Simetrik olmayan Eğilme
Transkript
Simetrik olmayan Eğilme
Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Simetrik Olmayan Eğilme (Eğik Eğilme) Simetrik Eğilme : • Eğilme momenti bir simetri düzleminde (y burada simetri eksenidir) etki etmektedir. • Kesit eğilmeden sonra yine simetrik kalır ve eğilme simetri düzlemindedir. • Tarafsız eksen ile moment ekseni (yönü) çakışıktır. Simetrik Olmayan Eğilme : • Kesitte simetri düzlemleri veya eksenleri olmasına rağmen; eğilme momenti bir simetri düzleminde etki etmeyebilir. • Eğilme, momentin etki düzleminde gerçekleşmez. • Genel olarak, tarafsız eksenle moment ekseni (yönü) çakışık değildir. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 1 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek • Keyfi bir kesitte tarafsız eksen ile moment ekseni hangi şartlarda çakışıktır? Şekildeki gibi bir Mz eğilme momentine maruz kesitteki gerilmelere karşılık gelen eşdeğer kuvvet ve momentler şu şartları sağlamalıdır: Fx = ∫ σ x dA = 0 M y = ∫ z σ x dA = 0 M z = ∫ − yσ x dA = M ⎛ y ⎞ Fx = ∫ σ x dA = ∫ ⎜ − σ m ⎟ dA = 0 ⎝ c ⎠ veya ∫ y dA = 0 Tarafsız eksen geometrik merkezden geçer ⎛ y ⎞ M y = ∫ zσ x dA = ∫ z ⎜ − σ m ⎟dA = 0 ⎝ c ⎠ ∫ yz dA = 0 = I Bunun için yz moment vektörü geometrik merkezden geçen asal atalet eksenlerinden σ I ⎞ ⎛ y M = M z = − ∫ y⎜ − σ m ⎟dA = m c ⎠ ⎝ c M c σm = z normal gerilme ifadesi Iz birisiyle çakışmalıdır. Eğer uygulanan moment vektörünün yönü asal atalet eksenlerinden birisiyle çakışmıyorsa eğik eğilme meydana gelir. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 2 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Simetrik olmayan eğilmede süperpozisyon prensibi: M z = M cosθ M y = M sin θ Pozitif bölgede yer alan bir A noktasındaki bileşke gerilme; Mz y M yz + σx = − Iz Iy = A + A • Tarafsız eksenin konumu için; σx =0 = − tan φ = (M cos θ ) y + (M sin θ )z Mz y M yz + =− Iz Iy Iz Iy y Iz = tan θ z Iy © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 3 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek: Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Şekildeki yükleme durumunda; a) Kirişteki maksimum gerilmeyi, b) Tarafsız eksenin yatay eksenle yaptığı açıyı bulunuz. 200 Nm © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 4 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: Şekildeki yükleme durumunda; M=10 kN.m b) A ve D noktalarındaki gerilmeleri bulunuz. a) Tarafsız eksenin yatayla yaptığı açıyı bulunuz. Burada; C noktası geometrik merkez, z ekseni simetri ekseni ve y ile z asal atalet eksenleridir. 1 1 I y = ⋅ 200 ⋅ 503 + ⋅ 50 ⋅1003 = 25 × 106 mm 4 3 3 Iz = 1 1 ⋅ 50 ⋅ 2003 + ⋅100 ⋅ 503 = 34,375 × 106 mm 4 12 12 M y = M ⋅ sin θ = 10.sin 20 = 3, 42 ×106 N ⋅ mm4 M z = M ⋅ cos θ = 10.cos 20 = 9, 4 × 106 N ⋅ mm 4 M=10 kN.m φ tgφ = θ T. E . D (z,y)=D (0,-100) ; A (z,y)=D (-100,25) Iz 34,375 tgθ = tg 20 = 0,5 ⇒ φ = 26, 6o Iy 25 σx = − My Mz y+ z Iz Iy σA = − 9, 4 ×106 3, 42 ×106 25 + (−100) = −20,52MPa 34,375 ×106 25 × 106 9, 4 ×106 3, 42 ×106 (−100) + (0) = 27,34MPa σD = − 34,375 ×106 25 ×106 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 5 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS y Örnek: z Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Şekildeki yükleme durumunda; a) Tarafsız eksenin yatayla yaptığı açıyı bulunuz. b) En büyük çeki gerilmesini bulunuz. I y' = 281 × 10 3 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. mm 4 ; I z' = 176.9 × 10 3 mm 4 1- 6 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek: Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Şekildeki yükleme durumunda; a) A noktasındaki gerilmeyi, b) Tarafsız eksenin yatayla yaptığı açıyı bulunuz. I. YOL : asal atalet eksenleri kullanılarak çözüm yapılırsa; © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 7 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Tarafsız Eksen © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 8 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS II. YOL M (I z − I y ) + M (I z − I y ) σx = z yz y y I y I z − I yz2 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. z yz Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Bağıntısı ile doğrudan çözüme ulaşılabilir. 1- 9 Örnek: y P 70 mm Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS 10 mm z . Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Şekildeki kiriş için; a) geometrik merkezin koordinatlarını ve Iy , Iz , Iyz atalet momentlerini 120° b) Asal atalet momentlerini ve doğrultularını 10 mm 50 mm © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. c) En büyük çeki ve bası gerilmelerini bulunuz. 1- 10 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek: Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Şekildeki yükleme durumunda; a) Tarafsız eksenin yatayla yaptığı açıyı bulunuz. b) En büyük çeki gerilmesini bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 11 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Eksantrik Yüklemede Genel Durum P = centric force M y = Pa A A Pozitif bölgede bir A noktası için Süperpozisyon prensibi: σx = Örnek M z = Pb P Mz y M yz − + A Iz Iy Tarafsız eksenin konumu: σx =0 My Mz P y− z= Iz Iy A Şekildeki geometri ve yükleme durumu için a) A,B,C ve D noktalarındaki gerilmeleri b) Kesit üzerinde tarafsız eksenin konumunu bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 12 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek 1- 13 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Eğri Eksenli Çubuklar (Curved Bars) DE= tarafsız eksen/düzlem; (( ( ( JK > J ′K ′ (( ( ( DE = D ′E ′ DE = R ⋅ θ D ′E ′ = R ′ ⋅ θ ′ R ⋅θ = R′ ⋅θ ′ Yükleme öncesi durum JK yayının boyunda meydana gelen değişim; Yükleme sonrası durum JK yayının birim şekil değiştirmesi; δ = J ′K ′ − JK = r ′ ⋅ θ ′ − rθ r = R− y r ′ = R′ − y δ = ( R ′ − y )θ ′ − ( R − y )θ δ = R ′ ⋅θ ′ − y ⋅θ ′ − R ⋅θ + y ⋅θ R ⋅ θ = R ′ ⋅ θ ′ ⇒ δ = − y ⋅ θ ′ + y ⋅ θ = − y (θ ′ − θ ) θ ′ = θ + ∆θ ⇒ ∆θ = θ ′ − θ δ = − y ⋅ ∆θ © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. εX = δ = δ L JK δ = − y ⋅ ∆θ JK = r ⋅ θ − y ⋅ ∆θ − y ⋅ ∆θ y ⋅ ∆θ = =− εX = ( R − y )θ ( R − y )θ r ⋅θ ⎛ y ⋅ ∆θ ⎞ y ∆θ ⎟⎟ = − E ⋅ σ x = E ⋅ ε x = E ⎜⎜ − θ R− y ⎝ ( R − y )θ ⎠ ∆θ R − r ⋅ R − r = y ⇒ σ x = −E θ r 1- 14 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Tarafsız eksenin yeri; Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek y ∆θ R − r ⎞ ⎛ dA E = ⇒ − ⋅ 0 σ ⎜ ⎟dA = 0 ∫ x ∫⎝ r ⎠ θ ∆θ R − r dA = 0 ⇔ E ≠ 0, ∆θ ≠ 0, θ ≠ ∞ −E ∫ r θ T.E z R -r ∫ r dA = 0 R dA A dA dA R A R − = 0 ⇒ = ⇒ = ∫r ∫ ∫ r R = Eğri eksenli bir çubuk için tarafsız eksenin yeri. dA ∫ r Örnek: Dikdörtgen kesite sahip eğri eksenli bir çubuk için tarafsız eksenin konumu r1 + r2 2 A bh h h R= =r =r ⇒R= 2 2 dA r2 bdr dr ln ∫ ∫ ∫ r r1 r r1 r1 r r= © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 15 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Statik dengeden; ⎛ E∆θ R − r ⎞ ∫ − yσ x dA = M ⇒ ∫ − y⎜⎝ − θ ⋅ r ⎟⎠dA = M E ⋅ ∆θ ( R − r ) 2 E ⋅ ∆θ R 2 − 2 Rr + r 2 = y = R−r ⇒ dA dA =M θ ∫ θ ∫ r r E ⋅ ∆θ ⎡ 2 dA ⎤ − 2 R ∫ dA + ∫ rdA⎥ = M R ∫ ⎢ θ ⎣ r ⎦ ∫ rdA ⇒ ∫ rdA = r A A A dA A ⇒∫ = R= dA r R ∫r r= ∫ dA = A E ⋅ ∆θ ⎡ 2 A ⎤ 2 − + RA r A R ⎥⎦ = M θ ⎢⎣ R E ⋅ ∆θ (− RA + r ⋅ A) = M θ E ⋅ ∆θ θ E ⋅ ∆θ θ A(r − R ) = M = M A(r − R ) © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Elastisite modülü daima pozitiftir; E>0, ∆θ > 0 ve θ > 0 O halde eşitliğin sağ tarafı da pozitif olmalıdır: M >0⇒r −R >0⇒r > R A(r − R ) r −R=e e: eksantriklik Bu durumda eğilmeye maruz eğri eksenli bir çubuk kesitindeki normal gerilmeler şu bağıntı ile bulunur: E ⋅ ∆θ M θ A⋅e E ⋅ ∆θ R − r M R − r M (r − R) σx = − ⋅ ⇒σx = ⋅ = θ r A⋅e r A⋅e ⋅ r M (r − R) M⋅y σx = veya σ x = − A⋅e⋅ r A ⋅ e ⋅ ( R − y) = Eğrilik Yarıçapı : R ⋅θ = R ′ ⋅θ ′ θ ′ = θ + ∆θ ∆θ 1 1 θ ′ 1 θ + ∆θ 1 = ⋅ = ⋅ = (1 + ) R′ R θ R R θ θ ∆θ E ⋅ ∆θ M M 1 1⎛ M ⎞ = ⇒ = = ⎜1 + ⎟ A⋅e A⋅e⋅E R′ R ⎝ A ⋅ e ⋅ E ⎠ θ θ 1- 16 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek 1- 17 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek b=50 mm, h=25 mm olduğuna göre; şekildeki eğri eksenli çubuğa M=500 N.m’lik bir moment uygulandığında; a) Kesitin geometrik merkezi ile tarafsız eksen arasındaki mesafeyi (e) bulunuz. b) Meydana gelen en büyük çeki ve bası gerilmelerini bulunuz. =100 mm © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 18 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Şekildeki eğri eksenli ve T kesitli çubuğun emniyetli bası gerilmesi değeri 50 MPa olduğuna göre uygulanabilecek en büyük P kuvvetinin değerini bulunuz. C C © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 19 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Örnek Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Şekildeki taşıyıcı kancanın a-a kesitinde meydana gelen en büyük çeki gerilmesini bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 20 Fifth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Uygulama için örnek problemler Örnek Örnek Kesit çapı d=32 mm olan şekildeki eğri eksenli çubuğun A ve B noktalarında meydana gelen gerilmeleri bulunuz, r1=20 mm. Şekildeki eğri eksenli çubuğun A ve B noktalarında meydana Örnek gelen gerilmeleri bulunuz Şekildeki eğri eksenli ve dikdörtgen kesitli elamanın emniyetli gerilme değeri 100 MPa olduğuna göre uygulanabilecek en büyük P kuvvetinin değerini bulunuz. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 21