. n ( 2) n + ..... 23 Bu sonuç, beklenen kazancı maksimize etme amacındaki bir bireyin bu tür bir oyunda yer alabilmek için, sınırsız miktarda ödeme yapması gerektiğini söylemektedir. Ancak gerçek yaşamda, kendisine küçük bir şans veren bir oyun için hiçbir birey sınırsız ödeme yapmaz. Bu nedenle, bireyler beklenen kazancı maksimize etmeyebilirler. 24 Beklenen Faydanın Maksimizasyonu: Kardinal Fayda Yukarıda incelediğimiz örnekler, belirsizlik (risk) altında seçim yapan bireylerin, tercihlerini beklenen kazancın maksimizasyonu yerine, beklenen faydanın maksimizasyonuna göre oluşturduklarını göstermiştir. Bu, beklenen fayda hipotezi olarak anılmaktadır. Konuyla ilgili iktisatçılar, risk altında seçim yapan bireylerin, adeta bir (kardinal) fayda ölçeği oluşturarak tercih belirlediklerini düşünmektedirler. 25 Bu anlamda, bireylerin birer kardinal fayda fonksiyonuna sahip olduklarını düşünerek analiz yapacağız. Ordinal fayda kavramının yerine kardinal faydayı ikame etmemizin nedeni, belirsizlik durumlarında ordinal fayda ölçeğinin zayıf kalmasıdır. Bunu bir örnekle görelim. Bize üç şey arasında bir seçim olanağı sağlanmış olsun: Çikolata (100 birim fayda), elma (70 birim fayda) ve portakal (50 birim fayda). Bu durumda birey fayda maksimizasyonu gereği, çikolatayı tercih edecektir. 26 Benzer şekilde sayısal faydalar (aynı sırayla) 5, 4 ve 2 olsaydı, tercihimiz yine aynı şekilde olacaktı. Sıralama esaslı bir fayda yaklaşımı yaptığımızda, sıralama bireyin tercihlerini doğru yansıttığı sürece, atfedilen sayıların bir önemi yoktur. Ancak böyle bir durumda birey tercihini açık bir belirlilik altında yapmaktadır. Gerçek dünyada belirsizlik durumlarında bu yaklaşım (ordinal fayda) yetersiz kalacaktır. İktisatçılar bu yaklaşım yerine, kardinal fayda yaklaşımını önermektedirler. 27 Bunu aynı örneğe devam ederek açıklayalım. Yine yukarıda yaptığımız gibi iki farklı ordinal fayda fonksiyonu düşünelim. Ancak şimdi bireye sunulan seçenek biçimini değiştirelim. Seçeneklerden biri elma, diğeri de yarı yarıya bir şansla çikolata ve portakal olsun. Yani birey ya kesin olarak elmayı seçecek, ya da bir kumar oynayarak daha çok sevdiği çikolata ile daha az sevdiği portakal arasında bir karar verecektir. Şimdi ordinal bir fayda fonksiyonu çerçevesinde, beklenen faydayı maksimize etmeye çalışalım. 28 Eğer bireyi doğrudan (kesin bilgi sahibi olduğu) elmayı seçerse, faydası 70 birimdir. İkinci seçenek üzerinde (%50%50 şansla) kumar oynarsa, beklenen faydası ½(100)+½(50)=75 birim olacaktır. Bu durumda birey, ikinci seçeneğin beklenen faydası daha yüksek olduğundan kumar oynamayı tercih edecektir. Şimdi aynı durumu ikinci ordinal fayda fonksiyonu için uygulayalım. doğrudan elmayı seçerse, faydası 4 birim; ½(5)+½(2)=3.5 kumar birim oynarsa, olacaktır. seçmek rasyonel davranıştır. Bu beklenen durumda ise faydası elmayı 29 Bireyin her iki fayda fonksiyonundaki sıralama tercihleri aynı olmasına karşın, çelişik sonucun ortaya çıkışı, bizi belirsizlik durumlarında kardinal fayda fonksiyonlarını kullanmaya zorlamaktadır. Şimdi bireyin, ödülleri (A1 , A2 ,…, An) olan bir kumarla karşı karşıya bulunduğunu ve A1’i A2’ye , A2’yi A3’e ,…, An-1’i An’e tercih ettiğini varsayalım ve bireyin her bir ödüle atayacağı sayısal (kardinal) fayda belirleyelim. 30 Sayısal (kardinal) faydayı belirlemek için üç örnek ödülü dikkate alalım: A1 ,en iyi ödül; Ak , orta derecede ödül; An , en kötü ödül. İlk aşamada Ak ,ödülüne atanacak sayıyı belirleyelim. Örneğin basit biçimde en kötü ödüle (An) 0, en iyi ödüle (A1) 1 değerini verebiliriz. Olasılıklar da sırasıyla %40 ve %60 ise, bu durumda ödülünün beklenen sayısal faydası (U( Ak )): U ( Ak ) = p ( 1) + ( 1 − p )( 0 ) = p = 0.6 ( 1) + 0.4 ( 0 ) = 0.6 31 Bu süreci bu şekilde sürdürdüğümüzde, tüm öneriler için fayda sayılarına ulaşmış oluruz. Başlangıçta belirlediğimiz en iyi ödül için 1, en kötü ödül için 0 değerleri tesadüfi seçilmiştir. Bu değerler yerine, örneğin 1000 ve 100 değerleri de alınarak, bu araya düşen diğer fayda sayıları hesaplanabilir. Dolayısıyla ölçeği değiştirmemiz, bireyin kardinal fayda fonksiyonunu etkilememektedir. Örneğin ısı ölçümünde ölçeği Fahrenheit ya da Celcius almamızın ölçüm üzerinde bir önemi yoktur. 32 Fayda Fonksiyonu ve Risk Altında Davranış Riske Karşı Yansız Tutum Bazı bireyler riske karşı kayıtsız (yansız) davranabilirler. Şu örneği dikkate alalım. Aşağıdaki şekilde yatay eksende YTL olarak kazançlar, dikey eksende de bu parasal kazancın fayda karşılığı yer bireyin fayda almaktadır. Orijinden fonksiyonudur. nedeniyle, marjinal fayda sabittir. çıkan Doğrusal doğru fayda (kırmızı), fonksiyonu Şekil 6.5. Riske Karşı Yansızlık Fayda Kumarın ve Kesin Tercihin Beklenen Faydası e U (0) a 0 U (YTL) b U (100) U (50) 50 100 Kazanç (YTL) 33 34 Burada olduğu gibi, doğrusal fayda fonksiyonuna sahip birey, riske karşı yansız tutum takınır (risk-neutral). Riske karşı yansız olmak, bireyin kumarlar arasında yapacağı seçimini, elde edeceği beklenen parasal değere dayandırması anlamına gelmektedir. Eğer bir kumarın getirisinin varyansı artarsa, riski de giderek büyür. Örneğin kesin belirlilik altında 50 YTL öneren G1 kumarı, %50 olasılık altında 100 YTL öneren G2 kumarından daha az risklidir. Kesin belirli bir seçim, bir kumardan daha az risklidir. Riske karşı olmayacak, yansız iki olan seçeneğin birey, belirsizliklerin (kumarın) beklenen 35 farkında getirileriyle ilgilenecektir. G1 ve G2 kumarları eşit beklenen getiriye sahip olduğundan, birey bu iki seçeneğe karşı yansızdır. Şekil 6.5’de G2 tercihi e noktasıyla gösterilmiştir. Bu kumarın beklenen faydasını bulurken en iyi durum (b noktası 100 YTL) ile en kötü durumu (a noktası 0 YTL) kullanıyoruz: G 2 = (0.50)U ( 0YTL ) + (0.50)U ( 100YTL ) = 50YTL G1 kumarının beklenen faydası, e noktasının yatay eksenden yüksekliğine eşittir. Yani 50 YTL’dir. 36 Riskten Kaçınma Tutumu Bazı bireyler riske karşı kaçınma davranışında olabilirler. Aşağıdaki şekilde (Şekil 6.6.) fayda fonksiyonu konkav biçimde çizilmiştir. Marjinal fayda giderek azalmaktadır. Birey bu durumda risk almaktan kaçınan bir tutum izleyecektir. Artık birey kesin bilinen tercih ile kumar tercihi arasında kayıtsız değildir. Bunu anlayabilmek için bir önceki örneği kullanmayı sürdürelim. 37 Şekil 6.6.’da b noktası yine en yüksek kazanç düzeyini (100 YTL) göstermektedir. Bireyin seçimi (yansızlık örneğindeki gibi) ya kesin bilinenden yana (50 YTL) ya da %50-%50 olasılıklarla en iyi olan (100 YTL) ile en kötü olan (0 YTL) arasında oluşacaktır. noktalarının tam Kumarın ortası, yani beklenen faydası, a ile b e noktasıdır. Ancak fayda fonksiyonumuz artık doğrusal değil, konkav biçimlidir. Bu nedenle, fayda eğrisi (mavi eğri) üzerindeki d noktası, belirli olan seçimin sağlayacağı parasal faydadır. 38 Şekil 6.6. Riskten Kaçınma Fayda Kesin Bilinen Seçimin Faydası b U (YTL) d • U ( 50 ) • e Kumarın Beklenen Faydası (0.50)U (0) + (0.50)U ( 100 ) a 0 50 100 Kazanç (YTL) 39 Belirli seçimin faydası, belirsiz seçimin faydasından büyük olduğundan, birey risk taşıyan belirsiz bir seçimden kaçmayı daha rasyonel bulacaktır. 40 Riski Tercih Etme Tutumu Son olarak, bazı durumlarda bireylerin risk taşıyan seçimleri tercih edebileceği durumu inceleyelim. Bu durum, aşağıdaki Şekil 6.7 ile gösterilmiştir. Fayda fonksiyonu konvekstir. Riskten kaçınma durumunun tersine, burada bireyin belirli seçimde elde edeceği fayda, belirsiz (risk taşıyan) seçime göre daha düşüktür. Bireyin daha yüksek parasal fayda sağlayan riskli seçimi tercih etmesi rasyonel bir davranıştır. 41 Şekil 6.7. Riski Tercih Etme Fayda b U (YTL) Kumarın Beklenen Faydası e • d • a 0 50 U ( 50 ) Kesin Bilinen Seçimin Faydası 100 Kazanç (YTL) 42 Bireylerin Sigorta Talepleri: Riskten Kaçınma Riskten Kaçınma tutumuna sahip bir bireyin, 100 YTL değerinde bir eve sahip olduğunu ve ayrıca, evin yanması durumunda, evin bulunduğu arsanın 20 YTL olduğunu kabul edelim. Evin yanma olasılığının da %20 olduğunu (yanmama olasılığı %80) düşünelim. Buna göre bireyin risk taşıyan (kumar) seçeneğini şöyle ifade edebiliriz: G ( 20YTL, 0.20 ; 100YTL,0.80 ) 43 Örneğimizi aşağıdaki Şekil 6.8. ile gösteriyoruz. Eğer birey hiçbir şey yapmazsa (evini sigorta yaptırmazsa) elde edeceği fayda e′e dir. Ancak birey aynı fayda düzeyini (g′g), evini sigorta yaptırarak da elde edebilir. Birey yıllık 20 YTL’den evini sigortalarsa, evin bedeli olarak 80 YTL’yi garanti altına almış olacaktır (belirli seçim). 20 YTL’lik bir sigorta primi düzeyinde birey sigorta yaptırıp yaptırmamakta kayıtsızdır. Sigorta bedeli 20 YTL’nin altında ise, sigorta yaptırmak (riskten kaçınmak) daha rasyonel bir davranıştır. 44 Şekil 6.8. Sigorta ve Riskten Kaçınma Fayda 80 YTL’nin Faydası h • g e • • 15 YTL (0.20)(20) + (0.80)(100) U ( 20 ) a 0 U (YTL) Bir Eve Sahip Olmanın Beklenen Faydası 20 80 g′ 84 e′ 85 h′ 100 Kazanç (YTL) 45 Örneğin 15 YTL’lik bir sigorta primi öderse, elde edeceği belirli fayda 85 YTL eşdeğerindeki h′h yüksekliğine eşittir. Böylesi bir sigortalama eylemi, bireyin tercih edebileceği (yani riskten kaçacağı) bir olanak sağlar. Fakat bu tür durumlarda dahi riski tercih eden bireyler açısından ne gibi sonuçların ortaya çıkabileceğine de bakalım. Şekil 6.9. bu durumu göstermektedir. Böylesi bir fayda fonksiyonuna sahip birey için evin %20 olasılıkla yanmasının yol açacağı beklenen kayıp 16 YTL’dir. Şekil 6.9. Sigorta ve Riskin Tercih Edilmesi 46 Fayda e • 10 YTL 0 20 84 e′ 90 100 Kazanç (YTL) 47 Bireyin sigorta yaptırmaya razı olacağı (ya da bir başka ifadeyle, sigorta yaptırmadığında elde ettiği faydayı yakalayabileceği) en yüksek prim 10 YTL’dir (e′e ’nin eşdeğer yüksekliği). Bu kumarın sonucunda beklenen kazanç 16 YTL’dir. Çünkü evin yanma olasılığı %20 ve kaybedilecek para da 80 YTL’dir. Bir önceki örnekte birey riskten kaçma davranışı içindeyken, sigorta primi olarak en çok 20 YTL ödemeye razıydı. Buradaki durumda ise bireyin sigorta için ödeyeceği en yüksek prim 10 YTL’dir. 48 Buna göre, risk almayı tercih eden birey 10 YTL’ye sigorta yaptırmakla yaptırmamak arasında kayıtsızdır. Gerçekte ise, bu durumdaki birey 16 YTL’lik adil primi ödemekten kaçınarak, sigorta yapmak yolunu seçecektir. Bu tür bir davranış, risk almayı seven bireyden beklenmeyen bir durumdur. 49 Sigortalama Sistemi ve Sigorta Piyasasının Oluşumu Sigortacılık sisteminin (piyasasının) nasıl oluşabildiğini görebil-mek için, iki bireyin (A ve B) yaşadığı ve meyve toplayıcılığıyla geçindiği basit bir tarım bölgesini dikkate alalım. Bu bireyler topladıkları elmanın kilosunu 1 YTL’den, çileği de 6 YTL’den her sabah satmaktadır. Ayrıca A ve B bireyinin ürünlerinin tamamını %10 olasılıkla tahrip edebilen bir böcek riskinin var olduğunu düşünelim. Eğer A bireyi her gün 8 kilo kazanacaktır. elma, 2 kilo çilek satarsa günlük 20 YTL 50 Ancak böceklerin, toplanan meyvenin tamamına %10 olasılıkla zarar verebilmesi nedeniyle A bireyinin %90 olasılıkla geliri 20 YTL, %10 olasılıkla da 0 YTL olacaktır. Bu nedenle A bireyinin beklenen kazancı 18 YTL, beklenen kaybı 2 YTL’dir. Eğer birey risk almaktan hoşlanmıyorsa, durumu aşağıdaki Şekil 6.10a ile tanımlanacaktır. Birey risk alacak olursa beklenen kazancı 18 YTL, beklenen faydası da e′e olacaktır. Böceklerden görülecek zarara karşı korunmak için, kendisine önerildiği taktirde 4 YTL’ye kadar prim ödemeye razı olacaktır. 51 Şekil 6.10a. Riskten Kaçınan A Bireyi Fayda U (20) •e 4 YTL a 0 16 e′ 18 20 Kazanç (YTL) 52 Bu noktada temel soru şudur: Bireyleri risklere karşı korumak için sigorta teklifini kim ve neye göre yapacaktır? Bu soruyu yanıtlayabilmek için, risk almaktan hoşlanan ve fayda fonksiyonu Şekil 6.10b’de gösterilen bir başka birey (B) dikkate alalım. Bu bireyin meyve satışından elde edeceği günlük geliri 38 YTL’dir. Faydası şekilde b′b yüksekliğiyle gösterilmiştir. Şekil 6.10b. Risk Tercih Eden B Bireyi Fayda b • U (38) d • 10 YTL U (18) • 0 18 d′ 36 b′ 38 (0.10)(18) + (0.90)(38) Kazanç (YTL) 53 54 Şimdi B bireyinin A bireyine şöyle bir öneri götürdüğünü düşünelim: “Sen bana π kadar bir ödeme yaparsan, ürünün böceklerden dolayı tamamen zarar gördüğünde ben sana YTL ödeme yapacağım; aksi durumda hiçbir 20 ödeme yapmayacağım”. Eğer A bireyi bu öneriyi kabul ederse, B için 38 YTL’lik günlük gelir kesin olmaktan çıkar. Artık B bireyi üzerine bir risk almıştır: %90 olasılıkla 38+π YTL kadar kazanabileceği bir kumarın içerisinde yer almaktadır. 55 Böcekler meyvelere zarar vermezse, B bireyi kazanç %10 olasılıkla 18+π YTL kazanacak; zarar verirlerse, B bireyi A bireyine 20 YTL ödeme yapacaktır. Buna göre, B bireyi hangi fiyattan (ya da hangi sigorta priminden, π) A bireyine sigorta hizmeti vermek isteyecektir? Bir an için sigorta bedelini sıfır olduğunu varsayalım. B, A’ya sigorta satarsa, kendisinin kesin olan 38 YTL’lik gelirini risk altına sokmuş olacaktır. Çünkü %90 olasılıkla 38 kaybedecek YTL’yi koruyacak, (meyvelerin yapacağı ödeme). zarar %10 olasılıkla görmesi 20 nedeniyle YTL A’ya 56 B bireyi için bu şekildeki bir kumarın beklenen faydası, Şekil 6.10b’de d′d yüksekliğiyle gösterilmiştir. Ancak bu, B bireyinin risk altına girmeme (sigorta satmama) durumunda ortaya çıkacak beklenen faydayı gösteren b′b yüksekliğinden daha düşüktür. Bu nedenle B, sıfır risk primi altında A’ya sigorta satmak istemeyecek, yani sigorta olgusu ortaya çıkmayacaktır. B’nin sigorta satmaya razı olacağı fiyatı (primi) görebilmek için Şekil 6.11’i dikkate alalım. B bireyinin satış yapmadığı nokta b′b dir. Şimdi sigorta priminin 1.50 YTL olduğunu varsayalım. Şekil 6.11. Sigorta Satmaya İstekli Olma Fayda • k • b • 10 YTL • 0 19.5 18 + π k′ • b′ • 38 39.5 38 + π Kazanç (YTL) 57 58 Bu durumda, böcekler A bireyinin meyvesine %10 olasılıkla zarar verdiğinde B’nin kazancı 19.50 YTL (38 YTL asıl gelir-20 YTL A’ya yapılacak sigorta zararı gideri+1.50 YTL prim geliri); meyveler zarar görmediğinde (%90 olasılık), B A’ya hiçbir ödeme yapmayacağından kazancı 39.50 YTL (38 YTL asıl gelir+1.50 YTL prim geliri) olacaktır. Bu kumarın beklenen faydası k′k olduğundan, yüksekliğidir. bu prim k′k b′b ile düzeyinde B, yükseklikleri A’ya sigorta eşit satıp satmamakta kararsızdır. Bu nedenle 1.50 YTL, B’nin sigorta yapmaya razı olacağı en düşük primdir. 59 Risk Havuzu: Sigorta Şirketlerinin Büyümesi Yukarıda gördüğümüz gibi, günlük yaşamda belirsizliklerin varlığı sigortanın gerekliliğini ortaya çıkartmakta ve insanların bu belirsizlikler karşısında farklı tutumlar takınması, sigortalamanın kârlılığını belirlemektedir. Bazı bireyler risk almaktan kaçınmazlarken, bazıları ise riskten pek hoşlanmazlar. Yukarıdaki A ve B bireyi örneği bir birey için sigorta olgusunun ortaya çıkışını göstermiştir. Ancak bireyin kendisini (gelirini) güven altına alabilmek için başka yolları da vardır. 60 Bu yollardan birisi risk havuzu ya da öz-sigortadır. Bu tür sigorta sigortayı anlayabilmek için riskten kaçınan birey örneğini yeniden ele alalım. Bunu Şekil 6.12’de görebiliriz. Şekle göre risk almayı sevmeyen birey aynı beklenen kazancı sağlayan iki kumarla karşı karşıyadır. Şekil 6.12a’daki birinci kumar %60 olasılıkla 100 YTL, %40 olasılıkla da 50 YTL kazandırmaktadır. Bu kumarın beklenen kazancı 80 YTL’dir: (0.60)(100) + (0.40)(50) = 80 Şekil 6.12a. Risk ve Varyans Fayda U (YTL ) 0 50 70 80 100 (0.40)(50) + (0.60)(100) Kazanç (YTL) 61 62 Kazancın varyansı: (0.60)(100 − 80) + (0.40)(50 − 80) = 600 2 2 Birey 100 YTL’lik varlığını ya %60 olasılıkla aynı düzeyde koruyacak ya da %40 olasılıkla 50 YTL’ye düşecektir. Bu koşullar altında birey varlıklarının değer kaybına karşılık 30 YTL’ye kadar sigorta primi ödemeye razıdır. Varlıklarının değeri düşerse, sigortacı bireye 50 YTL’lik ödeme yapacaktır. 63 Şimdi de Şekil 6.12b’ye bakalım. Bu kumarda bireyin varlığı %40 olasılıkla değerini koruyacak; %33.3 olasılıkla 80 YTL’ye ve %26.7 olasılıkla da 50 YTL’ye düşecektir. Beklenen kazançlar, bir önceki örnekteki kadardır: Beklenen Kazanç = (0.40)(100) + (0.333)(80) + (0.267)(50) = 80 Buna karşılık varyans daha düşüktür: σ 2 = (0.40)(100 − 80)2 + (0.333)(80 − 80)2 + (0.267)(50 − 80)2 = 400.3 Şekil 6.12b. Risk ve Varyans Fayda c • •b •e 0 50 70 75 80 U (YTL ) 100 Kazanç (YTL) (0.40)(100) + (0.333)(80) + (0.267)(50) 64 65 Kazançlar eşitken varyansının daha düşük olması, ikinci kumarı daha çekici kılmaktadır. İkinci durumda risk, üç farklı olasılığın bir bileşimidir. Şekil 6.12b’deki b noktası, ikinci kumardaki beklenen faydayı göstermektedir. Birinci kumarın beklenen faydası ise e noktasına karşılık gelmektedir. b ile e noktaları arasındaki fark, % 33.3 olasılıkla 80 YTL’lik değere düşüş olanağıyla oluşmaktadır. 66 Bu şekilde bireyin karşısına çok olasılıklı bir durum çıktıkça, beklenen fayda giderek c noktasına yaklaşacaktır. c noktasında varyans sıfırdır. Bu nokta birey kesin olarak varlığının değerinin 80 YTL’ye düşeceğini bilmektedir. Buna göre şunu söyleyebiliriz: Risk almayı sevmeyen bireyler, eş kazanç kumarlardan varyansı düşük olanı tercih edeceklerdir. sağlayan 67 Ayrıca bireyin ikinci kumarda ödeyeceği sigorta primi daha düşük olacaktır. Bu örnekte en çok 25 YTL ödemeye razıdır. Farklı iki kumarı karşılaştırdığımız bu örneklerde kumarlardaki kazançların ortalaması aynı kalmakla beraber (80 YTL), çeşitli olasılıklar karşısında elde edilebilecek kazançların yayılımı giderek artmaktadır. İstatistik diliyle veri setinin ortalaması aynı kalmakta, ancak varyansı düşmektedir de diyebiliriz. 68 A bireyinin bu durumlar karşısında sigorta yaptırmamaya karar verdiğini, fakat (birleştirdiğini) risklerini varsayalım. bir Ayrıca havuzda iki tane topladığını A bireyi de aralarında şu şekilde sözleşmiş olsunlar: Her ikimiz de üründen zarar gördüğümüzde ya da hiçbir zarar görmediğimizde bu durumlara katlanalım. Ancak yalnızca birimizin ürünü zarar görürse, diğerinin gelirini eşitçe paylaşalım. 69 Bu sözleşmeyi incelediğimizde, bireylerin sigorta yaptırmaları ile elde edecekleri beklenen kazanç ile sözleşmeden elde edecekleri beklenen kazançların eşit olduğu görülecektir. Her iki bireyin ürününün zarar görme olayları birbirinden bağımsızdır. Bu nedenle, her ikisinin birden zarar görme olasılığı (0.10)(0.10)=0.01; her ikisinin birden zarar görmeme olasılığı (0.90)(0.90)=0.81; yalnızca birinin olasılığı da (0.10)(0.90)+(0.10)(0.90)=0.18’dir. zarar görme 70 Her ikisi birden zarar görürse, her ikisi de 40 YTL kayba uğrayacak, ortak bir gelir olmayacak; hiç birisi zarar görmezse, her birinin 20 YTL geliri olacak; yalnızca biri zarar görürse, ortak olarak 20 YTL gelirleri olacaktır. Bu durumları dikkate alarak, sözleşmeden kaynaklanan beklenen parasal bulalım. Beklenen Parasal Kayıp: = (0.81)(0 2) + (0.18)(20 2) + (0.1)(4 0 2) = 2 kaybı 71 Her iki birey de bir risk havuzu oluşturacak sözleşme yapmamış olsalardı beklenen parasal kayıp: = (0.10)(20) + (0.90)(0) = 2 Sözleşme olsa da olmasa da elde edilecek beklenen parasal kayıplar aynıdır. Ancak varyanslara baktığımızda, sözleşmenin daha avantajlı olduğunu görebiliriz. 72 σ sözleşmeli = (0.81) ( ( 0 2 ) − 2 ) + (0.18) ( ( 20 2 ) − 2 ) + (0.10) ( ( 40 2 ) − 2 ) = 18 2 2 2 σ sözleşmesiz = (0.10)(20 − 2) + (0.90)(0 − 2) = 36 2 2 n sayıda bireyin olduğu bir ekonomide, her biri ortalaması x ve varyansı σ2 olan bir riskle karşılaştığında, birey başına ortalama kayıp x, varyans da σ2/n ’dir. n (birey sayısı) sonsuza giderken, varyans sıfıra yaklaşır. 73 Bu sonuca göre, yukarıdaki basit ekonomiyi dikkate almaya devam edersek, sigorta talebinde bulunan birey sayısı yeterince çok olduğunda, sigorta şirketi her yıl oluşacak kayıpları tazmin etmek için 2n kadar ödeme yapacağını bildiğinden (birey başına yani ortalama beklenen kayıp 2 YTL idi), riskini hemen hemen sıfıra yaklaştırabilir. Birey başına sigorta priminin 4 YTL olduğunu düşünürsek, sigorta şirketinin yıllık kârı: n ( 4 − 2 ) − Sigortalama Maliyetleri 74 Bu koşullar altında çok sayıda şirket sigorta piyasasına gireceğinden, tam rekabetçi piyasa yapısına doğru sigorta primi 2 YTL’ye kadar düşer: P = MC = MR = 2 YTL Tam rekabetçi yapıda sigorta şirketlerinin aşırı kârı sıfırdır.