Türev Uygulamaları Rolle teoremi ve ortalama değer teoreminin
Transkript
Türev Uygulamaları Rolle teoremi ve ortalama değer teoreminin
Türev Uygulamaları Rolle teoremi ve ortalama değer teoreminin uygulamaları yine Calculus1 alt paketi içerisinde yer alan RollesTheorem ve MeanValueTheorem komutları yardımıyla yapılır. > with(Student[Calculus1]): > RollesTheorem(sin(x),x=1..3*Pi-1,output=points); , 3 , 5 2 2 2 > RollesTheorem(sin(x),x=1..3*Pi-1); > RollesTheorem(x^3-4*x+1,x=-1..1/2+sqrt(13)/2); Örnek: f(x)=cos(x) için [1,10] aralığında ortalama değer teoremini uygulayınız. > MeanValueTheorem(cos(x),x=1..10,output=points); arcsin 1 cos( 10 )1 cos( 1 ) , arcsin 1 cos( 10 )1 cos( 1 ) 2 , 9 9 9 9 1 1 arcsin cos( 10 ) cos( 1 ) 3 9 9 > MeanValueTheorem(cos(x),x=1..10); > MeanValueTheorem(cos(x),x=1..10,numeric,output=points); [ 2.987722440 , 6.437055521 , 9.270907747 ] Taylor serilerini de türevin bir uygulaması olarak görmek mümkündür. Taylor polinomu için komutun genel kullanımı TaylorApproximation(f(x),x=c,order=n) şeklindedir. sin(x) fonksiyonunun 9. mertebeden Taylor polinomu aşağıdaki şekildedir. > TaylorApproximation(sin(x),x=0,order=9); 1 1 5 1 1 x x3 x x7 x9 6 120 5040 362880 Aynı komut output=plot veya output=animation seçenekleriyle kullanıldığında Taylor polinomunun fonksiyona nasıl yaklaştığı grafik veya animasyon olarak görülebilir. > TaylorApproximation(sin(x),x=-1,order=1..9,output=plot); > TaylorApproximation(sin(x),x=1,order=1..9,output=plot,view=[-5..3,DEFAULT]); > TaylorApproximation(sin(x),x=1,order=1..9,output=animation,view=[-5..3,DEFAULT]); view=[-5..3,DEFAULT] seçeneği grafiğin [-5,3] aralığında görüntülenmesini sağlar. D Operatörü İle Türev > D(sin); cos > D(sin)(x); cos( x ) > D(ln); z 1 z > D(ln)(x); 1 x > D(ln)(x)=diff(ln(x),x); 1 1 x x > f:=x->x^3/3-x^2+cos(2*x); 1 f := x x3x2cos( 2 x ) 3 > D(f); xx22 x2 sin( 2 x ) > D(f)(0); 0 > D(f)(Pi); 22 > D(D(f)); > (D@@2)(f); x2 x24 cos( 2 x ) x2 x24 cos( 2 x ) > (D@@n)(f); ( n) (D )( f ) > h:=(x,y)->x^2+y^3-2*x*y; h := ( x, y )x2y32 x y > D[](h); h > D[1](h); ( x, y )2 x2 y > D[2](h); ( x, y )3 y22 x > D[3](h); Error, (in D/procedure) index out of range: function takes only 2 arguments > D[1$2](h); 2 > D[1,2](h); -2 > D[2,1](h); -2 > f:=(x,y)->x*exp(x*y); f := ( x, y )x e ( x y) > D[2$1,1$3](f); ( x, y )6 y e ( x y) 6 x y2 e ( x y) x2 y3 e ( x y)